2019屆數(shù)學(xué)（理）大復(fù)習(xí)講義第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.9 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用最新考綱考情考向分析1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義．2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的能力，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題，題型以解答題為主，中高檔難度。1．幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f（x）＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0）反比例函數(shù)模型f（x）＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f（x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a,b，c為常數(shù)，b≠0，a〉0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f（x)＝blogax＋c（a，b,c為常數(shù)，b≠0，a〉0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x）＝axn＋b（a，b為常數(shù)，a≠0）2。三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax（a〉1)y＝logax(a>1）y＝xn(n>0）在(0，＋∞）上的增減性增加的增加的增加的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax知識(shí)拓展1．解函數(shù)應(yīng)用題的步驟2．“對(duì)勾"函數(shù)形如f（x)＝x＋eq\f(a，x)（a>0）的函數(shù)模型稱為“對(duì)勾"函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(－∞，－eq\r（a）]和[eq\r(a)，＋∞）上是增加的，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a）]上是減少的．（2）當(dāng)x>0時(shí)，x＝eq\r（a）時(shí)取最小值2eq\r（a)，當(dāng)x<0時(shí)，x＝－eq\r（a)時(shí)取最大值－2eq\r（a）。題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）(1）某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元,按進(jìn)價(jià)增加10％出售,后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若按九折出售,則每件還能獲利．(×）(2)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(×)(3)不存在x0，使〈〈logax0.（×）(4）在（0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax（a〉1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a〉0）的增長(zhǎng)速度．(√）（5）“指數(shù)爆炸"是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c（a≠0，b>0，b≠1)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的形象比喻．（×)題組二教材改編2．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．收入最高值與收入最低值的比是3∶1B．結(jié)余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D．前6個(gè)月的平均收入為40萬(wàn)元答案D解析由題圖可知,收入最高值為90萬(wàn)元，收入最低值為30萬(wàn)元，其比是3∶1,故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為80－20＝60(萬(wàn)元），故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個(gè)月的平均收入為eq\f（1,6）×（40＋60＋30＋30＋50＋60）＝45（萬(wàn)元），故D錯(cuò)誤．3．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C（x）＝eq\f（1,2)x2＋2x＋20（萬(wàn)元)．一萬(wàn)件售價(jià)為20萬(wàn)元，為獲取更大利潤(rùn),該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為萬(wàn)件．答案18解析利潤(rùn)L（x)＝20x－C(x）＝－eq\f(1，2)(x－18）2＋142,當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)有最大值．4．用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為．答案3解析設(shè)隔墻的長(zhǎng)度為x（0<x<6），矩形面積為y,則y＝x×eq\f（24－4x,2）＝2x(6－x）＝－2(x－3）2＋18，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y最大．題組三易錯(cuò)自糾5．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為．答案eq\r（p＋1q＋1)－1解析設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q),∴x＝eq\r（1＋p1＋q）－1.6．已知某種動(dòng)物繁殖量y(只）與時(shí)間x(年）的關(guān)系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到只．答案200解析由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3（x＋1）．當(dāng)x＝8時(shí)，y＝100log39＝200。題型一用函數(shù)圖像刻畫變化過(guò)程1。高為H,滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出,若魚缸水深為h時(shí)水的體積為v，則函數(shù)v＝f(h)的大致圖像是（）答案B解析v＝f（h)是增函數(shù)，且曲線的斜率應(yīng)該是先變大后變小，故選B。2．