高斯積分法講義

（優(yōu)選）高斯積分法講義當(dāng)前1頁，總共56頁。

4.5.1一般理論

求積公式含有個(gè)待定參數(shù)當(dāng)為等距節(jié)點(diǎn)時(shí)得到的插值求積公式其代數(shù)精度至少為次.如果適當(dāng)選取有可能使求積公式具有次代數(shù)精度，這類求積公式稱為高斯(Gauss)求積公式.當(dāng)前2頁，總共56頁。為具有一般性，研究帶權(quán)積分這里為權(quán)函數(shù)，類似(1.3)，求積公式為（5.1）為不依賴于的求積系數(shù).使（5.1）具有次代數(shù)精度.為求積節(jié)點(diǎn)，可適當(dāng)選取

定義4如果求積公式(5.1)具有次代數(shù)精度，則稱其節(jié)點(diǎn)為高斯點(diǎn)，相應(yīng)公式(5.1)稱為高斯求積公式.當(dāng)前3頁，總共56頁。根據(jù)定義要使(5.1)具有次代數(shù)精度，只要對(duì)（5.2）當(dāng)給定權(quán)函數(shù)，求出右端積分，則可由(5.2)解得令(5.1)精確成立，即當(dāng)前4頁，總共56頁。

例5（5.3）

解令公式(5.3)對(duì)于準(zhǔn)確成立，試構(gòu)造下列積分的高斯求積公式：得（5.4）當(dāng)前5頁，總共56頁。由于利用(5.4)的第1式，可將第2式化為同樣地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分別得從上面三個(gè)式子消去有當(dāng)前6頁，總共56頁。進(jìn)一步整理得由此解出從而當(dāng)前7頁，總共56頁。這樣，形如(5.3)的高斯公式是由于非線性方程組(5.2)較復(fù)雜，通常就很難求解.故一般不通過解方程(5.2)求，而從分析高斯點(diǎn)的特性來構(gòu)造高斯求積公式.當(dāng)前8頁，總共56頁。

定理5是高斯點(diǎn)的充分必要條件是以這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式與任何次數(shù)不超過的多項(xiàng)式帶權(quán)正交，（5.5）

證明即插值型求積公式(5.1)的節(jié)點(diǎn)必要性.設(shè)則當(dāng)前9頁，總共56頁。是高斯點(diǎn)，因此，如果精確成立，因即有故(5.5)成立.則求積公式(5.1)對(duì)于充分性.用除，記商為，余式為，即,其中.對(duì)于由(5.5)可得（5.6）當(dāng)前10頁，總共56頁。由于求積公式(5.1)是插值型的，它對(duì)于是精確的，即再注意到知從而由(5.6)有當(dāng)前11頁，總共56頁。可見求積公式(5.1)對(duì)一切次數(shù)不超過的多項(xiàng)式均精確成立.因此，為高斯點(diǎn).定理表明在上帶權(quán)的次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式(5.1)的高斯點(diǎn).有了求積節(jié)點(diǎn)，再利用對(duì)成立，的線性方程.解此方程則得則得到一組關(guān)于求積系數(shù)當(dāng)前12頁，總共56頁。下面討論高斯求積公式(5.1)的余項(xiàng).利用在節(jié)點(diǎn)的埃爾米特插值于是也可直接由的插值多項(xiàng)式求出求積系數(shù)即當(dāng)前13頁，總共56頁。兩端乘，并由到積分，則得（5.7）其中右端第一項(xiàng)積分對(duì)次多項(xiàng)式精確成立，故由于（5.8）由積分中值定理得(5.1)的余項(xiàng)為關(guān)于高斯求積公式的穩(wěn)定性與收斂性，有：當(dāng)前14頁，總共56頁。

定理6

證明它是次多項(xiàng)式，因而是次多項(xiàng)式，注意到高斯求積公式(5.1)的求積系數(shù)全是正的.考察故高斯求積公式(5.1)對(duì)于它能準(zhǔn)確成立，即有上式右端實(shí)際上即等于從而有當(dāng)前15頁，總共56頁。由本定理及定理2，則得

