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文檔簡介
§
3.2平面與點的相關位置就是點在平面上,或點不在平面上.
1.點與平面間的距離在求點與平面間的距離之前,我們先引進點關于平面的離差的概念.點M0
與平面π間的離差,記做δ=射影
空間中平面與點的相關位置,有且只有兩種情況,是點的坐標滿足平面的方程.點在平面上的條件下面我們討論點不在平面上在直角坐標系下討論.的情況.定義3.2.1如果自點Mo到平面π引垂線,其垂足為Q,那么向量在平面π
的單位法向量上的射影叫做OM0QzxyOπPQM0R圖3-7容易看出,空間的點與平面間的離差,當且僅當|δ|,點位于平面的單位法向量所指向的一側(cè),
與同向(圖3-6),離差δ>0;在平面π的另一側(cè),與方向相反(圖3-7),離差δ<0;當且僅當M0在平面π上時,顯然,離差的絕對值就是點M0與平面π之間的距離d.xyzπM0RPQO圖3-6離差δ=0定理3.2.1點M0與平面間的離差為δ=(3.2-2)這里證根據(jù)定義3.2.1(圖3-6)得xyzπM0RPQO圖3-6而Q在平面上,平面的點法式方程因此所以xyzπM0RPQO圖3-6證畢.
推論1點M0(x0,y0,z0)與平面間的離差是(3.2-3)
推論2點M0(x0,y0,z0)與平面Ax+By+Cz+D=0間的距離為(3.2-4)2.平面劃分空間問題三元一次不等式的幾何意義設平面π的一般方程為例1求點(1,1,1)到平面2x+y-z+1=0的距離.解:將空間化為部分.1.2.3.123幾何上用離差的符號來理解處于空間各部分的點的情況.空間任何一點M(x,y,z)對平面的離差為已知平面所以點M(x,y,z)對平面的離差為注意到-λD=p,λ為平面π的法化因子.所以對于平面π同側(cè)的點,δ的符號相同;xyzπM2M1PQO對于在π異側(cè)的點,δ有不同的符號.這是因為當M1與M2是π
同側(cè)的點時與同向;當M1與M2是π異側(cè)的點時,與方向相反.因此由上式可以知道平面π:Ax+By+Cz+D=0把空間不在平面上的點劃分為二部分,對于處于同一部分的點,Ax+By+Cz+D的符號對于處于不同一部分的點,Ax+By+Cz+D的符號同號.異號.zxyM1M2OπQ1Q2PzxyM1M2OπQ1Q2P對其中一部分點Ax+By+Cz+D>0;而對于另一部分的點,則有Ax+By+Cz+D<0,在平面π上的點Ax+By+Cz+D=0.M1
與M2
使Ax+By+Cz+D的符號相同M1
與M2
使Ax+By+Cz+D的符號相異例2
設平面過原點及點A)2,3,6(-,且與平面824=+-zyx垂直,求此平面方程.設平面為由平面過原點知所求
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