測試卷32：圖案的設(shè)計習(xí)題與講解

測試卷32圖案的設(shè)計參考答案知識要點(diǎn)：圖案的設(shè)計是一種具有實(shí)際應(yīng)用背景的開放性試題，它需要我們通過想象，運(yùn)用規(guī)則的圖形的幾何知識去推理、分析、比較、設(shè)計出合理實(shí)用的最佳方案，這也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的應(yīng)用思想。A卷1、（2002年江西省中考題）如圖1中的四個圖形每個均由六個相同的小正方形組成，折疊后能圍成正方體的是（）ABCD答案：C2、（2004年遼寧省中考題）如圖2，正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，則陰影部分的面積為（）12A、a2a2B、2C、2D、aa2aaaa224244答案：A考點(diǎn)：扇形面積的計算。分析：用四個半圓的面積-正方形的面積=4個相同陰影部分的面積。解答：由圖象可以看出14個相同陰影部分的面積=四個半圓的面積-正方形的面積aa222圖21∴題中陰影部分面積為a2a242故選A．點(diǎn)評：3、（2004年第三條邊長彼此不相同，用它們來拼接四邊形（可以多是（）A、3本題主要考查扇形面積的計算，牢記扇形面積公式是關(guān)鍵。15希望杯”初二年級培訓(xùn)題）有兩個完全相同的三角形木板，三角形的拼成不同的四邊形的翻過來使用），那么可以個數(shù)最B、6C、8D、9答案：B第1頁共8頁解答：用兩個完全相同的三角形拼接四邊形，必須將長度相同的兩條邊拼在一起，由圖可知，2個不同的四邊形，所以一共最多可以拼成6個不同的四邊形。4、（2004年第15屆“希望杯”初二年3，正方形BCDE和ABFG的邊長別為2a，a，連結(jié)CE和CG，則圖面積是；CE和CG的大小關(guān)系是.在一條邊拼接最多可以拼成級競賽題）如圖分中陰影部分的3答案：a2，CECG2考點(diǎn)：面積及等積變換；三角形的面積；勾股定理。分析：（1）首先分別求出正方形ABFG、AGC、的BEC面積，S陰影利用SS正方形ABFGBCES2）利用，即可求出陰影部分的面積；（勾股定理求出CE、CG的長比較即可。中陰影部分的面積是S，則SAGC解答：解：（1）設(shè)圖SAGC1SSBCE陰影正方形ABFG1aa2aa232a2a2a2，22AGCa2，SS∵S∴S2正方形ABFGBCEEDa22a23a23a222陰影GFRtAGC和RtBEC（2）在中，由勾股定理得：2CE2a2a8a2，CGa22aa10a222ABC圖3∴CECG點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的面積公式，面積和等積變換，勾股定理等綜合知識點(diǎn)，找出SSS是解此題的S關(guān)鍵。正方形ABFGBCEAGC陰影5、如圖4，現(xiàn)有一張長5cm，寬1cm的矩形紙片，請你將它分成5塊，再拼合成一個正方形（畫圖表）示.圖形的剪拼。根據(jù)題意進(jìn)行剪拼，再根據(jù)勾股定理即可求出該正方形的邊長為，將矩形紙分成再拼合成一個考點(diǎn)：分析：5塊，正方形即可。解答：該正方形的邊長為12225，將它分成5塊，再拼合成一個正方形如圖：22155圖4點(diǎn)評：此題考查了圖形的剪拼，用到的知識點(diǎn)是勾股定理、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等，關(guān)鍵是利用有關(guān)性質(zhì)通過空間想象6、（2002年陜西省5，平原上有A、B、C、D四個政府準(zhǔn)備投資修建一個池，不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H點(diǎn)的位置，是它與四個村莊的距離之和最小。作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖。利用兩點(diǎn)之間，線段最短，連接AC、BD，交于點(diǎn)H，點(diǎn)H就是所求的位置。畫出圖形。中考題）如圖村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣栴}，蓄水考點(diǎn)：分析：解答：第2頁共8頁CABHD圖5點(diǎn)評：本題需利用關(guān)于線段的公理即可解決問題。7、（2000年山東省競賽題）今有一塊正方形土地，要在其上修筑兩條筆直的道路，使道路將這塊土地分成形狀相同且面積相等的4部分，若道路的寬度可忽略不計，請設(shè)計4種不同的修筑方案?？键c(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖。專題：方案型。分析：①由正方形的性質(zhì)知，它的兩個對角線把正方形分成面積相等的四部分，故作出正方形的對角線即可；②由正方形的性質(zhì)知，連接對邊的中點(diǎn)，也能把正方形分成四個小的正方形，且每個的面積相等；③由于正方形是中心對稱圖形，故過對稱中心的兩條互相垂直的直線也能把正方形分成面積相等的四部分面積。解答：點(diǎn)評：本題利用了正方形的性質(zhì)，中點(diǎn)的性質(zhì)，正方形是中心對稱圖形求解。8、（2005年山西省初中畢業(yè)升學(xué)考試題）請用與圖6全等的四個等腰直角三角形拼成一個等腰梯形。要求：（1）按1:1的比例畫出所拼的圖形（2）簡要寫出拼圖過程。—復(fù)雜作圖腰梯形的判定。分析：根據(jù)要求畫圖，并注意先后順序，先將兩直另外兩直別與正方形的一組對邊重合，對稱地圖所要求的等；考點(diǎn)：作圖；等角三角形斜邊重合，拼成一個正方形，將角三角形的直角邊分拼放在正方形兩則即可得到如腰梯形。解答：（1）按比例畫出正方形按比例域出所拼的梯形（正方形的對角線，虛、實(shí)均可給分）；（2）拼圖過程是：①先將兩直②再將另外兩直組對邊重合，對稱地拼放在正方形兩側(cè)即可。得到如圖所要求的等此題考查了學(xué)生對常用的作圖方法及等腰梯形的判定的掌握情況。角三角形斜邊重合，拼成一個正方形；角三角形的直角邊分別與正方形的一腰梯形。點(diǎn)評：第3頁共8頁B卷9、如圖7，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知C90，AB5cm，BC3cm，試設(shè)計一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長?？键c(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用。分析：要在三角形內(nèi)裁出面積最大的正方形，那么這正方形所有頂點(diǎn)應(yīng)落在ABC的邊上，先畫出不同方案，把每種方案中的正方形邊長求出。正方形兩邊在直角三角形上時，易得BED∽BAC，利用對應(yīng)邊成比例可得正方形的邊長；當(dāng)正方形的一邊在直角三角形上時，易得CSR∽CAB，利用對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比可得正方形的邊長，比較即可。解答：（1）∵ED//ACC∴BED∽BAC設(shè)正方形CDEF的邊長為xFDx3x12則有，解得xcm437AE圖7B（2）∵SR//AB∴CSR∽CAB12設(shè)正方形PQRS的邊長為y，作CNNB于N交RS于M，而知CN5125125y同樣有，解得Cy60cmyM537SR12604444200xy737737AQ圖NPB故xy712∴面積達(dá)最大的正方形不銹鋼片的邊長為cm.7點(diǎn)評：考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識點(diǎn)為：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊相交，截得的兩三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊成比例；對應(yīng)高的比等于相似比。10、（2001年全國初中數(shù)學(xué)競賽“創(chuàng)新杯”廣西賽區(qū)試題）如圖8，在D、E、FABC中，是BC邊上的四等分點(diǎn)，連接AD、AE、AF，把ABC分成面積相等的四部分，請你重新設(shè)計一個方案，用圖示意將MNP分成面積相等的本題答案不唯一，如圖所示列舉了兩種方案。四部分。答案：AMMBDNPNPEFC圖811、（2002年泉州市中考題）某中學(xué)有一塊長為a米，寬為b米的矩形場地，計劃在該場地第4頁共8頁修筑寬都為2米的兩條互相垂直的道路，余下的四塊矩形場地建成草坪。（1）如圖9，請分別寫出兩條道路的面積；（用含a或b的代數(shù)式表示）（2）已知a:b2:1，并且四塊草坪的面積之和為312m，試求原來場地的長與寬各為多少2米）？（3）在（2）的條件下，為進(jìn)一步美化校園，根據(jù)實(shí)際情況，學(xué)校決定對整個矩形場地作如下設(shè)計（要求同時符合下述兩個條件）：條件①：在每塊草坪上各修建一個面積盡可能大的菱形花圃（花圃各邊必須分別與所在的草坪的對角線平行），并且其中有兩個花圃的面積之差為13m2條件②：整個矩形場地（包括道路、草坪、花圃）為軸對稱圖形。請你畫出符合上述設(shè)計方案的一種草圖（不必說明畫法與根據(jù)），并求出每個菱形花圃的面積?？