第4章三角函數(shù)-的圖像與性質(zhì)理科

第二 題型 1.（2013江西理11）函數(shù)ysin2x23sin2x的最小正周期為T 2.（2013江蘇1）函數(shù)y3sin2xπ的最小正周期 4 3.（20149）y3sin2x 3 應的函數(shù) A．在區(qū)間,7上單調(diào)遞 B．在區(qū)間,7上單調(diào)遞 C．在區(qū)間,上單調(diào)遞 D．在區(qū)間,上單調(diào)遞 63 634.（2014陜西理2）函數(shù)fxcos2xπ的最小正周期是 6

C. D.5.（2014新課標2理14）函數(shù)fxsinx22sincosx的最大值 116（ 22π（1）若0 ，且sin ，求f的值2π （2）求函數(shù)fx的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間17（某一天的溫度（單位：C）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系ft10

3cosπtsinπt，t0,24 求這一天的最大溫差若要求溫度不高于11C，則在哪段時間需要降溫 )已知函數(shù)fxAsinx（A均為正的常數(shù)）的最小正周為，當x2時，函數(shù)fx取得最小值，則下列結(jié)論正確的是 3A.f2f2f B.f0f2ff2f0f D.f2f0f解析因為T，所以2fxAsin2xx2fx取最小值,所以2232k 所以2kkZfxAsin2x 6 2k時，即x k時，fx取最大值 下面需判斷022與最近的最高點處的對稱軸的距離,距離越大,相應的函數(shù)值越小，yy2O—5π-6π6x60 6

因 0.52，26

1.48，260.626 6f2f2f08.（2015）下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)是 A.ycos2xπ B.ysin2xπ 2 2 ysin2xcos

ysinxcos解析由T2πA，B，C的周期都是πD的周期為2π

ysin2x，為奇函數(shù)解析（1）m22nsinxcosx，且mn 2

nn2,2sinx,cosx 22

cosx0所以sinxcosx，所以tanxsinxcos

sinx m

4

（2）由（1）依題知

sinx m

2

2

4

sin2xcos22 2所以sinx1．又因為x,，所以 ，即x5 4

44 4 ）fxsin2xsin2xπxR 6 求fx最小正周期求fx在區(qū)間π,π上的最大值和最小值34分析(1)利用兩角和與差的正余弦及二倍角的正余弦化簡函數(shù)的解析式，由三1cos2xπ1cos

3解析(1)由已知，有fx 11cos2x 3sin2x1cos2x 3sin2x1cos2x1sin2xπ 2 6所以fx的最小正周期T2ππ2f ππ

ππ(2)解法一：因為在區(qū)間 6上是減函數(shù)，在區(qū)間

上是增函數(shù)

64fπ fπ

π

f ππ 3 4， 6

2，f4

，所以在區(qū)間 ，上的最大3 3

34是4，最小值是2π剟π，得π剟π，得π，剟2xππ34326631剟sin2xπ 3，1剟f 3 6 xπfx取得最小值1xπfx取得最大值為3 13.（2015重慶）fxsinπxsinx

3cos2 求fx的最小正周期和最大值 討論fx在π2π上的單調(diào)性 3解析（1）fx1sin2x3cos2x1sin2x 31cos2x 1sin2x 3cos2x 3sin2x 3

3 因此fx的最小正周期為，最大值為1 32（2）令2kππ剟2x 2kππ，kZ，得kππ剟 kπ5π，kZ 所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ

π,kπ5π，kZ 12fx的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ5πkπ11πkZ 12故當xπ2π時，fx在π5π上單調(diào)遞增，在5π2π上單調(diào)遞減 3

314.（20167）f(x)(3sinxcosx)(3cosxsinx π2

C．3π

B解析f(x2sinxcosx

3cosx2sinx2sin2x

3cos2x π32sin2x ，所以最小正周期是π.3 15.（20165）f(xsin2xbsinxcf與b有關(guān)，且與c有 B.與b有關(guān)，但與c無C.與b無關(guān)，且與c無 D.與c無關(guān)，但與c有B解

