人教A版 高中數(shù)學(xué)必修一 三角函數(shù) 任意角與弧度制（第一課時） 教學(xué)設(shè)計

教材：2019年人教A版高中數(shù)學(xué)必修一課題：第五章三角函數(shù)5.1任意角與弧度制（第一課時）合肥一六八中學(xué)賈秋雨一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容：本節(jié)的內(nèi)容包括任意角和弧度制，知識結(jié)構(gòu)如下：2.內(nèi)容解析：①內(nèi)容的本質(zhì)：周期性變化現(xiàn)象隨處可見，圓周運(yùn)動是研究這種現(xiàn)象的變化規(guī)律的理想載體，在圓周上一點的運(yùn)動過程中，角的范圍將超出0°~360②蘊(yùn)含的思想和方法：研究思路如下：初中角的定義→任意角的概念→象限角→終邊相同的角→弧度制大概念→弧度制與角度制的換算.利用數(shù)形結(jié)合的思想，從具體到抽象，利用圓上的點的位置變化的刻畫從旋轉(zhuǎn)的角度給出任意角的概念；通過類比長度、質(zhì)量的不同度量制引入弧度制的概念；③知識的上下位關(guān)系：學(xué)生初中學(xué)習(xí)過的角的定義和度量方法是研究本單元的基礎(chǔ)；將角的概念推廣到任意角并用實數(shù)來度量是進(jìn)一步研究三角函數(shù)的基礎(chǔ).因此本單元的教學(xué)具有承上啟下的作用；④育人價值：任意角和弧度制是從現(xiàn)實中隨處可見的周期性變化現(xiàn)象出發(fā)，借助單圓上的點運(yùn)動規(guī)律發(fā)現(xiàn)的，本單元是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)很好的載體．⑤教學(xué)重點：將0°到360°范圍的角擴(kuò)充到任意角，弧度制，二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)：(1)了解任意角及象限角的概念，掌握任意角的加減運(yùn)算，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；(2)掌握用集合語言表示終邊相同角的關(guān)系；(3)初步體會弧度制引入的背景及必要性，理解同一個量可以用不同的單位制來度量；(4)在半徑不同但圓心角相同的扇形中，利用初中學(xué)習(xí)的扇形的弧長公式能夠發(fā)現(xiàn)弧長與半徑的比不變，從而體會用比值作為弧度制定義的合理性，加深弧度制概念的理解.在此過程中學(xué)生可以感受數(shù)學(xué)抽象的層次性及邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性；(5)體會弧度制是度量角的一種方式，并能利用進(jìn)行弧度制與角度制的互化，利用單位圓中弧長等于半徑的圓心角，直觀感受用長度度量1弧度的大小，能證明并靈活運(yùn)用一些關(guān)于扇形的公式，同時理解角與實數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系.2.目標(biāo)解析：達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：(1)對于一個給定的任意角，學(xué)生能說出旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)量，并能在直角坐標(biāo)系中作出該角，還能判斷它是第幾象限角；對于兩個角，會判斷它們是否相等或是否為相反角，如果相加、相減后，從數(shù)量上，知道結(jié)果是正角、負(fù)角或零角，從圖形上，還能解釋是通過怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的；(2)學(xué)生能準(zhǔn)確使用集合語言表示終邊相同角的關(guān)系，知道終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍，體會數(shù)形結(jié)合的思想及由特殊到一般的歸納思想(3)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗明白度量長度、質(zhì)量可以用不同的單位制，不同的單位制可以給解決問題帶來方便，因此初步體會引入弧度制的必要性；(4)在探究如何科學(xué)合理地定義弧度制這一概念的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的探究過程，首先從不同半徑的圓周中提煉出不變的量是圓周角的大小和周長與半徑的比值，進(jìn)一步推廣到更為一般的圓心角為所對弧長與半徑的比值不變，通過認(rèn)識、理解、把握弧度制的本質(zhì)，學(xué)生經(jīng)歷概念形成的全過程，能描述1弧度角的概念，達(dá)成理解弧度制這一目標(biāo).(5)在弧度制的應(yīng)用過程中，學(xué)生認(rèn)識到角度制和弧度制之間的關(guān)系，能找到兩種度量制之間的換算橋梁是，通過寫特殊角的弧度數(shù)來熟練角度與弧度的換算，提高運(yùn)用有關(guān)知識解決問題的能力，達(dá)成角度與弧度互化的目標(biāo)；通過例3證明弧度制下扇形的弧長和面積公式，學(xué)生體會弧度制的簡潔性.