橢圓的定義及性質(zhì)

關(guān)于橢圓的定義及性質(zhì)第一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一．．．．ABP．PPPP|PA|+|PB|=500|AB|=200第二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a(>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)的距離2c叫做橢圓的焦距橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程第三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一求方程的過程:解(1)建系：以F1F2所在的直線為x軸，以線段F1F2的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則有兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為：F1(-c,0),F2(c,o)(2)設(shè)點(diǎn)p(x,y)是橢圓上一點(diǎn),如圖：根據(jù)已知有：|PF1|+|PF2|=2a·F1P(x,y)·yoF2x·這個橢圓的一個標(biāo)準(zhǔn)方程為：(a>b>0,a2=b2+c2)第四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一求方程的過程:解(1)建系：以F1F2所在的直線為y軸，以線段F1F2的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則有兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為：F1(0,-c),F2(0,c)(2)設(shè)點(diǎn)p(x,y)是橢圓上一點(diǎn),如圖：根據(jù)已知有：|PF1|+|PF2|=2a·F1P(x,y)·yoF2x·這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(a>b>0,a2=b2+c2)第五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分類圖示焦點(diǎn)坐標(biāo)共性F1(-c,0)F2(c,0)長軸長:2a短軸長:2b焦距:2c(a2=b2+c2）F1(0,-c)F2(0,c)第六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一橢圓的幾何性質(zhì):()1.范圍:|x|≤a|y|≤b

橢圓位于直線x=±a

和直線y=±b所圍成的矩形區(qū)域內(nèi)2.對稱性：關(guān)于x軸和y軸對稱，也關(guān)于原點(diǎn)中心對稱A1·F1·oF2xA1A2B2B1第七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一橢圓的幾何性質(zhì):()·F1·oF2xA1A2A1B2B13.頂點(diǎn)和長短軸：長軸：A1A2

短軸：B1B2

頂點(diǎn)：

A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)4.離心率：

第八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一橢圓的第二定義:已知點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到定直線的距離的比為常數(shù)(a>c>0)，求點(diǎn)M的軌跡方程M(x,y)·oFx··(這個方程是橢圓的一個標(biāo)準(zhǔn)方程，稱這個定點(diǎn)F是橢圓的一個焦點(diǎn)，定直線是橢圓的一條準(zhǔn)線，比值叫這個橢圓的離心率)第九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一M(x,y)·oF2x··結(jié)論：橢圓有兩條和它的

兩個焦點(diǎn)相對應(yīng)的準(zhǔn)線F1第十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一結(jié)論：橢圓有兩條和它的兩個焦點(diǎn)相對應(yīng)的準(zhǔn)線·F1·yoF2x與F2對應(yīng)的準(zhǔn)線方程：與F1對應(yīng)的準(zhǔn)線方程：第十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一例1：求橢圓4x2+y2=2的準(zhǔn)線方程橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且a2=2,b2=0.5,c2=1.5橢圓的兩條準(zhǔn)線方程為解：由已知有橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為第十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一

ex1:橢圓的一個焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，離心率為，則橢圓的短軸長為多少？第十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一

eg1:橢圓9x2+25y2-225=0上一點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為2.5,則P到右焦點(diǎn)的距離是()(A)8(B)(c)7.5(D)7橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用：第十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一

eg2:橢圓的右焦點(diǎn)為F，

設(shè)點(diǎn)A,P是橢圓上一動點(diǎn)，求使取得最小值時的P的坐標(biāo)，并求出這個最小值第十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一問題：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差是定值||PF1|-|PF2||=2a的點(diǎn)P的軌跡是什么？(1)若這個定值為0，它表示什么？(2)若這個定值=|F1F2|，它表示什么？(3)若這個定值>|F1F2|，它表示什么？(4)若這個定值非零且<|F1F2|,它表示什么？第十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)差值為0時，即|PF1|=|PF2|時：P．F1F2．．軌跡是線段F1F2的中垂線．第十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)|PF1|-|PF2|=|F1F2|時:

