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文檔簡介

§

3.2平面與點的相關位置就是點在平面上，或點不在平面上.

1.點與平面間的距離在求點與平面間的距離之前，我們先引進點關于平面的離差的概念.點M0

與平面π間的離差，記做δ＝射影

空間中平面與點的相關位置，有且只有兩種情況，是點的坐標滿足平面的方程.點在平面上的條件下面我們討論點不在平面上在直角坐標系下討論.的情況.定義3.2.1如果自點Mo到平面π引垂線，其垂足為Q，那么向量在平面π

的單位法向量上的射影叫做OM0QzxyOπPQM0R圖3-7容易看出，空間的點與平面間的離差，當且僅當|δ|,點位于平面的單位法向量所指向的一側(cè)，

與同向（圖3-6）,離差δ>0;在平面π的另一側(cè)，與方向相反（圖3-7），離差δ<0；當且僅當M0在平面π上時，顯然，離差的絕對值就是點M0與平面π之間的距離d.xyzπM0RPQO圖3-6離差δ=0定理3.2.1點M0與平面間的離差為δ＝（3.2-2）這里證根據(jù)定義3.2.1（圖3-6）得xyzπM0RPQO圖3-6而Q在平面上，平面的點法式方程因此所以xyzπM0RPQO圖3-6證畢.

推論1點M0（x0，y0，z0）與平面間的離差是（3.2-3）

推論2點M0（x0，y0，z0）與平面Ax+By+Cz+D＝0間的距離為（3.2-4）2.平面劃分空間問題三元一次不等式的幾何意義設平面π的一般方程為例1求點(1,1,1)到平面2x+y-z+1=0的距離.解:將空間化為部分.1.2.3.123幾何上用離差的符號來理解處于空間各部分的點的情況.空間任何一點M（x,y,z）對平面的離差為已知平面所以點M（x,y,z）對平面的離差為注意到－λD=p,λ為平面π的法化因子.所以對于平面π同側(cè)的點，δ的符號相同；xyzπM2M1PQO對于在π異側(cè)的點，δ有不同的符號.這是因為當M1與M2是π

同側(cè)的點時與同向;當M1與M2是π異側(cè)的點時,與方向相反.因此由上式可以知道平面π：Ax+By+Cz+D＝0把空間不在平面上的點劃分為二部分，對于處于同一部分的點,Ax+By+Cz+D的符號對于處于不同一部分的點,Ax+By+Cz+D的符號同號.異號.zxyM1M2OπQ1Q2PzxyM1M2OπQ1Q2P對其中一部分點Ax+By+Cz+D>0;而對于另一部分的點，則有Ax+By+Cz+D<0,在平面π上的點Ax+By+Cz+D=0.M1

與M2

使Ax+By+Cz+D的符號相同M1

與M2

使Ax+By+Cz+D的符號相異例2

設平面過原點及點A)2,3,6(-，且與平面824=+-zyx垂直，求此平面方程.設平面為由平面過原點知所求

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