三、教學(xué)問題診斷分析本節(jié)教學(xué)難點:任意角概念的建構(gòu)，用集合表示終邊相同的角，弧度制的概念．1.本單元的第一個難點是學(xué)生如何理解角的范圍的擴(kuò)充.學(xué)生已經(jīng)比較熟悉數(shù)系擴(kuò)充的過程與方法，角的范圍的擴(kuò)充與數(shù)系擴(kuò)充是完全類似的，只是關(guān)于角的運(yùn)算只有加減.因此在擴(kuò)充過程中要注意以下教學(xué)過程：引進(jìn)360°的角和負(fù)角的必要性，其要點是“角是轉(zhuǎn)出來的”，射線繞端點旋轉(zhuǎn)時，確定一個旋轉(zhuǎn)需要旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向兩個要素；定義任意角時必須明確定義的對象集合中怎樣的兩個元素是“相同的”，這是后續(xù)研究的基礎(chǔ)；引入象限角，讓角的頂點與原點重合、始邊與x2.本單元的第二個難點是如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出“終邊相同的角的表示”.引入象限角表示后，出現(xiàn)的問題是：給定一個角，其終邊唯一確定，但一條終邊卻可以對應(yīng)無數(shù)個角.這時可以提出一個問題：兩個角，其始邊、終邊都相同，那么它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，有怎樣的聯(lián)系呢？一般地，確定同一事物兩種表示之間的聯(lián)系、轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)的一個基本任務(wù).教學(xué)時，可以從上述一般性角度提出問題，再由形到數(shù)、從具體到抽象，把“角的終邊繞原點旋轉(zhuǎn)整數(shù)周回到原來位置”用數(shù)量關(guān)系表示出來就得到結(jié)果.3.本單元的第三個難點是如何理解弧度制？把握任何度量制，度量單位的理解是根本.1弧度的意義是什么？從名稱上就可以知道這是用圓的弧長來度量角的大小，這里有一個問題要解決：如圖，QQ1和PP1所對圓心角都是α，但它們的弧長顯然不等，是與半徑相關(guān)的.聯(lián)系到初中階段學(xué)過的弧長公式(其中n是α的度數(shù))，可以發(fā)現(xiàn)，這說明隨α的確定而唯一確定四、教學(xué)支持條件分析在信息技術(shù)的支持下，可以動態(tài)地表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程，有利于學(xué)生觀察角的大小變化與終邊位置的關(guān)系，因此要注意用信息技術(shù)幫助學(xué)生了解任意角和弧度制的概念.五、教學(xué)過程設(shè)計播放章首引入微課視頻微課文字：同學(xué)們好，其實在我們的現(xiàn)實世界中的許多運(yùn)動、變化都有著循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，這種變化規(guī)律稱為周期性。例如：地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化，公轉(zhuǎn)引起的四季交替，所以我們在學(xué)?？梢孕蕾p到：春天的花，夏天的蟬，秋天的葉，冬天的雪，除此之外月亮的圓缺，潮汐的變化，物體做簡諧運(yùn)動時的位移變化等現(xiàn)象，都具有周期性。我們不禁會想，能否用數(shù)學(xué)的方法來刻畫這種現(xiàn)象呢？如果可以，如何刻畫呢？請同學(xué)們先觀察章頭圖并閱讀第五章章引言，再回答如下問題：1.本章要學(xué)習(xí)的函數(shù)是什么？2.這種函數(shù)主要可以解決我們實際生活中的哪類問題？你能舉出具體例子嗎？3.你能簡單說說以前研究函數(shù)的過程與方法嗎？設(shè)計意圖：明確本章研究內(nèi)容、目的、簡單的過程和方法，為本章的研究指明方向.情境導(dǎo)入，引起興趣思考：假如你的時鐘慢了15分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？假如你的時鐘快了15分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？若是5分鐘呢？當(dāng)時間校準(zhǔn)時，分針轉(zhuǎn)了多少度？師生活動：邀請兩位學(xué)生現(xiàn)場操作，進(jìn)行時鐘快慢的校準(zhǔn).設(shè)計意圖：學(xué)生通過觀察生活中的實例以及親自體驗，一方面加強(qiáng)數(shù)學(xué)與我們現(xiàn)實生活的聯(lián)系，說明學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的.另一方面學(xué)生在用語言描述這些超過0°~360°角的時候，會發(fā)現(xiàn)用靜態(tài)角的定義不再適合，讓他們體會到，要想準(zhǔn)確描述這些角，有必要將角的范圍進(jìn)行拓展,問題一：圓周運(yùn)動是一種常見的周期性變化現(xiàn)象.如圖，?O上的點P以A為起點做逆時針方向的旋轉(zhuǎn)，如何刻畫點P的位置變化呢？