物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題,特別是菜價(jià),我國(guó)某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià),提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)預(yù)測(cè),這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測(cè)的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量）逐步提高的是(）答案B解析由運(yùn)輸效率（單位時(shí)間的運(yùn)輸量）逐步提高得,曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)該逐漸增大,故函數(shù)的圖像應(yīng)一直是下凸的，故選B.3．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程．下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是(）A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中,甲車消耗汽油量最多C．甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)．相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油答案D解析根據(jù)圖像所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)．根據(jù)圖像知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項(xiàng)A錯(cuò)；以相同速度行駛時(shí),甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車消耗汽油最少，故選項(xiàng)B錯(cuò)；甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升,行駛1小時(shí)，里程為80千米,消耗8升汽油，故選項(xiàng)C錯(cuò)；最高限速80千米/小時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高,因此相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油,故選項(xiàng)D對(duì)．思維升華判斷函數(shù)圖像與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法:當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖像．（2）驗(yàn)證法:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖像的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題典例（1）（2017·石家莊質(zhì)檢)加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位:分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為分鐘．答案3.75解析根據(jù)圖表，把（t,p）的三組數(shù)據(jù)（3，0.7）,（4,0.8)，（5，0。5）分別代入函數(shù)關(guān)系式,聯(lián)立方程組得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0.7＝9a＋3b＋c,,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，））消去c化簡(jiǎn)得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(7a＋b＝0.1，，9a＋b＝－0.3,）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.））所以p＝－0。2t2＋1.5t－2＝－eq\f(1,5）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(t2－\f（15，2）t＋\f（225，16）))＋eq\f（45,16）－2＝－eq\f（1，5）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（t－\f(15,4））)2＋eq\f（13,16)，所以當(dāng)t＝eq\f(15，4)＝3.75時(shí)，p取得最大值，即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘．（2）(2017·湖南醴陵期中）某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出）（）A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元答案D解析設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)（p）元，則由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q（p－20)＝（8300－170p－p2）（p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p）＝－3p2－300p＋11700.令L′（p)＝0,解得p＝30或p＝－130（舍去)．當(dāng)p∈（0，30)時(shí),L′（p）〉0，當(dāng)p∈(30，＋∞)時(shí)，L′（p)〈0，故L(p）在p＝30時(shí)取得極大值，即最大值，且最大值為L(zhǎng)（30)＝23000.思維升華求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．（3)利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練(1）擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(fèi)(單位：元）由f(m）＝1.06(0.5[m］＋1)給出,其中m>0，[m]是不超過(guò)m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3。7］＝3，［3。1］＝3)，則甲、乙兩地通話6。5分鐘的電話費(fèi)為元．答案4.24解析∵m＝6。5，∴[m]＝6，則f（6.5)＝1。06×(0。5×6＋1）＝4.24.(2）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元．又元．答案2500解析L(Q)＝40Q－eq\f(1，20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1，20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1，20）(Q－300)2＋2500.則當(dāng)Q＝300時(shí)，L（Q)的最大值為2500萬(wàn)元．