期權(quán)定價(jià)第9章

期權(quán)定價(jià)第9章9.1期權(quán)價(jià)格的特性

一、期權(quán)價(jià)格的構(gòu)成期權(quán)價(jià)格等于期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值加上時(shí)間價(jià)值。１，內(nèi)在價(jià)值內(nèi)在價(jià)值是指期權(quán)持有者立即行使該期權(quán)合約所賦予的權(quán)利時(shí)所能獲得的總收益。看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為max{S-X,0}看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為max{X-S,0}2023/3/27

按照有無內(nèi)在價(jià)值，期權(quán)可呈現(xiàn)三種狀態(tài)：實(shí)值期權(quán)、虛值期權(quán)和平價(jià)期權(quán)。把Ｓ>Ｘ（S<X）時(shí)的看漲(跌)期權(quán)稱為實(shí)值期權(quán)；把Ｓ＝Ｘ的看漲（跌）期權(quán)稱為平價(jià)期權(quán)；把S<X（Ｓ>Ｘ）時(shí)的看漲(跌)期權(quán)稱為虛值期權(quán)；2023/3/272，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值

期權(quán)的時(shí)間價(jià)值（TimeValue）是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價(jià)值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率越高，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值就越大。X時(shí)間價(jià)值圖9.1看漲期權(quán)時(shí)間價(jià)值與|S-X|的關(guān)系Ｓ到期日時(shí)間價(jià)值5432102023/3/273,期權(quán)價(jià)格與內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值間的關(guān)系

期權(quán)合約的價(jià)值是由期權(quán)價(jià)格決定的，即由內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值所決定。三者之間的關(guān)系如圖9-2所示。2023/3/27ATM期權(quán)費(fèi)變動(dòng)曲線OTMITMXIVTVTVTV0標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)S期權(quán)費(fèi)圖9.2看漲期權(quán)的期權(quán)費(fèi)、內(nèi)在價(jià)值、時(shí)間價(jià)值的關(guān)系2023/3/27二、期權(quán)價(jià)格的影響因素（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場價(jià)格與期權(quán)的協(xié)議價(jià)格對于看漲期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格越高、協(xié)議價(jià)格越低，看漲期權(quán)的價(jià)格就越高。對于看跌期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格越低、協(xié)議價(jià)格越高，看跌期權(quán)的價(jià)格就越高。2023/3/27（二）期權(quán)的有效期

對于美式期權(quán)而言，由于它可以在有效期內(nèi)任何時(shí)間執(zhí)行，有效期越長，多頭獲利機(jī)會(huì)就越大，而且有效期長的期權(quán)包含了有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機(jī)會(huì)，因此有效期越長，期權(quán)價(jià)格越高。對于歐式期權(quán)而言，由于它只能在期末執(zhí)行，有效期長的期權(quán)就不一定包含有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機(jī)會(huì)。這就使歐式期權(quán)的有效期與期權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系顯得較為復(fù)雜。

2023/3/27

但在一般情況下（即剔除標(biāo)的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況），由于有效期越長，標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)就越大，空頭虧損的風(fēng)險(xiǎn)也越大，因此即使是歐式期權(quán)，有效期越長，其期權(quán)價(jià)格也越高，即期權(quán)的邊際時(shí)間價(jià)值（MarginalTimeValue）為正值。我們應(yīng)注意到，隨著時(shí)間的延長，期權(quán)時(shí)間價(jià)值的增幅是遞減的。這就是期權(quán)的邊際時(shí)間價(jià)值遞減規(guī)律。

2023/3/27（三）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率

標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率是用來衡量標(biāo)的資產(chǎn)未來價(jià)格變動(dòng)不確定性的指標(biāo)。由于期權(quán)多頭的最大虧損額僅限于期權(quán)價(jià)格，而最大盈利額則取決于執(zhí)行期權(quán)時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)市場價(jià)格與協(xié)議價(jià)格的差額，因此波動(dòng)率越大，對期權(quán)多頭越有利，期權(quán)價(jià)格也應(yīng)越高。

在定價(jià)時(shí)，波動(dòng)性只能通過人們對未來的價(jià)格波動(dòng)程度的估計(jì)求得，主要有兩種方法：歷史波動(dòng)法和隱含波動(dòng)法。2023/3/27（四）無風(fēng)險(xiǎn)利率