或|PF2|-|PF1|=|F1F2|時:P．F1F2．．軌跡是分別以F1和F2為端點(diǎn)的兩條射線．P（可不可能）？．P．P?第十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)|PF1|-|PF2|的絕對值>|F1F2|不可能，因?yàn)樵谌切沃?，兩邊之差小于第三邊F1F2．．P第十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一理想化的問題：一個出租汽車司機(jī)想從A地點(diǎn)送一個乘客到達(dá)目的地后，然后返回B點(diǎn)的家，已知A、B兩點(diǎn)的距離為20公里假設(shè)司機(jī)送客和返回家都是直線行駛，假設(shè)汽車每行駛一公里耗費(fèi)一元，乘客每乘坐一公里付費(fèi)二元，請問這個司機(jī)怎樣考慮接受乘客的目的地，他才可能至少能收益15元？（假設(shè)不考慮職業(yè)道德）第二十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一分析：為了把問題簡單化，我們先研究司機(jī)剛好只收益15元的情形AB．Ｐ(目的地)2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15（注意:|PA|-|PB|=15<|AB|=20）第二十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一你會替司機(jī)出個主意了嗎？（要求:|PA|-|PB|=15且|AB|=20）AB．Ｐ(目的地)|PA|-|PB|>15時呢？第二十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距2c。(o<a<c)雙曲線的定義？：如果定義中沒有“絕對值”這三個字，還是雙曲線嗎？第二十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：為了體現(xiàn)雙曲線的對稱美，和我們研究數(shù)學(xué)的由簡單到復(fù)雜的思維規(guī)律，我們也選擇對稱的建系方式，稱如下建系所得的雙曲線方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：xyOxyO建系設(shè)點(diǎn)找等量關(guān)系式翻譯等量關(guān)系化簡整理步驟：第二十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一解:第(1)步：如圖：以F1F2所在直線為x軸，以線段F1F2的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)F1和點(diǎn)F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0)OXY第二十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一第(2)步：設(shè)點(diǎn)P(x,y)雙曲線上的任意一點(diǎn)，則有:

OXY|PF1|-|PF2|=±2a第二十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一(3)由|PF1|-|PF2|=±2a和兩點(diǎn)間的距離公式得：

接下第二十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一這就是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？第二十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一

焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

的標(biāo)準(zhǔn)方程是：同理：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

的標(biāo)準(zhǔn)方程是：注：a2=c2-

b2xyOxyO結(jié)論：第二十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一例1已知兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)分別是F1(-5,0),F2(5,0)求到這兩點(diǎn)的距離的差的絕對值為6的點(diǎn)的軌跡方程第三十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一例2已知一個動圓過點(diǎn)A(2,0),并且和一個定圓(x+2)2+y2=4相切,求這個動圓的圓心的軌跡方程第三十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾個參量：例3.判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出三個量a,b,c的值。①②③再請你指出各自的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)第三十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一證明：設(shè)m,n>0,則有：

和有公共的焦點(diǎn)，它們的實(shí)軸長和虛軸長正好對換和有公共的漸進(jìn)線，它們的實(shí)軸和虛軸正好對換。我們稱它們?yōu)楣曹楇p曲線第三十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一例4：請判斷以下方程表示什么樣的曲線？并指出它們的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上。第三十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一雙曲線的漸近線方程練習(xí)：例5.求出下列雙曲線的漸近線的方程。①②③第三十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一與雙曲線的漸近線有關(guān)的結(jié)論：(1)求雙曲線的漸近線方程時，只需將上式右邊的1換成0即可(2)雙曲線表示任意以為漸近線的雙曲線系

(k≠0)第三十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一雙曲線的漸近線方程：第三十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一例：雙曲線的中心在原點(diǎn)，對稱軸是兩坐標(biāo)軸，有一條漸近線方程為2x+3y=0,并且過定點(diǎn)(2,2)求這個雙曲線的方程.(2,2)第三十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一解法一：如圖,雙曲線的兩條漸近線把坐標(biāo)平面分成四部分，點(diǎn)(2,2)剛好在上部分，故有這條雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為第三十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

知它的漸近線方程為：第四十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一又已知點(diǎn)(2，2)在雙曲線上，則有：解得：故所求的雙曲線的方程為：第四十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一解2：據(jù)題意：雙曲線的漸近線方程為：即不妨設(shè)所求的雙曲線的方程為：將點(diǎn)(2,2)的坐標(biāo)代入上式：故所求的雙曲線的方程為：第四十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一證明：雙曲線上任一點(diǎn)

