2022-2023學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題2分，共12分在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．大自然中存在很多對(duì)稱現(xiàn)象，下列植物葉子的圖案中不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．如圖，已知∠E＝∠B，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，還應(yīng)給出的條件是（）A．∠D＝∠A B．BC＝DE C．AB＝EF D．CD＝AF3．點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于6，點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．PQ＞6 B．PQ≥6 C．PQ＜6 D．PQ≤64．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．5，13，15 C．7，14，25 D．8，12，205．如圖，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB方向移動(dòng)，以AC為邊向右側(cè)作等邊△ACD，連接BD，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD6．下列三角形中若AB＝AC，不能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）7．等腰三角形的頂角是80°，則它的底角的度數(shù)為度．8．角平分線上的點(diǎn)到相等．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∠1＝25°，則∠C＝．10．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各邊為邊向外作三個(gè)正方形，面積分別為S1，S2，S3，已知S1＝10，S3＝25，則S2＝．11．一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，它的周長(zhǎng)是．12．如圖，在△ABC中，AC＝4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△BCN的周長(zhǎng)是7cm，則BC的長(zhǎng)為cm．13．如圖，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝15cm，則△DEC的周長(zhǎng)是cm．14．已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為°．15．一個(gè)等腰三角形一腰上的高線與另一腰所成銳角為46°，則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)為．16．已知∠AOB＝15°，M是邊OA上的一個(gè)定點(diǎn)，且OM＝8，N、P分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，則MP+PN的最小值是．三、解答題（共68分）17．如圖，點(diǎn)C、F在BE上，BF＝CE，AC∥DF，∠A＝∠D，判斷線段AB，DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．18．如圖，在△ABC中，D，E是BC邊上兩點(diǎn)，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD．求證：BD＝CE．19．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，求（1）MN的長(zhǎng)度；（2）直接寫(xiě)出CN的長(zhǎng)度．20．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)．DE⊥AC．求證：E是AC邊的中點(diǎn)．21．如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，BD＝CD，過(guò)點(diǎn)D．作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且DE＝DF．（1）求證：AB＝AC；（2）連接AD，證明AD⊥BC．22．如圖，△ABC為等邊三角形，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D，DE∥BC交AB于點(diǎn)E．（1）求證：△ADE是等邊三角形．（2）求證：AE＝AB．23．如圖，某人從A地到B地共有三條路可選，第一條路是從A到B，AB為10米，第二條路是從A經(jīng)過(guò)C到達(dá)B地，AC為8米，BC為6米，第三條路是從A經(jīng)過(guò)D地到B地共行走26米，若C、B、D剛好在一條直線上．（1）求證：∠C＝90°；（2）求AD和BD的長(zhǎng)．24．如圖，已知P是直線l外一點(diǎn)，用兩種不同的方法求作一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到點(diǎn)P的距離和點(diǎn)Q到直線l的距離相等．（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡．）25．[問(wèn)題提出]學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)等腰三角形滿足一邊和一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．[初步思考]我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，然后，對(duì)中線進(jìn)行分類(lèi)，可分為“底邊上的中線、腰上的中線”兩種情況進(jìn)行探究．[深入探究]第一種情況：當(dāng)AM、DN分別為邊BC、EF上的中線時(shí)，（1）如圖①，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，①若AB＝DE，AM＝DN，求證：△ABC≌△DEF．②若BC＝EF，AM＝DN，求證：△ABC≌△DEF．請(qǐng)?jiān)冖俸廷谥腥芜x一個(gè)證明．第二種情況：當(dāng)CM、FN分別為邊AB、DE上的中線時(shí)，（2）如圖②，在△ABC中，AB＝AC，AB＝a，CM＝m，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出△ABC．（3）如圖③，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，BC＝EF，CM＝FN，求證：△ABC≌△DEF．