從比較靜態(tài)的角度看。無風(fēng)險(xiǎn)利率越高，看跌期權(quán)的價(jià)值越低；而看漲期權(quán)的價(jià)值則越高。從動(dòng)態(tài)的角度看，當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率提高時(shí)，看漲期權(quán)價(jià)格下降，而看跌期權(quán)的價(jià)格卻上升。2023/3/27（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益由于標(biāo)的資產(chǎn)分紅付息等將減少標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，而協(xié)議價(jià)格并未進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，因此在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權(quán)價(jià)格下降，而使看跌期權(quán)價(jià)格上升。

2023/3/27期權(quán)價(jià)格的影響因素

變量歐式看漲歐式看跌美式看漲美式看跌標(biāo)的資產(chǎn)的市價(jià)＋－＋－期權(quán)協(xié)議價(jià)格－＋－＋期權(quán)的有效期？？＋＋波動(dòng)率＋＋＋＋無風(fēng)險(xiǎn)利率？？？？標(biāo)的資產(chǎn)的收益－＋－＋注：＋：互補(bǔ)關(guān)系：－：抵消關(guān)系；？：關(guān)系不明確。2023/3/27我們首先將本章后面所用到的符號(hào)及其含義開列如下：X：期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格；T：期權(quán)的到期時(shí)刻；t：現(xiàn)在的時(shí)刻；S：標(biāo)的資產(chǎn)在t時(shí)的市場價(jià)格；ST：標(biāo)的資產(chǎn)在T時(shí)的市場價(jià)格；C：美式看漲期權(quán)的價(jià)格；c：歐式看漲期權(quán)的價(jià)格；P：美式看跌期權(quán)的價(jià)格；p：歐式看跌期權(quán)的價(jià)格；r：t到T期間的市場無風(fēng)險(xiǎn)利率（連續(xù)復(fù)利）；三、期權(quán)價(jià)格的上下限

:標(biāo)的股票價(jià)格的波動(dòng)率，一般用標(biāo)的股票連續(xù)復(fù)利收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差表示。2023/3/27（一）期權(quán)價(jià)格的上限1,看漲期權(quán)價(jià)格的上限

對于美式和歐式看漲期權(quán)來說，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格就是看漲期權(quán)價(jià)格的上限：

其中，c代表歐式看漲期權(quán)價(jià)格，C代表美式看漲期權(quán)價(jià)格，S代表標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。（下同）（9.1）2023/3/27

2,看跌期權(quán)價(jià)格的上限

美式看跌期權(quán)價(jià)格（P）的上限為X：

其中，r代表T時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)利率，t代表現(xiàn)在時(shí)刻。（9.2）歐式看跌期權(quán)的上限為：（9.3）2023/3/27（二）期權(quán)價(jià)格的下限

1,歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限（1）無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限

我們考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)2023/3/27由于期權(quán)的價(jià)值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格下限為：

在T時(shí)刻，組合A的價(jià)值為：

由于，因此，在t時(shí)刻組合A的價(jià)值也應(yīng)大于等于組合B，即:

或組合B的價(jià)值為ST。（9.4）2023/3/27例題

考慮一個(gè)不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，此時(shí)股票價(jià)格為20元，執(zhí)行價(jià)格為18元，期權(quán)價(jià)格為3元，距離到期日還有1年，無風(fēng)險(xiǎn)年利率10%。問此時(shí)市場存在套利機(jī)會(huì)嗎？如果存在，該如何套利？（2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限（9.5）

我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為，其中D為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為：2023/3/272,歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限

（1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限

考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)

在T時(shí)刻，組合C的價(jià)值為：max（ST，X），組合D的價(jià)值為X。組合D：金額為的現(xiàn)金

2023/3/27

由于組合C的價(jià)值在T時(shí)刻大于等于組合D，因此組合C的價(jià)值在t時(shí)刻也應(yīng)大于等于組合D，即：

由于期權(quán)價(jià)值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格下限為：（9.6）2023/3/27（2）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限（9.7）

我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限為：

2023/3/27四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性

（一）提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性

1,看漲期權(quán)

由于現(xiàn)金會(huì)產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標(biāo)的資產(chǎn)無收益，再加上美式期權(quán)的時(shí)間價(jià)值總是為正的，因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的。因此，C=c（9.8）2023/3/27

根據(jù)（9.4），我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價(jià)格的下限：

（9.9）2023/3/27是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實(shí)值額（X-S）、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平等因素。一般來說，只有當(dāng)S相對于X來說較低，或者r較高時(shí)，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。美式看跌期權(quán)的下限為：2,看跌期權(quán)2023/3/27（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性