的最小正周期 f(x)sin2xbsinxc1cos2xbsinxccos2xbsinxc1 ycos2x的最小正周期為πysinx的最小正周期為2π.b0時f(x)cos2xc1f(xπ b0時，此時fx的最小正周期為2π.所以b影響f(x的最小正周期，而c為常項不影響f(x的最小正周期.故選 理7）方程3sinx1cos2x在區(qū)間0,2π上的解 π5π解析由3sinx22sin2x，即2sin2x3sinx20，所以2sinx1sinx20，故sinx1. 2x02πxπ5π 17（2016 7解析解法一（圖像法：畫出函數(shù)圖像草圖，共7y1π π-解法二（解方程：即解方程sin2xcosx，即2sinxcosxcosx所以cosx0或sinx1，由x03π．當cosx0時x； sinx1時x 共7個根，即共73 理15）已知函數(shù)fx4tanxsinπxcosxπ 3 3 求fx的定義域與最小正周期（2）討論fx在區(qū)間π,π上的單調(diào)性44 解 （1）fx的定義域為xx kπ,kZ 33fx4tanxcosxcosxπ 4sinxcosxπ 33 3 3 334sinx1cosx 3sinx 2sinxcosx23sin2x 33 3 3sin2x

31cos2x sin2x

3cos2x2sin2xπ 3 fx的最小正周期T2ππ2z2xπy2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是π2kππ2kπkZ 由π2kπ剟2x π2kπ，得

kπ剟

5πkπ，kZ π,π, ，Bkπ,k4

,πB B又πππTxππfx

在區(qū)間ππ 4

區(qū)間ππ上單調(diào)遞減 12 3理6）設(shè)函數(shù)fxcosxπ，則下列結(jié)論錯誤的是 3 f

的一個周期為

yfxx83fxx6

f

在上π

解析函數(shù)fxcosxπ的圖像可由y 向左平移π個單位長度得到由圖可知 3 f 在ππ上先遞減后遞增，所以D選項錯誤.故選 yy-O6x題型

π 1（2013 5）函數(shù)fx2sinx

< 象如圖所示，則，的值分別是

2 3

6

- D.4， -2. 16）fx4cosxsinxπ>0的最小正周期為π 4 求的值fx在區(qū)間0π上的單調(diào)性， 23.(201320）f(x)sin(x)(00π的周期為π個對稱中心為π,0f(x圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2（縱坐標不變 π2

g(x)f(xg(x)xππf(xg(x),f(x)g(x6 6

x0求實數(shù)anF(xf(xag(x)在0nπ內(nèi)恰有2013個零點 理14）fxsinx

A,,A0,0fx在區(qū)間ππfπf2πfπfx

2 3 6 期 ，5.（2014大綱理16）fxcos2xasinx在區(qū)間π是減函數(shù)，則a，62值范圍 6.（2014江蘇理5）ycosxysin2x0?個橫坐標為的交點，則的值 37.（201416（12分）已知向量amcos2xbsin2xnfxabyfx的圖像過點π,3和點2π2 求mn

yfx的圖像向左平移0πygxygx圖像上各最高點到點0,3的距離的最小值為1，求ygx的單調(diào)遞增區(qū)間

201417）fx

3sinx0π?π 2 xπ對稱，且圖像上相鄰兩個最高點的距離為π.3求和若f 3π2π，求cos3π的值2

4 3

2 12）已知函數(shù)f(x)sin(x0?πxπf(x24 24 零點xπyf(x圖像的fx在π5π上單調(diào)的最大值 ，1836 B解析依題意，可得πT2k1kN，且5ππ?T，即T…π 故2k1?12，kNk

11，kN.當k5時，T2π.

π2π3π5π fx在π5π上不單調(diào).k4T2ππ2π

ππ,5π 1836

1836ππ5ππ5πfx在π5π上單調(diào)，則9.