參考答案一、選擇題（每小題2分，共12分在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．大自然中存在很多對(duì)稱現(xiàn)象，下列植物葉子的圖案中不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．解：A、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．如圖，已知∠E＝∠B，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，還應(yīng)給出的條件是（）A．∠D＝∠A B．BC＝DE C．AB＝EF D．CD＝AF【分析】判定△ABC≌△DEF已經(jīng)具備的條件是∠E＝∠B，∠1＝∠2，再加上其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，就可以利用AAS來(lái)判定三角形全等．解：A、三角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似，但不一定全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、BC＝DE，不是對(duì)應(yīng)邊相等，故本選項(xiàng)不符合題意；C、AB＝EF，不是對(duì)應(yīng)邊相等，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵AF＝CD，∴AC＝DF，又∵∠A＝∠D，∠1＝∠2，∴△ABC≌△DEF（AAS），故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定；判定三角形的全等首先要找出已經(jīng)具備哪些已知條件，即相等的邊或相等的角，根據(jù)三角形的判定方法判定缺少哪些條件．3．點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于6，點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．PQ＞6 B．PQ≥6 C．PQ＜6 D．PQ≤6【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)P到OB的距離為6，再根據(jù)垂線段最短解答．解：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于6，∴點(diǎn)P到OB的距離為6，∵點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，∴PQ≥6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．5，13，15 C．7，14，25 D．8，12，20【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形進(jìn)行分析即可．解：A、32+42＝52，能組成直角三角形，故此選項(xiàng)正確；B、52+132≠152，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、72+142≠252，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、82+122≠202，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的逆定理，要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．5．如圖，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB方向移動(dòng)，以AC為邊向右側(cè)作等邊△ACD，連接BD，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD【分析】由“SAS”可證△AOC≌△ABD，可得OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，可得∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，可證OA∥BD，由OB＝OC+BC可得出AB＝CB+BD，即可求解．解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝AB＝OB，∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，∵△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAB，∴∠OAC＝∠BAD，且OA＝AB，AD＝AC，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，∴∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，∴OA∥BD，故選項(xiàng)A，B，都不符合題意，∵OC＝BD，∴OB＝BC+OC＝BC+DB，∵OB＝AB，∴CB+BD＝AB，故C選項(xiàng)不符合題意，∵若AB平分∠CAD，∴∠OAC＝∠CAB＝∠BAD＝30°，∴C為AB的中點(diǎn)，∵點(diǎn)C是OB上的動(dòng)點(diǎn)，∴AB平分∠CAD與題意不相符．故選項(xiàng)D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，證明△AOC≌△ABD是本題的關(guān)鍵．6．下列三角形中若AB＝AC，不能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【分析】結(jié)合已知條件及等腰三角形的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)圖形進(jìn)行分析，從而得到答案．解：（1）可解得兩底角均為72°，可過(guò)點(diǎn)B作其角平分線，從而便可得到兩個(gè)等腰三角形；（2）可解得其兩底角均為67.5°，不能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形；（3）可解得其兩底角均為45°，做頂角的角平分線，即可將其分為兩個(gè)小等腰三角形；（4）可解得其兩底角均為36°，則可過(guò)頂點(diǎn)作一直線，使該直線將頂角分為一個(gè)36°和一個(gè)72°的角，從而便得到兩個(gè)小等腰三角形；所以只有（2）不能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；理解如何把三角形分成兩個(gè)小等腰三角形是解題的關(guān)鍵，解本題過(guò)程就是不斷嘗試的過(guò)程．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）7．等腰三角形的頂角是80°，則它的底角的度數(shù)為50度．【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等即可得解．解：∵等腰三角形的頂角為80°，∴它的底角度數(shù)為（180°﹣80°）＝50°．故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．8．角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等解答．解：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．故答案為：角的兩邊距離．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∠1＝25°，則∠C＝65°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠2＝∠1＝25°，AD⊥BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．解：∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∴∠2＝∠1＝25°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C＝90°﹣25°＝65°，故答案為：65°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各邊為邊向外作三個(gè)正方形，面積分別為S1，S2，S3，已知S1＝10，S3＝25，則S2＝15．【分析】由勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，得出S1+S2＝S3，得出S2＝S3﹣S1，即可得出結(jié)果．解：∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝S3，∴S2＝S3﹣S1＝25﹣10＝15；故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、正方形面積的計(jì)算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面積關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11．