1,看漲期權(quán)由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)可較早獲得標(biāo)的資產(chǎn)，從而獲得現(xiàn)金收益，而現(xiàn)金收益可以派生利息，因此在一定條件下，提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能是合理的。由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價(jià)值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為：2023/3/272,看跌期權(quán)

由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：2023/3/27

所謂看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系是指看漲期權(quán)的價(jià)格與看跌期權(quán)的價(jià)格，必須維持在無套利機(jī)會(huì)的均衡水平的價(jià)格關(guān)系上。如果這一關(guān)系被打破，則在這兩種價(jià)格之間，就存在無風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)，而套利者的套利行為又必將這種不正常的價(jià)格關(guān)系拉回到正常水平。下面我們?nèi)匀挥脽o套利均衡分析法來推導(dǎo)這一關(guān)系。五、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系

2023/3/27（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系

1，無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)考慮如下兩個(gè)組合：

組合B：一份有效期和協(xié)議價(jià)格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金2023/3/27

在期權(quán)到期時(shí)，兩個(gè)組合的價(jià)值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時(shí)刻t必須具有相等的價(jià)值，即：

這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系（Parity）。

如果式（9.10）不成立，則存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。套利活動(dòng)將最終促使式（9.10）成立。（9.10）2023/3/27套利機(jī)會(huì)

市場情況：某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)的報(bào)價(jià)，股票市場價(jià)格為31美元，3個(gè)月期無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10％，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格都是30美元，3個(gè)月后到期。3個(gè)月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格分別為3美元和2.25美元。策略：1，購買看漲期權(quán)；2，出售看跌期權(quán)；3，賣空一股股票。2023/3/27結(jié)果：這個(gè)策略給出的初始現(xiàn)金流為：31.00－3.00＋2.25＝30.25美元。將這筆資金按無風(fēng)險(xiǎn)利率投資3個(gè)月，3個(gè)月末本息和為30.25e0.1*0.25=31.02美元。在3個(gè)月末，有如下兩種可能：1，如果股票價(jià)格大于30美元，該投資者執(zhí)行看漲期權(quán)。即按照30美元價(jià)格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利＝31.02－30＝1.02美元。2，如果股票價(jià)格小于30美元，該投資者的對手執(zhí)行看跌期權(quán)。即按照30美元價(jià)格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利＝31.02－30＝1.02美元。2023/3/27練習(xí)：

若同樣的市場條件，但3個(gè)月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格分別為3美元和1美元。問是否有套利的機(jī)會(huì)？若有，如何構(gòu)筑套利策略？并分析套利結(jié)果。2023/3/272.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)（9.11）

在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為，我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系：2023/3/27（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系

1.無收益資產(chǎn)情形2.有收益資產(chǎn)情形2023/3/279.2期權(quán)的定價(jià)原理一，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式（一）Black-Scholes模型的假設(shè)條件(1)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)是股票，其現(xiàn)行價(jià)格為S。這種資產(chǎn)可以被自由買賣；(2)期權(quán)是歐式看漲期權(quán)，在期權(quán)有效期內(nèi)其標(biāo)的資產(chǎn)不存在現(xiàn)金股利的支付。其協(xié)定價(jià)格為X，期權(quán)期限為T（以年表示）；2023/3/27(3)市場不存在交易成本和稅收，所有證券均完全可以分割；(4)市場不存在無風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)；(5)市場提供了連續(xù)交易的機(jī)會(huì);(6)存在著一個(gè)固定的、無風(fēng)險(xiǎn)的利率，投資者可以以此利率無限制地借入或貸出；(7)期權(quán)的標(biāo)的股票的價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，呈對數(shù)正態(tài)分布。2023/3/27

這就是著名的Black-Scholes微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。

2023/3/27（二）Black-Scholes歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式2023/3/27由歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系，我們很容易推算出具有相同標(biāo)的資產(chǎn)、相同到期日和相同執(zhí)行價(jià)格的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格。2023/3/27例9.1

考慮一種期權(quán)，有效期為6個(gè)月，股票價(jià)格為42美元，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為40美元，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10％，波動(dòng)率為每年20％。即S=42，X＝40，2023/3/27并且因此，若該期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，它的價(jià)格為：又因?yàn)镹（0.7693）＝0.7791，N（0.6278）=0.7349所以c=4.762023/3/27二、波動(dòng)率的確定方法