到它的兩漸近線的距離之積為定值，并求這個定值。證明：由已知，它的漸近線方程為它們的標(biāo)準(zhǔn)方程為bx±ay=0設(shè)(x0,y0)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，則有：第四十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一...p示意：如圖，過點(diǎn)P向兩條漸近線引垂線交兩條漸近線于點(diǎn)M、N，則有：MN第四十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一問題：|PM|+|PN|有最值嗎？何時有，是多少？...pMN第四十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一已知雙曲線右支上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離為10，則P到雙曲線的左準(zhǔn)線的距離是多少？...P(x,y)F2F1xyMN第四十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一回顧:橢圓的焦點(diǎn)半經(jīng)公式及求法：(2)設(shè)P(x,y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF1|和|PF2|的值為a±ey(1)設(shè)P(x,y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF1|和|PF2|的值為a±ex第四十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一..F1F2.P(x,y)MN分析：如圖，過點(diǎn)P向兩準(zhǔn)線引垂線交兩準(zhǔn)線于點(diǎn)M、N，根據(jù)雙曲線的第二定義：第四十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一..F1F2.P(x,y)MN同理：第四十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一同理：當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時：..F1F2.P(x,y)MNxy|PF1|=a+ey|PF2|=a-ey第五十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一如下圖提示：你能推出焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦半經(jīng)公式嗎？...P(x,y)F2F1xyMN第五十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一若它的焦點(diǎn)在x軸上，則有|PF1|、|PF2|為ex±a若它的焦點(diǎn)在y軸上呢？則有|PF1|、|PF2|為ey±a第五十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一雙曲線中三角形PF1F2中的邊和角...P(x,y)F2F1xy正弦定理、余弦定理、和三角形面積公式在圖中的體現(xiàn)及相互間的聯(lián)系。第五十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一...P(x,y)F2F1xy第五十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一(1)余弦定理：...P(x,y)F2F1xy第五十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一(2)正弦定理：...P(x,y)F2F1xy第五十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一(3)三角形的面積公式：...P(x,y)F2F1xy第五十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一實(shí)例1：點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，,求的面積...pF1F2xy第五十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是定值e的點(diǎn)的軌跡是：(1)當(dāng)0<e<1時表示一個橢圓(2)當(dāng)e>1時表示一個雙曲線(3)當(dāng)e=1時表示什么呢？平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡叫拋物線至此，橢圓、雙曲線、拋物線的定義就統(tǒng)一起來了，這三種曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。第五十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：以后我們約定這個定點(diǎn)到定直線的距離為P.FLK討論：怎樣建立坐標(biāo)系所得方程簡單？第六十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一建系方式一：以后我們約定這個定點(diǎn)到定直線的距離為P.FLK討論：怎樣建立坐標(biāo)系所得方程簡單？Oxy如圖：以過焦點(diǎn)且垂直于準(zhǔn)線的直線為x軸，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系。則F點(diǎn)的坐標(biāo)為準(zhǔn)線的方程為第六十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一.FLKOxy設(shè)點(diǎn)M(x,y)是所求的曲線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD垂直直線L交L于點(diǎn)D，則有根據(jù)定義有：|MD|=|MF|.M(x,y)D……它叫拋物線的一種標(biāo)準(zhǔn)方程它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程是？第六十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種：請分別畫出它們的草圖，并指出它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程你還記得上式中P的幾何含義嗎？第六十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一.FLKOxy焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：準(zhǔn)線的方程為.M(x,y)D第六十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一.FLKOxy焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：準(zhǔn)線的方程為.M(x,y)D第六十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：準(zhǔn)線的方程為.FLKOxy.M(x,y)D第六十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：準(zhǔn)線的方程為.FLKOxy.M(x,y)D第六十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一例1:(1)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

F(0,-2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.FLKOxy第六十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一(2)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=x2,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.FLKOxy第六十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一例2：探照燈的反射鏡的縱截面是拋物線的一部分，燈口的直經(jīng)為60cm，燈深為40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)的位置。.FOxyAB第七十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一拋物線的幾何性質(zhì)：(1)范圍：(一)(二)(三)(四)(2)對稱軸及頂點(diǎn)(一)(二)(三)(四)(3)離心率拋物線的離心率恒為1第七十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一拋物線的焦半徑公式:(一)(二)(三)(四)設(shè)M(x,y)是以下拋物線上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則焦半經(jīng)EF的長度為：當(dāng)拋物線的方程為y2=2px時,則|MF|=當(dāng)拋物線的方程為y2=-2px時,則|MF|=當(dāng)拋物線的方程為x2=2py時,則|MF|=當(dāng)拋物線的方程為x2=-2py時,則|MF|=第七十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一例3：過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F任意作一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求證：以A、B為直經(jīng)的圓和這個拋物線的準(zhǔn)線相切。.FLKOxyAB?M第七十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F的弦長公式：設(shè)直線AB與拋物線的對稱軸的夾角為θ，則有.FOxyAB?第七十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一特殊情形：當(dāng)θ=90°，即AB和對稱軸垂直時：.FOBA??|AB|=2|AF|=2p此時稱線段AB為拋物線的通經(jīng)第七十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一x.FOyBA設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0),則直線的點(diǎn)斜式方程為聯(lián)立方程：第七十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一x.FOyBA?第七十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一x.FOyBA??還有新的方法：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)兩式相減得：第七十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一x.FOyBA??第七十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一例4：過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線與拋物線的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1、x2,縱坐標(biāo)分別是y1、y2,求證:x.FOyBA??分析：當(dāng)直線的斜率不存在時，當(dāng)直線的斜率存在時。第八十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期一例5：PQ是過拋物線的焦點(diǎn)的一條弦，通過點(diǎn)P和拋物線的頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)