推論

定理7定理得證.高斯求積公式(5.1)是穩(wěn)定的.設(shè)即則高斯求積公式(5.1)收斂，當(dāng)前16頁，總共56頁。

4.5.2高斯-勒讓德求積公式

在高斯求積公式(5.1)中，由于勒讓德多項(xiàng)式是區(qū)間上的正交多項(xiàng)式，因此，勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式(5.9)的高斯點(diǎn).形如(5.9)的高斯公式稱為高斯-勒讓德求積公式.區(qū)間為則得公式若取權(quán)函數(shù)（5.9）當(dāng)前17頁，總共56頁。令它對(duì)準(zhǔn)確成立，即可定出這樣構(gòu)造出的一點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式為是中矩形公式.若取的零點(diǎn)做節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式再取的兩個(gè)零點(diǎn)構(gòu)造求積公式當(dāng)前18頁，總共56頁。令它對(duì)都準(zhǔn)確成立，有由此解出三點(diǎn)高斯-勒讓德公式的形式是表4-7列出高斯-勒讓德求積公式(5.9)的節(jié)點(diǎn)和系數(shù).從而得到兩點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式當(dāng)前19頁，總共56頁。當(dāng)前20頁，總共56頁。由(5.8)式，這里是最高項(xiàng)系數(shù)為1的勒讓德多項(xiàng)式.由第3章(2.6)及(2.7)公式(5.9)的余項(xiàng)當(dāng)前21頁，總共56頁。得（5.10）當(dāng)時(shí)，有它比區(qū)間上辛普森公式的余項(xiàng)還小，且比辛普森公式少算一個(gè)函數(shù)值.當(dāng)積分區(qū)間不是，而是一般的區(qū)間時(shí)，只要做變換當(dāng)前22頁，總共56頁?？蓪⒒癁?（5.10）對(duì)等式右端的積分即可使用高斯-勒讓德求積公式.這時(shí)當(dāng)前23頁，總共56頁。

例6用4點(diǎn)()的高斯-勒讓德求積公式計(jì)算

解先將區(qū)間化為，根據(jù)表4-7中的節(jié)點(diǎn)及系數(shù)值可求得由(5.11)有當(dāng)前24頁，總共56頁。4.5.3高斯-切比雪夫求積公式若且取權(quán)函數(shù)則所建立的高斯公式為（5.12）稱為高斯-切比雪夫求積公式.當(dāng)前25頁，總共56頁。由于區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式是切比雪夫多項(xiàng)式，因此求積公式(5.12)的高斯點(diǎn)是次切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即為(5.12)的系數(shù)使用時(shí)將個(gè)節(jié)點(diǎn)公式改為個(gè)節(jié)點(diǎn)，（5.13）于是高斯-切比雪夫求積公式寫成當(dāng)前26頁，總共56頁。由(5.9)，余項(xiàng)帶權(quán)的高斯求積公式可用于計(jì)算奇異積分.（5.14）當(dāng)前27頁，總共56頁。

例7用5點(diǎn)()的高斯-切比雪夫求積公式計(jì)算積分

解當(dāng)時(shí)由公式(5.13)由(5.14)式，誤差這里可得當(dāng)前28頁，總共56頁。4.6數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分就是用函數(shù)值的線性組合近似函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值.當(dāng)前29頁，總共56頁。

4.6.1中點(diǎn)方法與誤差分析

按導(dǎo)數(shù)定義可以簡單地用差商近似導(dǎo)數(shù)，這樣立即得到幾種數(shù)值微分公式其中為一增量，稱為步長.