例9.2

假設(shè)一只股票當(dāng)前的價(jià)格為30元，6個(gè)月期國債的年利率為3％，一投資者購買一份執(zhí)行價(jià)格為35元的6個(gè)月后到期的看漲期權(quán)，假設(shè)在6個(gè)月內(nèi)股票不派發(fā)紅利。問題：他要支付多少期權(quán)費(fèi)？由題設(shè)知：S=30，X＝35，但還需要知道一個(gè)無法直接得到的變量：波動(dòng)率2023/3/27解題步驟：（1）波動(dòng)率的計(jì)算方法一：從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中計(jì)算波動(dòng)率。

假設(shè)在過去n周里的第t周股票收盤價(jià)為St，第t-1周的收盤價(jià)為St－1，則第t周的股票復(fù)利收益率為那么，周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差可用下面的公式計(jì)算其中：表示這n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為周波動(dòng)率的估計(jì)值。由歷史的股價(jià)數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)算得到此股票的周波動(dòng)率為0.045。2023/3/27我們?nèi)＝50周，即1年的交易周數(shù)，可得年波動(dòng)率或：方法二：把實(shí)際的市場期權(quán)價(jià)格代入B－S公式而計(jì)算出的波動(dòng)率即隱含波動(dòng)率。交易員通常從交易活躍的期權(quán)中計(jì)算隱含波動(dòng)率，然后利用計(jì)算出的隱含波動(dòng)率來估算基于同樣股票的不太活躍的期權(quán)的價(jià)格。更常見的是，可以同時(shí)得到基于同樣股票的幾種不同期權(quán)的幾個(gè)隱含波動(dòng)率，然后對這些隱含波動(dòng)率進(jìn)行恰當(dāng)?shù)募訖?quán)平均就可以計(jì)算出該股票的綜合隱含波動(dòng)率。2023/3/27投資者可以通過對比當(dāng)前市場的波動(dòng)率與期權(quán)的隱含波動(dòng)率的大小來進(jìn)行期權(quán)交易。如果認(rèn)為實(shí)際的市場波動(dòng)率高于隱含波動(dòng)率，那么當(dāng)前的期權(quán)價(jià)格被低估了，可以買進(jìn)期權(quán)。反之可以賣出期權(quán)。（2）計(jì)算N（d1）和N(d2)先計(jì)算：2023/3/27然后查正態(tài)分布累積概率表，得到和（3）計(jì)算期權(quán)價(jià)格C2023/3/27三、B-S公式的基本推廣（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式（9.6）式是針對無收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的，對于標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期日之前產(chǎn)生收益的情況，我們下面分兩種情況給予簡單分析。2023/3/271，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益的情況

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)將在時(shí)刻產(chǎn)生已知現(xiàn)值為I的收益，且。這時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值可分解為兩個(gè)部分：發(fā)生在時(shí)刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產(chǎn)生收益后到T時(shí)刻時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值的現(xiàn)值部分。其中后一部分是有風(fēng)險(xiǎn)的，記為于是我們可以直接利用（9.6）式來定價(jià)了，只要用來代替S即可，

2023/3/272，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益率的情況我們假定在任何時(shí)間段dt，標(biāo)的資產(chǎn)都產(chǎn)生收益qSdt，這等價(jià)于在每一刻都將剩余股票價(jià)值的比例為qdt的部分分走。以連續(xù)復(fù)利計(jì)算，意味著在期權(quán)到期日，還剩下原來資產(chǎn)價(jià)值的。所以，在現(xiàn)在時(shí)刻t，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值由兩部分組成：比例為的部分作為收益在到期日T之前發(fā)放，剩下比例為的部分是一單位標(biāo)的資產(chǎn)在到期日T的價(jià)值的現(xiàn)值。2023/3/27我們可用來代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解2023/3/27

（二）期貨看漲期權(quán)的定價(jià)公式如果標(biāo)的資產(chǎn)為各種期貨合約的話，上述期權(quán)定價(jià)公式必須做相應(yīng)修正，因?yàn)楝F(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)有著不同的交易規(guī)則。為此，我們設(shè)F為期貨價(jià)格，表示期貨價(jià)格的波動(dòng)率，其他符號(hào)與上述相同，則只要期貨價(jià)格和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格一樣遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)的話，就有2023/3/27（三）美式期權(quán)價(jià)格的近似解