键c(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用；作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖。專題：幾何圖形問題。分析：（1）由圖可知：道路的形狀都是小長方形，因此道路的面積=矩形場地的長或?qū)挕羈或a．（2）根據(jù)a，b的比例關(guān)系，可用未知數(shù)表示出a，b，然后根據(jù)草坪的總面積=大矩形的面積-兩條道路的面積和+道路重疊的小正方形的面積。以此可列出方程求出未知數(shù)的值，也就求出了a，b的值。（3）根據(jù)兩個條件我們大花圃和一個小花圃，然后根據(jù)這個特點(diǎn)角線的長，也就能表示出大，小菱形花圃的面積，根據(jù)“有兩個花圃的面積之差為13平方米”，可知：一條道路要平分大矩形，且平分的兩邊中，每邊都有一個，分別出表示出每塊草坪的長和寬也就是菱形花圃的對讓大花圃的面積-小花圃的面積=13，以此可得出方程，進(jìn)而求出所求的值。解答：（1）這兩條道路的面積分別是2a平方米和2b平方米；（2）設(shè)bx米，a2x米．根據(jù)題意得：2xxx4x13122整理得：x23x1540解得：x14，x11（不合題意舍去）b12∴b14，a28即矩形的長為28米，寬為14米。aAGHD圖913241324BC圖1（）圖2（）12312344圖3（）圖4（）第5頁共8頁（3）符合設(shè)計方案的一種草圖如圖1所示，其中四個菱形花圃中，第1個與第2個，第3個與第4個花圃的面積分別相等。282AG設(shè)，則AExFB142x12x（米），13（米）21根據(jù)題意得：13x1x1313，解得7x12221∴大菱形花圃的面積為：71345.5m221小菱形花圃的面積為：1271332.5m22備注：其他符合設(shè)計方案的三種花圃見圖（2）、圖（3）、圖（4），同上法仍可求得大、小花圃的面積分別為45.5平方米和32.5平方米。點(diǎn)評：此題是一道方案設(shè)計屬于開放性題目，（題，旨在為（3）作準(zhǔn)備；要使菱形的面積根據(jù)軸對稱的問題，1）（2）兩題是基礎(chǔ)的求矩形的面積問邊上，然后最大，必須使菱形的四個頂點(diǎn)在小矩形的關(guān)系設(shè)計方案，利用矩形、菱形的面積公式計算。C卷12、（湖北省黃岡市2005年初中120cm，寬為30cm的長方形不同的拼接方案，使拼起來的桌面符合升學(xué)統(tǒng)一考試）藍(lán)天希望學(xué)校正準(zhǔn)備建一個多媒體教室，計長為桌面。現(xiàn)只有長80cm，寬45cm的木板，請你為該校設(shè)計要求。80cm80cm45cm45cm（1）（2）圖10考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖。分析：因為計劃做長120cm，寬30cm的長條形桌面?，F(xiàn)只有長80cm，寬45cm的木板，所以利用矩形的短邊進(jìn)行裁剪，分成30和15的部分，再進(jìn)行拼接即可。解答：第6頁共8頁點(diǎn)評：這是一道操作題，一方面考查了學(xué)生的動手操作能力，另一方面考查了學(xué)生的空間想象能力，重視知識的發(fā)生過程，讓學(xué)生體驗學(xué)習(xí)的過程。13、（2004年第9屆華羅庚金杯賽試題）在44的方格紙上（如圖），用鉛筆涂其中的10個方格，要求每橫行和每豎列被涂方格的個數(shù)都是奇數(shù)。如果兩種涂法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后相同，則認(rèn)為它們是相同類型的涂法，否則是不同類型的涂法。例如圖（2）和圖（3）是相同類型的涂法，圖（4）和圖（2），圖（3）是不同類型的涂法。（1）畫出3中類型互不相同的涂法；（2）回答：最多有多少種不同類型的涂法？說明理由。1（）3（）4（）（2）圖11解：為了敘述方便起見，我們記染色格為黑色方格，未染色方格為白色方格。每行每列被涂方格的個數(shù)都是奇數(shù)，又不超過4個，所以只能是1和3個；又因為共有10格黑色方格，所以必有3列涂有黑色方格，還有1列涂有1個黑色方格。行的情況也一樣。根據(jù)這一點(diǎn)，我們作一下定義：如果存在某個黑色方格，既是在所行的惟一黑色方格，又是在所列的惟一黑色方格，則稱此方格為黑色特征方格，類似地定義白色特征方格。下面證明某種涂法或者存在黑色特征方格，或者存在白色特征方格。由于白色特征方格只有6個，在行和列的分布必為3，1，1，1形式，所以一種涂法如果不存在白色特征方格，那么它必有3個白色方格同行，另3個白色方格同列，結(jié)合每行每列白色方格數(shù)都是奇數(shù)（