師生活動：借助數(shù)學(xué)上的軟件，讓學(xué)生觀察在點P運(yùn)動的過程中，角α的變化.設(shè)計意圖：周期性變化現(xiàn)象隨處可見，圓周運(yùn)動是研究這種現(xiàn)象的變化規(guī)律的理想載體，教科書單刀直入地提出如何刻畫圓周上一點的位置變化，學(xué)生分析得出“可以借助角α的大小變化刻畫“.但是在點P的運(yùn)動過程中，角的范圍將超出0°（二）合作探究，建構(gòu)概念師生活動：教師板書角的定義：我們規(guī)定，一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角，如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角.問題串：（1）要準(zhǔn)確的刻畫一個角，需要關(guān)注哪些量？（2）從方向上看，順時針和逆時針是兩個具有相反意義的量，在初中我們學(xué)過可以用什么來表示兩個具有相反意義的量？設(shè)計意圖：問題串的設(shè)計一方面是就是讓學(xué)生學(xué)會用量化的方法刻畫任意角，培養(yǎng)學(xué)生觀察的能力，提升邏輯推理核心素養(yǎng).另一方面讓學(xué)生意識到是用符號表示“方向”.可以類比正負(fù)數(shù)的規(guī)定，說明正角、負(fù)角是用來表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，其正、負(fù)規(guī)定出于習(xí)慣，同時角拓展成任意角.旋轉(zhuǎn)方向任意角逆時針方向正角順時針方向負(fù)角無任何旋轉(zhuǎn)零角（三）探究新知，突破難點問題二:任意角是否可以進(jìn)行加減運(yùn)算？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)初中角的運(yùn)算中不考慮方向，兩角和差只考慮“大角減小角”，角的范圍擴(kuò)充后，要注意考慮旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向兩個方面，不僅可以“小角減大角”，而且對兩角的和也賦予了全新的意義.追問1：你知道什么是兩角相等？兩角相加是如何規(guī)定的？設(shè)計意圖：定義了一個具有數(shù)量特征的數(shù)學(xué)概念之后，緊接著需要研究的就是兩個這種數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系以及運(yùn)算問題.追問2：你知道什么是互為相反角？兩角怎樣相減？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生類比實數(shù)的減法運(yùn)算，先定義任意角的相反角的概念.設(shè)計意圖：類比實數(shù)，得到相反角的定義及兩個任意角之間的減法運(yùn)算.練習(xí)：你能用作圖的方式反映出30°與-30°；探究活動1（小組合作討論）：對于一般的“α設(shè)計意圖：通過具體的例子加強(qiáng)對于相等角、相反角、角的加法、減法的理解，并能推廣到一般情形，這里體現(xiàn)了具體與抽象、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法.探究活動2:動手試一試（如何比較α,問題三:在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系中討論角，其頂點與始邊的位置是如何規(guī)定的？追問1:750°

;210°;-150°分別是第幾象限角？追問2：銳角是第幾象限的角？第一象限的角都是銳角嗎？鈍角呢？追問3：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？設(shè)計意圖：讓學(xué)生明確在直角坐標(biāo)系中討論角需要有一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn).在這個統(tǒng)一前提下，才能對象限角進(jìn)行定義.這樣討論角的好處就是：在同一“參照系”下，可以使角的討論更加簡化，由此還能使角的終邊位置“周而復(fù)始”現(xiàn)象得到有效表示.另外，終邊落在坐標(biāo)軸上是一種“邊界”狀態(tài)，因此規(guī)定它不屬于任何一個象限更方便.3個追問的設(shè)置是加深學(xué)生對于象限角的判斷與理解，以及對于銳角、鈍角范圍更加明確.探究活動3：給定一個角，就有唯一的一條終邊與之對應(yīng).反之，對于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條射線OB(如圖),以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系？師生活動：通過動畫演示與回答問題，使學(xué)生明確：（1）終邊相同的角不一定相等；（2）終邊相同的角有無數(shù)個，這些角有“始邊、終邊都相同”的共同特征；（3）這無數(shù)個終邊相同的角在數(shù)量上都是相差360°的整數(shù)倍設(shè)計意圖：終邊相同的角其實是具有特殊關(guān)系的象限角，角具有“始邊、終邊都相同”的共同特征，通過數(shù)學(xué)軟件的展示讓學(xué)生觀察終邊相同的角之間的數(shù)量關(guān)系，實現(xiàn)定性到定量的刻畫，是幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)化，這也是研究數(shù)學(xué)問題的基本策略.