假定標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻t1有收益，這里t＜t1＜T。美式看漲期權(quán)的多頭要么在臨近時(shí)刻t1執(zhí)行期權(quán)，要么在到期日時(shí)刻T執(zhí)行期權(quán)。因此，這個(gè)美式看漲期權(quán)的價(jià)值可以近似地看作兩個(gè)歐式看漲期權(quán)中較大的那一個(gè)。這兩個(gè)歐式看漲期權(quán)是

1）時(shí)刻t1到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)無收益；

2）時(shí)刻T到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻t1產(chǎn)生現(xiàn)值為I的收益2023/3/279.3期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法——二叉樹定價(jià)法

在很多情形中，我們無法得到期權(quán)價(jià)格的解析解，這時(shí)，人們經(jīng)常采用數(shù)值方法為期權(quán)定價(jià)，其中包括二叉樹方法、蒙特卡羅模擬和有限差分方法。蒙特卡羅方法的實(shí)質(zhì)是模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，預(yù)測期權(quán)的平均回報(bào)，并由此得到期權(quán)價(jià)格的一個(gè)概率解。有限差分方法將標(biāo)的變量滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化成差分方程來求解，具體的方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法等。2023/3/27一、單步二叉樹定價(jià)法

（一）一個(gè)簡單案例例9.3假設(shè)某只股票當(dāng)前的市場價(jià)格為20元。投資者預(yù)期3個(gè)月后股價(jià)有可能是22元，也有可能是18元。再假設(shè)該股票不分紅利且無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%。投資者打算對3個(gè)月后以21元執(zhí)行價(jià)格買入股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估值。我們知道，若到期時(shí)股票價(jià)格為22元，期權(quán)的價(jià)值為1元；若股票價(jià)格為18元，期權(quán)的價(jià)值將是0。如圖9.3所示2023/3/27圖9.3股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng)示意圖

182022C10在無套利假設(shè)下，二叉樹期權(quán)定價(jià)法的基本思路是：首先，以某種方式構(gòu)造一個(gè)只包含股票和期權(quán)的無風(fēng)險(xiǎn)證券組合；其次，根據(jù)到期日的股票和期權(quán)價(jià)格得出組合的價(jià)值；再次，利用無風(fēng)險(xiǎn)組合的收益率只能是無風(fēng)險(xiǎn)收益率，得出構(gòu)造該組合的初始成本，于是得出該期權(quán)的價(jià)格。2023/3/27我們首先假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)證券組合里包含一個(gè)股股票多頭頭寸和一單位看漲期權(quán)的空頭頭寸。根據(jù)假設(shè)，3個(gè)月后市場只會(huì)出現(xiàn)兩種可能結(jié)果：股票價(jià)格要么上升到22元要么下降到18元。如果股票價(jià)格上升到22元，期權(quán)的價(jià)值為1元，則組合的總價(jià)值為；如果股票價(jià)格下降到18元，期權(quán)的價(jià)值為0，則組合的總價(jià)值為。因?yàn)榻M合為無風(fēng)險(xiǎn)證券組合，到期日的價(jià)值是確定的。這意味著即2023/3/27因此，0.25股股票多頭和一單位看漲期權(quán)空頭就組成一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的證券組合。在期權(quán)到期日，組合的價(jià)值總是=4.5元。根據(jù)無套利均衡原理，

由于當(dāng)前的股價(jià)已知為20元，假設(shè)期權(quán)的價(jià)格為，則該組合當(dāng)前的價(jià)值為2023/3/27（二）一般結(jié)論設(shè)看漲期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)行價(jià)格為S，在期權(quán)到期日，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格要么上漲至現(xiàn)價(jià)的u倍，要么下跌至現(xiàn)價(jià)的d倍。這里u>1、d<1，如圖9.4所示。

再設(shè)當(dāng)前歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為C、執(zhí)行價(jià)格為X，在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上述兩種變化下，其價(jià)值分別為、。如圖9.5所示。2023/3/27SuSdS圖9.4標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)

C圖9.5

單期看漲期權(quán)的價(jià)值變動(dòng)

顯然2023/3/27為確定唯一的未知量C，我們構(gòu)造如下的一個(gè)投資組合：（a）以價(jià)格C賣出一份看漲期權(quán)；（b）買入h份標(biāo)的資產(chǎn)。其中h為套期保值比率，其大小是要保證該投資組合成為一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。也就是說，不管市場如何變化，該投資組合在到期日是的價(jià)值是確定的。建立組合的初始成本是購買股票的成本hS減去賣出期權(quán)收到的期權(quán)費(fèi)Ｃ，即。而標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲時(shí)，該投資組合的最終價(jià)值為；當(dāng)價(jià)格下跌時(shí)，該投資組合的最終價(jià)值為。2023/3/27因?yàn)樵撏顿Y組合為無風(fēng)險(xiǎn)投資組合。從而有：