題型三構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題命題點(diǎn)1構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型典例(1）某航空公司規(guī)定,乘飛機(jī)所攜帶行李的質(zhì)量x(kg)與其運(yùn)費(fèi)y（元）之間的關(guān)系由如圖所示的一次函數(shù)圖像確定，那么乘客可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量最大為kg.答案19解析由圖像可求得一次函數(shù)的解析式為y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19。(2)將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)出售時(shí)，能賣出400個(gè)，已知這種商品每漲價(jià)1元,其銷售量就要減少20個(gè)，為了賺得最大利潤(rùn)，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為元．答案95解析設(shè)每個(gè)售價(jià)定為x元，則利潤(rùn)y＝(x－80)·[400－(x－90)·20］＝－20［（x－95)2－225］．∴當(dāng)x＝95時(shí),y最大．

命題點(diǎn)2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型典例一片森林原來(lái)面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f（1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來(lái)的eq\f（\r（2),2)。（1)求每年砍伐面積的百分比；（2）到今年為止,該森林已砍伐了多少年?解(1）設(shè)每年降低的百分比為x（0<x〈1）,則a(1－x）10＝eq\f（1,2)a,即(1－x）10＝eq\f（1，2)，解得x＝1－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）)）.(2）設(shè)經(jīng)過(guò)m年剩余面積為原來(lái)的eq\f（\r（2），2），則a（1－x)m＝eq\f（\r(2)，2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2))）,即eq\f(m，10）＝eq\f（1,2）,解得m＝5。故到今年為止，該森林已砍伐了5年．引申探究本例的條件不變，試計(jì)算:今后最多還能砍伐多少年？解設(shè)從今年開始，以后砍了n年，則n年后剩余面積為eq\f(\r（2)，2)a(1－x)n.令eq\f(\r（2)，2）a（1－x）n≥eq\f(1,4)a，即(1－x）n≥eq\f(\r（2），4)，eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）))≥eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2））)，即eq\f(n,10)≤eq\f(3,2），解得n≤15。故今后最多還能砍伐15年．命題點(diǎn)3構(gòu)造y＝x＋eq\f（a，x)（a〉0)型函數(shù)典例（1）某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系如圖所示（拋物線的一段)，則為使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大，每輛客車營(yíng)運(yùn)年數(shù)為．答案5解析根據(jù)圖像求得y＝－(x－6）2＋11，∴年平均利潤(rùn)eq\f(y，x)＝12－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（25,x)）），∵x＋eq\f（25，x）≥10，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號(hào)成立．∴要使平均利潤(rùn)最大，客車營(yíng)運(yùn)年數(shù)為5。（2）(2017·南昌模擬）某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°（如圖）,考慮防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為9eq\r（3）平方米，且高度不低于eq\r（3）米．記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x米，外周長(zhǎng)（梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和)為y米．要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最?。礄M斷面的外周長(zhǎng)最小),則防洪堤的腰長(zhǎng)x＝。答案2eq\r（3）解析由題意可得BC＝eq\f（18,x)－eq\f（x，2）,∴y＝eq\f(18,x）＋eq\f(3x,2）≥2eq\r(\f（18,x)×\f（3x,2)）＝6eq\r（3）.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(18,x)＝eq\f（3x，2)（2≤x〈6），即x＝2eq\r（3)時(shí)等號(hào)成立．命題點(diǎn)4構(gòu)造分段函數(shù)模型典例（2017·山西孝義?？迹┠尘皡^(qū)提供自行車出租,該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x（元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入（即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分)．(1)求函數(shù)y＝f（x)的解析式；（2）試問(wèn)當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多?解(1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3，∵x為整數(shù),∴3≤x≤6，x∈Z。當(dāng)x〉6時(shí)，y＝[50－3（x－6）］x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115〉0，有3x2－68x＋115<0,結(jié)合x為整數(shù)得6<x≤20,x∈Z?！鄖＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（50x－1153≤x≤6，x∈Z，，－3x2＋68x－1156<x≤20，x∈Z。）)(2）對(duì)于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈Z），顯然當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185;對(duì)于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34，3)))2＋eq\f（811,3)(6〈x≤20,x∈Z)，當(dāng)x＝11時(shí),ymax＝270.∵270>185，∴當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多．