（6.1）當(dāng)前30頁，總共56頁。后一種數(shù)值微分方法稱為中點(diǎn)方法，它其實(shí)是前兩種方法的算術(shù)平均.但它的誤差階卻由提高到較為常用的是中點(diǎn)公式.為利用中點(diǎn)公式計(jì)算導(dǎo)數(shù)的近似值，首先必須選取合適的步長，為此需要進(jìn)行誤差分析.分別將在處做泰勒展開有當(dāng)前31頁，總共56頁。代入中點(diǎn)公式得從截?cái)嗾`差的角度看，步長越小，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確.其中且（6.2）當(dāng)前32頁，總共56頁。再考察舍入誤差.按中點(diǎn)公式，當(dāng)很小時(shí)，因與很接近，直接相減會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失.因此，從舍入誤差的角度來看，步長是不宜太小的.例如，用中點(diǎn)公式求在處的一階導(dǎo)數(shù)取4位數(shù)字計(jì)算.結(jié)果見表4-8(導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確值).當(dāng)前33頁，總共56頁。從表4-8中看到的逼近效果最好，如果進(jìn)一步縮小步長，則逼近效果反而越差.則計(jì)算的舍入誤差上界為這是因?yàn)楫?dāng)及分別有差入誤差及若令當(dāng)前34頁，總共56頁。它表明越小，舍入誤差越大，故它是病態(tài)的.用中點(diǎn)公式(6.1)計(jì)算的誤差上界為要使誤差最小，步長不宜太大，也不宜太小.其最優(yōu)步長應(yīng)為當(dāng)前35頁，總共56頁。4.6.2插值型的求導(dǎo)公式對(duì)于列表函數(shù)運(yùn)用插值原理，可以建立插值多項(xiàng)式作為它的近似.由于多項(xiàng)式的求導(dǎo)比較容易，我們?nèi)〉闹底鳛榈慕浦?，這樣建立的數(shù)值公式（6.3）統(tǒng)稱插值型的求導(dǎo)公式.當(dāng)前36頁，總共56頁。即使與的值相差不多，與導(dǎo)數(shù)的真值仍然可能差別很大.導(dǎo)數(shù)的近似值因而在使用求導(dǎo)公式(6.3)時(shí)應(yīng)特別注意誤差的分析.依據(jù)插值余項(xiàng)定理，求導(dǎo)公式(6.3)的余項(xiàng)為式中當(dāng)前37頁，總共56頁。但如果限定求某個(gè)節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，那么第二項(xiàng)中由于是的未知函數(shù)，所以對(duì)隨意給出的點(diǎn)，誤差是無法預(yù)估的.因式變?yōu)榱?，這時(shí)余項(xiàng)公式為（6.4）下面僅考察節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值并假定所給節(jié)點(diǎn)是等距的.當(dāng)前38頁，總共56頁。1.兩點(diǎn)公式設(shè)已給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值對(duì)上式兩端求導(dǎo)，記，有做線性插值于是有下列求導(dǎo)公式：當(dāng)前39頁，總共56頁。利用余項(xiàng)公式(6.4)知，帶余項(xiàng)的兩點(diǎn)公式是當(dāng)前40頁，總共56頁。2.三點(diǎn)公式設(shè)已給出三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，做二次插值令上式可表示為當(dāng)前41頁，總共56頁。兩端對(duì)求導(dǎo)，有（6.5）式中撇號(hào)（′）表示對(duì)變量求導(dǎo)數(shù).當(dāng)前42頁，總共56頁。分別取得到三種三點(diǎn)公式：帶余項(xiàng)的三點(diǎn)求導(dǎo)公式為（6.6）當(dāng)前43頁，總共56頁。其中的公式(6.6)是中點(diǎn)公式.它比其余兩個(gè)三點(diǎn)公式少用了一個(gè)函數(shù)值.用插值多項(xiàng)式作為的近似函數(shù)，還可以建立高階數(shù)值微分公式：例如，將式(6.5)再對(duì)求導(dǎo)一次，有當(dāng)前44頁，總共56頁。于是有而帶余項(xiàng)的二階三點(diǎn)公式如下：（6.7）當(dāng)前45頁，總共56頁。4.6.3利用數(shù)值積分求導(dǎo)微分是積分的逆運(yùn)算，因此可利用數(shù)值積分的方法來計(jì)算數(shù)值微分.設(shè)是一個(gè)充分光滑的函數(shù)，（6.8）對(duì)上式右邊積分采用不同的求積公式就可得到不同的數(shù)值微分公式.則有當(dāng)前46頁，總共56頁。例如，用中矩形公式(1.2)，則得從而得到中點(diǎn)微分公式若對(duì)(6.8)右端積分用辛普森求積公式，則有當(dāng)前47頁，總共56頁。略去上式余項(xiàng)，并記的近似值為則得到辛普森數(shù)值微分公式這是關(guān)于的個(gè)方程組，已知，（6.9）若則可得當(dāng)前48頁，總共56頁。這是關(guān)于的三對(duì)角方程組，且系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，可用追趕法求解(見第5章5.4節(jié)).如果端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值不知道，那么對(duì)(6.9)中第1個(gè)和第個(gè)方程可分別用及的中點(diǎn)微分公式近似，然后求即為的近似值.即取當(dāng)前49頁，總共56頁。

例8給定的一張數(shù)據(jù)表(表4-9左部)，并給定及的值(見表4-9).

解解之得