除此之外之外還考察學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、從具體到抽象、通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律等，這是數(shù)學(xué)探索事物性質(zhì)的普遍方法.（四）嘗試應(yīng)用，交流互動例1在0°~360師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生先估計-950°12'大致是360設(shè)計意圖：例1的設(shè)置主要是使學(xué)生能用終邊相同的角解決實際問題，為以后證明恒等式、化簡及利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值等奠定基礎(chǔ).例2寫出終邊在y軸上的角的集合.師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生用集合表示終邊相同的角，并觀察到終邊在一條直線上.設(shè)計意圖：例2的設(shè)置讓學(xué)生理解終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示，表示方法不一唯一，要注意采用簡約的形式，“終邊在一條直線上”的代數(shù)解釋是“兩個集合中的元素相差180°的整數(shù)倍例3寫出終邊在直線上的角的集合S.S中滿足不等式360°≤β<師生活動：讓學(xué)生表示終邊在已知直線的角.設(shè)計意圖：鞏固終邊相同角的表示.例3與例2的本質(zhì)是一樣的，所以教學(xué)時教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析它們的共性，在此基礎(chǔ)上可以推廣到其他直線.設(shè)計意圖：及時檢驗學(xué)習(xí)效果，便于教師整體把握學(xué)情，確保教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn).（五）回顧小結(jié)，總結(jié)提升1.我們是如何探究角的概念推廣到任意角的？探究過程是什么？2.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？3.本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想？你有哪些感悟？師生活動：學(xué)生自主總結(jié)，交流展示:本節(jié)課首先引入旋轉(zhuǎn)，定義了正角、負(fù)角和零角，從而將角拓展到了任意角，接著為了研究的方便，將角放入到直角坐標(biāo)系中研究，角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，就說角是第幾象限的角，相同的角的終邊相同，終邊相同的角，角不一定相等，所以又得到了終邊相同角的關(guān)系:.在直角坐標(biāo)系中討論角可以很好地表現(xiàn)角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.在生活中，也有很多“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的現(xiàn)象，比如，地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)才有了晝夜交替，月球繞著太陽旋轉(zhuǎn)就有了月圓月缺，三角函數(shù)是研究客觀世界中的周期變化規(guī)律的重要工具.設(shè)計意圖：從四個層次進(jìn)行回顧，起到了梳理、提煉、升華，檢驗的效果，也啟發(fā)學(xué)生要關(guān)注知識生成與發(fā)展的過程，從結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖中感受大單元的設(shè)計理念.（六）作業(yè)布置、分層高效(1)基礎(chǔ)鞏固課本練習(xí)第3、4、5題.(2)素養(yǎng)提升寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.(3)拓廣探索若角α是第二象限角，探究α2設(shè)計意圖：分層設(shè)計是為了讓每位同學(xué)都有獲得感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動力，提升作業(yè)有助于提高學(xué)生對坐標(biāo)法的應(yīng)用能力，探究作業(yè)是情境的再研究，拓展思維，積累代數(shù)運(yùn)算經(jīng)驗，讓本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)在課后繼續(xù)落實.六、目標(biāo)檢測設(shè)計A組：適用普通高中學(xué)生1.已知角的頂點與直角坐標(biāo)系的原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角：(1)420°;(2