即（9.12）如果期權(quán)的有效期限里的無風(fēng)險(xiǎn)利率為r，則以該組合的當(dāng)前價(jià)值進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)投資到期權(quán)到期日的收益應(yīng)和該投資組合的最終價(jià)值相等，即有

2023/3/27從而再將h代入，得（9.13）

其中（9.14）在市場無套利機(jī)會(huì)存在的前提下，一定有d<1+r<u，從而。另外，還可以看出，只與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上漲或下跌幅度有關(guān)，而與某一時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的大小無關(guān)。

2023/3/27例9.4

接著例9.3（如圖9.3所示），已知u=1.1，d=0.9，r=0.1，T-t=0.25，Cu=1，Cd=0。由（9.14）式，我們得出由（9.13）式，我們得出

2023/3/27（三）風(fēng)險(xiǎn)中性概率如果我們將（9.14）式中的p解釋為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升的概率，于是1-p就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下降的概率，則標(biāo)的資產(chǎn)在T時(shí)刻的預(yù)期值由下式給出再將（9.14）式中的p代入上式，化簡得2023/3/27（9.14）式的p就是的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，而（9.13）式可以表述為：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，期權(quán)的價(jià)值就是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，風(fēng)險(xiǎn)中性世界里的無套利均衡價(jià)格也是真實(shí)世界里的均衡價(jià)格。因而，上述的二叉樹定價(jià)法就等價(jià)于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法。在二叉樹定價(jià)中也沒有用到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升和下降的概率。當(dāng)然，這并不意味期權(quán)定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升和下降的概率無關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格未來上升和下降的概率已經(jīng)包含在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格中了。2023/3/27

我們可以把一年分成4個(gè)3個(gè)月、或者12個(gè)1個(gè)月，或者365天……每一個(gè)時(shí)點(diǎn)上都對應(yīng)一個(gè)單步二叉樹，然后做和單步二叉樹定價(jià)法相同的工作：建立不同的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合或利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法求不同狀態(tài)下期權(quán)的收益，再從最終的結(jié)點(diǎn)一步一步逆推，最后計(jì)算出初始狀態(tài)下期權(quán)的價(jià)格。二、多步二叉樹定價(jià)法2023/3/27我們先將二叉樹從單步推廣到兩步，然后再推廣到多步情形。設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)價(jià)為S，每一期間均可能上漲至原來的u倍，或下跌至原來的d倍。這樣，在期權(quán)的有效期限內(nèi)，看漲期限的價(jià)值及其變動(dòng)如圖9.6所示：（一）兩步二叉樹定價(jià)法2023/3/27SuSdSu2SudSd2S圖9.6兩步二叉樹中的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng)

C2023/3/27由圖很容易得到：

我們將期權(quán)到期時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的三種可能價(jià)位與看漲期權(quán)的三種可能價(jià)值對應(yīng)起來，由前面同樣的方法，可以求出：

2023/3/27在求出Cu和Cd之后，我們可用相同的方法求出C，即

（9.15）

這就是兩步二叉樹定價(jià)公式。

例9.5

假設(shè)一只不分紅股票，其當(dāng)前的市場價(jià)格為20元，在二叉樹中的任一步之間，股價(jià)要么上漲10%要么下跌10%。我們假設(shè)二叉樹中每一步的時(shí)間長度為3個(gè)月，市場的無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%?，F(xiàn)在我們對執(zhí)行價(jià)格為21元的歐式看漲期權(quán)估值。2023/3/27圖9.7標(biāo)的股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng)示意圖20221824.219.816.2C3.20.00.02023/3/27由題設(shè)知，u=1.1，d=0.9，r=0.1，由（9.14）式，我們得出將上述所有參數(shù)代入（9.15）式，可得執(zhí)行價(jià)格為21元的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為2023/3/27按同樣的方法，我們可以把兩期的二叉樹模型擴(kuò)展到多期的情況。隨著期數(shù)的增加，股價(jià)變化的可能范圍越來越大，越來越接近于實(shí)際情況，所以二叉樹模型的準(zhǔn)確性也越來越高。若將期權(quán)的到期期限分割成n個(gè)小期間，則