1836

183610.（2016浙江理10）已知2cos2xsin2xAsin(x)b(A0)，則A b

解

2cos2xsin2xcos2xsin2x1

2sin2xπ

2.所以2 4 A2,b 理13）abRc02πx2sin3xπ 3 asinbxc，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組a,b,c的組數(shù) 4解析①當a2時，若b3，則c5π；若b3，則c4π ②當a2時，若b3，則cπ；若b3，則c2π．共4組 評注或者如此考慮，當a,bc也唯一確定，因此有224

7）f(x2sin(x，xR0，||f5288f0f

的最小正周期大于2，則 8 A.2，

，

，

1，

52k1由題意1

2kkZ4

2k2 1k

又T22，所以01，從而2.由2k1，得π 解法f52，f0x5fx

8 8 點 為f 的一個零點，則1152k1T，又因為T ，即8 8=22k3

.0，且f

2，所以=3

52+2k

，所以

.13.(201718)fxsin2xcos2x23sinxcosxxR.2（1）f3 （2）求fx的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間3 3

2

3

1

13（1）由3

3

f

23

2

3

2

2

2 fxcos2x

cos2xcos2xsin23sin2x2sin2x

sin2x2sinxcos 6fx的最小正周期是T2π22k剟2x

32kkZ，解得k剟

2k,kZ fx的單調(diào)遞增區(qū)間是k2kkZ3 3題型 4 f(xf(x在區(qū)間0,π 2(201316）acosx，1，b3sinx，cos2x，xR 2 fxab求fx的最小正周期fx在0π上的最大值和最小值， 2 15）fxcosxsinxπ3cos2x

，xR3 3 3 求fx的最小正周期fx在閉區(qū)間ππ上的最大值和最小值 4417.（201614）ABC中，若sinA2sinBsinC，則tanAtanB的最小值 17.8分析解析解法一：由sinAsinBCsinBcosCcosBsinC2sin

由三角ABC為銳角三角形，則cosB0cosC0同時除cosBcosC又tanAtanBCtanBtan1tanBtan

0，所以tanBtanC故tanAtanBtanCtanBtanC2tanBtanC1tanBtanC 不妨設(shè)ttanBtanCt1，故tanAtanBtanC t

1t2所以當

1，即t2時，tanAtanBtanC

8．此tanBtanC4tanBtanC2，解得tanB2

2tanC2 tanA4（或tanBtanC互換A2解法二tanBtanC2tanBtanC而tanAtanBCtanBtan1tanBtan

，即tanA1tanBtanCtanBtanC從而tanAtanBtanCtanAtanBtanC（這個中作為例題出現(xiàn)要求證明2tanAtanBtan故tanAtanBtanCtanA2tanAtanBtan整理得tanAtanBtan8，當且僅當tanBtanC4tanA2tanBtanC4解得tanB2

2,tanC2

2tanA4（或tanBtanC互換此時AB,C均為評注B,C等價，但構(gòu)造等腰三角形求解出的最值卻不正確，因此等價的思想也需慎用．如果注意到此題的結(jié)構(gòu)，我們優(yōu)先考慮切化弦，且優(yōu)先考慮sinBsinC配，則有：解法三tanAtanBtanC

sinAsinBsinC

2sinBsinC 2sinBsinC

cosAcosBcosab

sinBsinCcosBcos…cosBcos

sinBsin

28（因為ab?

2 題型 1.（2013理4）將函數(shù)y

3cosxsinxxR的圖象向左平移mm0長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是 π

6

3

62.（20135）ysin2xxπ8偶函數(shù)的圖象，則的一個可能取值為

D.43.（20144）ysin3xcos3xy

2sin3x圖像 向右平移π個單位長 B.向左平移π個單位長4C.