一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，它的周長(zhǎng)是10．【分析】分2是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解．解：①2是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、4，∵2+2＝4，∴不能組成三角形，②2是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為2、4、4，能組成三角形，周長(zhǎng)＝2+4+4＝10，綜上所述，它的周長(zhǎng)是10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判定．12．如圖，在△ABC中，AC＝4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△BCN的周長(zhǎng)是7cm，則BC的長(zhǎng)為3cm．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到NB＝NA，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．解：∵線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，∴NB＝NA，△BCN的周長(zhǎng)＝BC+CN+BN＝7cm，∴BC+AC＝7cm，又AC＝4cm，∴BC＝3cm，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．如圖，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝15cm，則△DEC的周長(zhǎng)是15cm．【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出AD＝DE，根據(jù)勾股定理求出AB＝BE，求出AC＝BE，求出△DEC的周長(zhǎng)＝BC，再求出答案即可．解：∵BD平分∠ABE，DE⊥BC，∠A＝90°，∴AD＝DE，∠A＝∠DEB＝90°，由勾股定理得：AB2＝BD2﹣AD2，BE2＝BD2﹣DE2，∴AB＝BE，∵AB＝AC，∴AC＝BE，∵BC＝15cm，∴△DEC的周長(zhǎng)＝DE+DC+CE＝AD+DC+CE＝AC+CE＝BE+CE＝BC＝15cm，故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理，能熟記角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．14．已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為72°．【分析】設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．解：設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠ABC＝72°故答案為72【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．15．一個(gè)等腰三角形一腰上的高線與另一腰所成銳角為46°，則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)為22°或68°．【分析】根據(jù)已知條件可分為等腰三角形的頂角為銳角和鈍角兩種情況進(jìn)行解答：（1）如圖，等腰三角形為銳角三角形，易得∠ABD＝46°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和BD⊥AC可求得頂角的度數(shù)，進(jìn)而可求得底角的度數(shù)；（2）如圖，等腰三角形為鈍角三角形，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出∠BAD，進(jìn)而可求得頂角的度數(shù)，至此求得底角的度數(shù)．解：（1）如圖，等腰三角形為銳角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝46°，∴∠A＝44°，∴∠B＝（180°﹣44°）÷2＝68°．（2）如圖，等腰三角形為鈍角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝46°，∴∠BAD＝44°，∴∠BAC＝136°，∴∠C＝（180°﹣136°）÷2＝22°．綜上，這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)是22°或68°．故答案為：22°或68°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的畫(huà)出圖形，認(rèn)真的進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．16．已知∠AOB＝15°，M是邊OA上的一個(gè)定點(diǎn)，且OM＝8，N、P分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，則MP+PN的最小值是4．【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Q，過(guò)Q作QN⊥OA于N，交OB于P，則此時(shí)PM+PN的值最小，連接OQ，得出∠QOB＝∠AOB＝15°，OQ＝OM＝8，PM＝PQ，∠QNO＝90°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出QN即可．解：作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Q，過(guò)Q作QN⊥OA于N，交OB于P，則此時(shí)PM+PN的值最小，連接OQ，則∠QOB＝∠AOB＝15°，OQ＝OM＝8，PM＝PQ，∠QNO＝90°，∵QN＝OQ＝，∴PM+PN＝PQ+PN＝QN＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，垂線段最短的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定P、N的位置．三、解答題（共68分）17．如圖，點(diǎn)C、F在BE上，BF＝CE，AC∥DF，∠A＝∠D，判斷線段AB，DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】由BF＝CE，得BC＝EF，由AC∥DF，得∠ACB＝∠DFE，可根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”證明△ABC≌△DEC，得AB＝DE，∠B＝∠E，則AB∥DE．解：AB＝DE，AB∥DE，理由：∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，∴BC＝EF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AB＝DE，∠B＝∠E，∴AB∥DE．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等式的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△ABC≌△DEC是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC中，D，E是BC邊上兩點(diǎn)，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD．求證：BD＝CE．【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠C，由∠BAE＝∠CAD，得∠BAD＝∠CAE，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△BAD≌△CAE，得BD＝CE．