線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

（優(yōu)選）線性微分方程解的結(jié)構(gòu)當(dāng)前1頁，總共47頁。高階線性微分方程的一般理論n階線性方程的一般形式為當(dāng)前2頁，總共47頁。二階線性微分方程的一般形式為通常稱第二式為第一式的相對應(yīng)的齊方程。注意：我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可自然推廣至n階線性方程中。復(fù)習(xí):一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y這種解法叫常數(shù)變易法。當(dāng)前3頁，總共47頁。1.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1)疊加原理:則它們的線性組合當(dāng)前4頁，總共47頁。的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解。問題:例：設(shè)y1為(1)的解,則y2=2y1是方程(1)的解,但

y=C1y1+C2y2不為方程(1)的通解.當(dāng)前5頁，總共47頁。又如.

對于二階常系數(shù)線性齊次微分方程容易驗(yàn)證:但這個(gè)解中只含有一個(gè)任意常數(shù)C,顯然它不是所給方程的通解.由定理知都是它的解.也是它的解.在什么情況下，疊加所得可以成為方程(1)的通解？為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.當(dāng)前6頁，總共47頁。(2)線性無關(guān)、線性相關(guān)定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個(gè)函數(shù),使得則稱這

n個(gè)函數(shù)在I上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).若存在不全為0的常數(shù)當(dāng)前7頁，總共47頁。在區(qū)間I上線性相關(guān)存在不全為0的線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個(gè)恒為0,

則必線性相關(guān)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:(不妨設(shè)當(dāng)前8頁，總共47頁。例1：

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關(guān);3.如：若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn),必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關(guān).當(dāng)前9頁，總共47頁。由三角函數(shù)知識可知，這是不可能的，故當(dāng)前10頁，總共47頁。(一)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則是方程(1)的通解。例如當(dāng)前11頁，總共47頁。推論：是

n

階線性齊次微分方程

的n

個(gè)線性無關(guān)的特解,

則方程的通解為：當(dāng)前12頁，總共47頁。下面要用到的幾個(gè)重要的結(jié)論（要記?。┩ㄟ^觀察可得方程的一個(gè)特解：當(dāng)前13頁，總共47頁。又容易看出：由疊加原理，原方程的通解為當(dāng)前14頁，總共47頁。代入方程（1）中，得怎么做？關(guān)于z的一階線性方程該問題的解決歸功于數(shù)學(xué)家劉維爾。當(dāng)前15頁，總共47頁。即故有兩邊積分，得這是關(guān)于z的一階線性方程劉維爾公式當(dāng)前16頁，總共47頁。由劉維爾公式故原方程的通解為當(dāng)前17頁，總共47頁。（二)二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)的一個(gè)通解，則證將代入方程（2）的左端得是非齊次方程的解,又y中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),因而是通解.當(dāng)前18頁，總共47頁。是對應(yīng)齊次方程的n

個(gè)線性無關(guān)特解,推廣:給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解當(dāng)前19頁，總共47頁。例1：方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解：因此該方程的通解為當(dāng)前20頁，總共47頁。當(dāng)前21頁，總共47頁。是其對應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解。當(dāng)前22頁，總共47頁。則該方程的通解是().例4.設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意常數(shù),提示:都是對應(yīng)齊次方程的解,且二者線性無關(guān)

(反證法可證)。由非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理可得（D）是正確的。當(dāng)前23頁，總共47頁。例5.設(shè)

是二階線性非齊次方程的三個(gè)線性無關(guān)的解，試用

表示二階線性非齊次方程的通解.都是對應(yīng)齊次方程的解,且二者線性無關(guān).(反證法可證)。當(dāng)前24頁，總共47頁。例6.

已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解.是對應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為：有三當(dāng)前25頁，總共47頁。當(dāng)前26頁，總共47頁。解都是微分方程的解,是對應(yīng)齊次方程的解,常數(shù)對應(yīng)齊次方程的通解原方程的通解當(dāng)前27頁，總共47頁。例8.已知y=x及y=sinx為某二階線性齊次方程的解,求該方程.解當(dāng)前28頁，總共47頁。解(1)由題設(shè)可得：解此方程組，得(2)原方程為由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為當(dāng)前29頁，總共47頁。(非齊次方程之解的疊加原理)當(dāng)前30頁，總共47頁。(非齊次方程之解的疊加原理)當(dāng)前31頁，總共47頁。當(dāng)前32頁，總共47頁。下面介紹如何求方程（2）的特解？的通解，則是方程(2)的通解。當(dāng)前33頁，總共47頁。1、常數(shù)變易法復(fù)習(xí):常數(shù)變易法:對應(yīng)齊次方程的通解:設(shè)非齊次方程的解為代入原方程確定對二階非齊次方程情形1.

已知對應(yīng)齊次方程通解:設(shè)③的解為③由于有兩個(gè)待定函數(shù),所以要建立兩個(gè)方程:④當(dāng)前34頁，總共47頁。⑤令于是將以上結(jié)果代入方程③:得⑥故⑤,⑥的系數(shù)行列式是對應(yīng)齊次方程的解當(dāng)前35頁，總共47頁。積分得:代入③即得非齊次方程的通解:于是得說明:將③的解設(shè)為只有一個(gè)必須滿足的條件即因此必需再附加一個(gè)條件,方程⑤的引入是為了簡化計(jì)算.方程③當(dāng)前36頁，總共47頁。情形2.僅知③的齊次方程的一個(gè)非零特解代入③化簡得設(shè)其通解為積分得(一階線性方程)由此得原方程③的通解:③當(dāng)前37頁，總共47頁。常數(shù)變易法則有這是以下推導(dǎo)的前提。1、常數(shù)變易法當(dāng)前38頁，總共47頁。于是對上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得這兩部分為零。即當(dāng)前39頁，總共47頁。聯(lián)立

(3)、(4)

構(gòu)成方程組解此方程組，再積分，并取積分常數(shù)為零，即可得到

在這一節(jié)中所講述的理論均可推廣到

n階線性微分方程中去。當(dāng)前40頁，總共47頁。解：該方程所對應(yīng)的齊方程為它就是前面剛剛講過的例題，由劉維爾公式得其通解為由常數(shù)變易法，解方程組當(dāng)前41頁，總共47頁。兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得故原方程有一特解從而原方程的通解為：當(dāng)前42頁，總共47頁。解：先將方程變形為當(dāng)前43頁，總共47頁。所以，對應(yīng)的齊次的通解為設(shè)原方程的解為由常數(shù)變易法知，應(yīng)有解之得所以原方程的通解為當(dāng)前44頁，總共47頁。例3.的通解為

的通解.解:

將所給方程化為:已知齊次方程求利用