思維升華構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過(guò)程中不要忽略實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量的限制．跟蹤訓(xùn)練(1)某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不超過(guò)0。1％，若初時(shí)含雜質(zhì)2％，每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少eq\f（1，3)，至少應(yīng)過(guò)濾次才能達(dá)到市場(chǎng)要求．(已知lg2≈0。3010，lg3≈0.4771)答案8解析設(shè)至少過(guò)濾n次才能達(dá)到市場(chǎng)要求，則2%eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3））)n≤0。1％，即eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2，3）））n≤eq\f(1,20)，所以nlgeq\f(2，3）≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.（2)大學(xué)畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店，經(jīng)過(guò)預(yù)算，該門面需要裝修費(fèi)為20000元,每天需要房租、水電等費(fèi)用100元，受經(jīng)營(yíng)信譽(yù)度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營(yíng)天數(shù)x的關(guān)系是R（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f（1,2）x2，0≤x≤400，,80000，x〉400，）)則總利潤(rùn)最大時(shí)，該門面經(jīng)營(yíng)的天數(shù)是．答案300解析由題意，總利潤(rùn)y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(400x－\f（1，2)x2－100x－20000，0≤x≤400,,60000－100x，x>400，))當(dāng)0≤x≤400時(shí)，y＝－eq\f(1，2）(x－300)2＋25000，所以當(dāng)x＝300時(shí)，ymax＝25000;當(dāng)x>400時(shí)，y＝60000－100x<20000，綜上,當(dāng)門面經(jīng)營(yíng)的天數(shù)為300時(shí),總利潤(rùn)最大為25000元．函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題典例（12分）已知美國(guó)某手機(jī)品牌公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬(wàn)美元，每生產(chǎn)1萬(wàn)部還需另投入16萬(wàn)美元．設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x萬(wàn)部并全部銷售完，每萬(wàn)部的銷售收入為R(x)萬(wàn)美元，且R（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0<x≤40，，\f(7400，x）－\f（40000，x2)，x>40。)）(1)寫出年利潤(rùn)W(萬(wàn)美元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)部)的函數(shù)解析式；（2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．思維點(diǎn)撥根據(jù)題意，要利用分段函數(shù)求最大利潤(rùn)．列出解析式后，比較二次函數(shù)和“對(duì)勾”函數(shù)的最值的結(jié)論．規(guī)范解答解（1)當(dāng)0<x≤40時(shí),W＝xR(x）－(16x＋40）＝－6x2＋384x－40，[2分]當(dāng)x〉40時(shí)，W＝xR(x）－（16x＋40）＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360。所以W＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f（40000，x）－16x＋7360,x>40。））［4分](2）①當(dāng)0〈x≤40時(shí)，W＝－6(x－32）2＋6104，所以Wmax＝W(32）＝6104;[6分］②當(dāng)x>40時(shí)，W＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360，由于eq\f(40000,x)＋16x≥2eq\r(\f(40000，x）×16x）＝1600，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(40000,x)＝16x，即x＝50∈（40，＋∞)時(shí)，取等號(hào)，所以此時(shí)W的最大值為5760.［10分]綜合①②知，當(dāng)x＝32時(shí)，W取得最大值6104萬(wàn)美元．[12分]

解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：第一步：（審題）弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：(建模）將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：(解模)求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步:（還原)將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義;第五步:(反思）對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性．1．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()x1。992345.156.126y1。5174。04187.51218。01A。y＝2x－2 B．y＝eq\f（1，2）（x2－1)C．y＝log2x D．y＝x答案B解析由題中表可知函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大的越來(lái)越快,分析選項(xiàng)可知B符合,故選B.2．某工廠6年來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來(lái)這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t（年)的函數(shù)關(guān)系圖像正確的是（)答案A解析前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，說(shuō)明呈高速增長(zhǎng)，只有A,C圖像符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，故選A.3．