π個單位長

理3）為了得到函數(shù)ysin2x1的圖像，只需把函數(shù)ysin2x的圖像 A．向左平行移動1個單位長 B．向右平行移動1個單位長 Px 向左平行移動1個單位長度 D．向右平行移動1個單位長度5.（2014新課標1理6）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)fx，則yfx在0,Px 11111 11）fxsin2x的圖像向右平移 4 關(guān)于y軸對稱，則的最小正值 7.（2015湖南）fxsin2x的圖像向右平移0π 2 gx的圖像，若對滿

fxg

2xxx

π，則

π3

π4

2 π6解析fx向右平移g(x)sin2x2 π又因為|f(x1g(x2|2，所以不妨設(shè)2x122kπ2x2222mππ所以x1x22km)π又因為x π，所以πππ.故選 2

1）函數(shù)fxcosx的部分圖像如圖所示，則fx的單調(diào)遞減區(qū)間 A．k1,k3，kZy1O1454x y1O1454x B．2k1,2k3，kZ 4 3C．k

,k

，kZ 4D．2k1,2k3，kZ 4 解析由題可得T511，即T2，所以2 x332k，解得2kkZ k0，解得fxcosx． 4 令2k剟x 2k，解得2k1剟 2k3.故選 9.（2015山東）要得到函數(shù)ysin4x的圖像，只需將函數(shù)ysin4x的圖像 3

個單位長 B．向右平

C3

個單位長 3

ysin4x

解析

3

sin4x12ysin4x12

ysin4x10.（2015陜西）618y3sin(πx)k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為 6 y水深2

18

時間解析根據(jù)圖像可知，函數(shù)最低點為2y3sinπxk的最小值為26 3k2，解得k5，y3sin(πx)5，所以 358.故選

11.（2015福建）fxgxcosxgx2倍（橫坐標不變平移個單位長度．2求函數(shù)fx的解析式，并求其圖像的對稱軸方程已知關(guān)于x的方程fxgxm在02內(nèi)有兩個不同的解求實數(shù)m的取值范圍求證：cos y1y1O1454x解析解法一（1）2倍（橫坐標不變）y2cosx的圖像，再將y2cos

2y2cosx

fx2sinx 2 fx2sinxxkkZ22515（2（?。?5 sinx cosx2515

5sinx 15255其中sin 15255

m在02內(nèi)有兩個不同的解

1m的取值范圍是

5,5．m5（ⅱ）因為m5

5sinxm在02內(nèi)的兩個不同的解5所以sin5

m，sin

m．當1?m

時，25 5 55即2；當 m1時，2355 即32， 5所以coscos22sin21 5（1）

21 25（2（?。áⅲ┮驗?/p>

5sinxm在02內(nèi)的兩個不同的解5所以sin5

m，sin

m．當1?m

時，25 5 55即；當 m1時，2355 即3，所以coscos，于是coscos2coscossinsin=2 m2

m

cos2sinsin1

5

5 ）某同學用“五點法”f(x)Asin(x)(0,||π2x0πxAsin(x050yf(x)圖像上所有點向左平行移動(0)yg(x)像.yg(x圖像的一個對稱中心為(5π,0，求的最小值解析（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A5,2,π.數(shù)據(jù)補全如下表60πx130500且函數(shù)表達式為fx5sin2xπ 6fx

π

π 5sin2x6，得gx5sin2x26 因為fxsinx的對稱中心為kπ,0kZ令2x2πkπxkπ

π，kZ ygx的圖像關(guān)于點5π,0kπ

π5π

解得kππkZ.由0k1時，π

對稱軸為 A.xkππk D.xkππk

B.xkππk

C.xkππk y y πB解析平移后圖像表達式 2sin2x

2xπkπ+π

12 xkππkZ.

3）ysin2xπy

3 上所有的點 A.向左平行移動個單位長 B.向右平行移動個單位長 C.向左平行移動個 π位長 D.向右平行移動個單位長6解析ysin2xπsin2xπysin2x 3 6π6

個單位.

7）ysin2xπPπtss0 3 長度得到點P.若P位于函數(shù)ysin2x的圖像上，則 t1s

t

3s