國(guó)家規(guī)定某行業(yè)征稅如下：年收入在280萬(wàn)元及以下的稅率為p％，超過(guò)280萬(wàn)元的部分按(p＋2)%征稅，有一公司的實(shí)際繳稅比例為（p＋0.25）%，則該公司的年收入是(）A．560萬(wàn)元 B．420萬(wàn)元C．350萬(wàn)元 D．320萬(wàn)元答案D解析設(shè)該公司的年收入為x萬(wàn)元（x〉280)，則有eq\f（280×p%＋x－280p＋2％,x)＝(p＋0.25)％，解得x＝320.故該公司的年收入為320萬(wàn)元．4．（2018·湖南衡陽(yáng)、長(zhǎng)郡中學(xué)等十三校聯(lián)考）某大型民企為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該民企2016年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0。05,lg1。3≈0。11，lg2≈0。30)（)A．2017年 B．2018年C．2019年 D．2020年答案D解析設(shè)從2016年起,過(guò)了n(n∈N＋）年該民企全年投入的研發(fā)資金超過(guò)200萬(wàn)元，則130×（1＋12％）n≥200,則n≥eq\f(lg\f（20,13）,lg1。12)≈eq\f（0。30－0.11,0.05）＝3.8，由題意取n＝4，則n＋2016＝2020.故選D.5．某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過(guò)10m3的，按每立方米m元收費(fèi);用水超過(guò)10m3的，超過(guò)部分加倍收費(fèi)．某職工某月繳水費(fèi)16m元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水為()A．13m3B．14m3C．18m3D．26m3答案A解析設(shè)該職工用水xm3時(shí),繳納的水費(fèi)為y元，由題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（mx0〈x≤10,，10m＋x－10·2mx>10，))則10m＋(x－10）·2m＝16m，解得x＝13.6．某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(rùn)（單位:萬(wàn)元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(rùn)（單位:萬(wàn)元）為y2＝2x，其中x為銷售量（單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤(rùn)是()A．10.5萬(wàn)元 B．11萬(wàn)元C．43萬(wàn)元 D．43。025萬(wàn)元答案C解析設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車（16－x)輛，所以可得利潤(rùn)y＝4。1x－0.1x2＋2（16－x）＝－0。1x2＋2。1x＋32＝－0.1eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－10。5))2＋0.1×（10.5)2＋32。因?yàn)閤∈[0,16］且x∈N，所以當(dāng)x＝10或11時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值43萬(wàn)元．7．某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來(lái)的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為y＝ekt(其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間，單位：小時(shí)，y表示病毒個(gè)數(shù)）,則k＝,經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)病毒能繁殖為個(gè)．答案2ln21024解析當(dāng)t＝0.5時(shí)，y＝2，∴2＝e，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，當(dāng)t＝5時(shí)，y＝e10ln2＝210＝1024。8．西北某羊皮手套公司準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)其生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行促銷．在一年內(nèi)，根據(jù)預(yù)算得羊皮手套的年利潤(rùn)L萬(wàn)元與廣告費(fèi)x萬(wàn)元之間的函數(shù)解析式為L(zhǎng)＝eq\f（51,2)－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x，2）＋\f（8,x）))（x>0）．則當(dāng)年廣告費(fèi)投入萬(wàn)元時(shí)，該公司的年利潤(rùn)最大．答案4解析由題意得L＝eq\f（51，2)－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（x，2)＋\f（8，x）))≤eq\f(51,2)－2eq\r（\f（x，2)·\f(8,x））＝21。5,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x，2）＝eq\f（8，x），即x＝4時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)eq\r（x)－eq\f（4，\r(x)）＝0，即x＝4時(shí),L取得最大值21。5。故當(dāng)年廣告費(fèi)投入4萬(wàn)元時(shí)，該公司的年利潤(rùn)最大．9。在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分）,則其邊長(zhǎng)x為m.答案20解析設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長(zhǎng)為ym，則由相似三角形性質(zhì)可得eq\f(x，40）＝eq\f（40－y，40)，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－（x－20）2＋400（0〈x<40)，所以當(dāng)x＝20時(shí),Smax＝400.10．某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以vkm/h的速度直達(dá)災(zāi)區(qū),已知某市到災(zāi)區(qū)公路線長(zhǎng)400km，為了安全起見,兩輛汽車的間距不得小于eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(v,20）)）2km,那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最少時(shí)間是h(車身長(zhǎng)度不計(jì)）．答案12解析設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時(shí)間為th，由題意可知，t相當(dāng)于最后一輛車行駛了eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(v，20））)2＋400））km所用的時(shí)間，因此,t＝eq\f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)））2＋400,v)≥12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(36v,400）＝eq\f(400，v)，即v＝eq\f(200,3）時(shí)取“＝”．故這些汽車以eq\f(200，3）km/h的速度勻速行駛時(shí)，所需時(shí)間最少，最少時(shí)間為12h.11．聲強(qiáng)級(jí)Y(單位：分貝)由公式Y(jié)＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)））給出，其中I為聲強(qiáng)(單位:W/m2)．(1）平常人交談時(shí)的聲強(qiáng)約為10－6W/m2,求其聲強(qiáng)級(jí)；(2）一般常人能聽到的最低聲強(qiáng)級(jí)是0分貝，求能聽到最低聲強(qiáng)為多少？(3)比較理想的睡眠環(huán)境要求聲強(qiáng)級(jí)Y≤50分貝，已知熄燈后兩位同學(xué)在宿舍說(shuō)話的聲強(qiáng)為5×10－7W/m2，問(wèn)這兩位同學(xué)是否會(huì)影響其他同學(xué)休息？解(1)當(dāng)聲強(qiáng)為10－6W/m2時(shí)，由公式Y(jié)＝10lgeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12）)）得Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（10－6,10－12)))＝10lg106＝60（分貝）．(2)當(dāng)Y＝0時(shí)，由公式Y(jié)＝10lgeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（I，10－12））)得10lgeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（I，10－12)))＝0。所以eq\f(I，10－12)＝1，即I＝10－12W/m2，則常人能聽到的最低聲強(qiáng)為10－12W/m2.（3）當(dāng)聲強(qiáng)為5×10－7W/m2時(shí),聲強(qiáng)級(jí)Y＝10lgeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（5×10－7,10－12）))＝10lg(5×105）＝50＋10lg5，因?yàn)?0＋10lg5〉50，所以這兩位同學(xué)會(huì)影響其他同學(xué)休息．12．某書商為提高某套叢書的銷售量，準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)展銷會(huì)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每套叢書售價(jià)定為x元時(shí)，銷售量可達(dá)到15－0。1x萬(wàn)套．現(xiàn)出版社為配合該書商的活動(dòng)，決定進(jìn)行價(jià)格改革，將每套叢書的供貨價(jià)格分成固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分,其中固定價(jià)格為30元,浮動(dòng)價(jià)格（單位：元)與銷售量（單位：萬(wàn)套）成反比，比例系數(shù)為10.假設(shè)不計(jì)其他成本，即銷售每套叢書的利潤(rùn)＝售價(jià)－供貨價(jià)格,問(wèn):(1)每套叢書售價(jià)定為100元時(shí),書商能獲得的總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？(2）每套叢書售價(jià)定為多少元時(shí)，單套叢書的利潤(rùn)最大？解(1）每套叢書售價(jià)定為100元時(shí)，銷售量為15－0.1×100＝5(萬(wàn)套），此時(shí)每套供貨價(jià)格為30＋eq\f（10，5)＝32(元)，書商所獲得的總利潤(rùn)為5×（100－32）＝340（萬(wàn)元)．(2)每套叢書售價(jià)定為x元時(shí),由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（15－0.1x〉0，，x>0，))解得0〈x<150。依題意，單套叢書利潤(rùn)P＝x－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(30＋\f（10,15－0.1x)））＝x－eq\f(100,150－x)－30，所以P＝－eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(150－x＋\f(100,150－x）））＋120。因?yàn)?<x〈150,所以150－x〉0，則（150－x）＋eq\f（100,150－x)≥2eq\r(150－x·\f（100，150－x)）＝2×10＝20,當(dāng)且僅當(dāng)150－x＝eq\f（100,150－x)，即x＝140時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，Pmax＝－20＋120＝100.所以每套叢書售價(jià)定為140元時(shí)，單套叢書的利潤(rùn)最大，最大值為100元．13．一艘輪船在勻速行駛過(guò)程中每小時(shí)的燃料費(fèi)與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費(fèi)外其他費(fèi)用為每小時(shí)96元．當(dāng)速度為10海里/小時(shí)時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)是6元．若勻速行駛10海里，當(dāng)這艘輪船的速度為海里/小時(shí)時(shí),總費(fèi)用最?。鸢?0解析設(shè)每小時(shí)的總費(fèi)用為y元,則y＝kv2＋96，又當(dāng)v＝10時(shí)，k×102＝6，解得k＝0.06，所以每小時(shí)的總費(fèi)用y＝0.06v2＋96，勻速行駛10海里所用的時(shí)間為eq\f(10,v）小時(shí)，故總費(fèi)用為W＝eq\f（10，v)y＝eq\f(10，v）(0.06v2＋96）＝0。6v＋eq\f(960，v)≥2eq\r（0.6v×\f(960,v））＝48，當(dāng)且僅當(dāng)0.6v＝eq\f（960,v),即v＝40時(shí)等號(hào)成立．故總費(fèi)用最小時(shí)輪船的速度為40海里/小時(shí)．14．商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)b(b>a）以及實(shí)數(shù)x（0<x<1）確定實(shí)際銷售價(jià)格c＝a＋x(b－a)．這里,x被稱為樂(lè)觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂(lè)觀系數(shù)x恰好使得(c－a）是（b－c）和(b－a）的等比中項(xiàng)．據(jù)此可得，最佳樂(lè)觀系數(shù)x＝.答案eq\f(\r(5）－1，2）解析由題意得x＝eq\f（c－a,