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（ASA），∴BD＝CE．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、等式的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并且證明△BAD≌△CAE是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，求（1）MN的長(zhǎng)度；（2）直接寫(xiě)出CN的長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：（1）∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，CM＝BC＝8（cm），∴AM＝＝＝6（cm），∵M(jìn)N⊥AC，∴S△AMC＝AM?CM＝AC?MN，∴MN＝＝＝；（2）∵M(jìn)N⊥AC，∴∠CNM＝90°，∴CN＝＝＝，故CN的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形的面積的公司，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)．DE⊥AC．求證：E是AC邊的中點(diǎn)．【分析】證DE是△ABC的中位線，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∵D是邊AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴E是AC邊的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理以及平行線的判定，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．21．如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，BD＝CD，過(guò)點(diǎn)D．作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且DE＝DF．（1）求證：AB＝AC；（2）連接AD，證明AD⊥BC．【分析】（1）由BD＝CD，得∠DBC＝∠DCB，由DE⊥AB，DF⊥AC，得∠BED＝∠CFD＝90°，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“HL”證明Rt△BED≌Rt△CFD，得∠DBE＝∠DCF，再證明∠ABC＝∠ACB，所以AB＝AC；（2）連接AD，由DE⊥AB，DF⊥AC，CE＝DF，證明AD是∠BAC的平分線，即可根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明AD⊥BC．【解答】（1）證明：∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠DBE＝∠DCF，∴∠DBC+∠DBE＝∠DCB+∠DCF，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）證明：連接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，CE＝DF，∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，∴AD是∠BAC的平分線，∵AB＝AC，∴AD⊥BC．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明Rt△BED≌Rt△CFD是解題的關(guān)鍵．22．如圖，△ABC為等邊三角形，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D，DE∥BC交AB于點(diǎn)E．（1）求證：△ADE是等邊三角形．（2）求證：AE＝AB．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可．（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等邊三角形．（2）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等邊三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．23．如圖，某人從A地到B地共有三條路可選，第一條路是從A到B，AB為10米，第二條路是從A經(jīng)過(guò)C到達(dá)B地，AC為8米，BC為6米，第三條路是從A經(jīng)過(guò)D地到B地共行走26米，若C、B、D剛好在一條直線上．（1）求證：∠C＝90°；（2）求AD和BD的長(zhǎng)．【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AD＝x米，則BD＝（26﹣x）米，CD＝BC+BD＝（32﹣x）米，在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）證明：∵AC＝8米，BC＝6米，AB＝10米，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°；（2）解：設(shè)AD＝x米，則BD＝（26﹣x）米，∴CD＝BC+BD＝6+26﹣x＝（32﹣x）（米），在Rt△ACD中，由勾股定理得：82+（32﹣x）2＝x2，解得：x＝17，則26﹣x＝26﹣17＝9，答：AD的長(zhǎng)為17米，BD的長(zhǎng)為9米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及勾股定理的逆定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．24．如圖，已知P是直線l外一點(diǎn)，用兩種不同的方法求作一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到點(diǎn)P的距離和點(diǎn)Q到直線l的距離相等．（要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡．）【分析】方法一：過(guò)P點(diǎn)作PA⊥直線l于A點(diǎn)，再作PA的垂直平分線，垂足為Q點(diǎn)；方法二：在直線l上任意取點(diǎn)B，過(guò)B點(diǎn)作l的垂線BC，然后作PB的垂直平分線交BC于Q．解：如圖，點(diǎn)Q為所作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了點(diǎn)到直線的距離．25．[問(wèn)題提出]學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)等腰三角形滿足一邊和一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．[初步思考]我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，然后，對(duì)中線進(jìn)行分類(lèi)，可分為“底邊上的中線、腰上的中線”兩種情況進(jìn)行探究．[深入探究]第一種情況：當(dāng)AM、DN分別為邊BC、EF上的中線時(shí)，（1）如圖①，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，①若AB＝DE，AM＝DN，求證：△ABC≌△DEF．②若BC＝EF，AM＝DN，求證：△ABC≌△DEF．請(qǐng)?jiān)冖俸廷谥腥芜x一個(gè)證明．第二種情況：當(dāng)CM、FN分別為邊AB、DE上的中線時(shí)，（2）如圖②，在△ABC中，AB＝AC，AB＝a，CM＝m，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出△ABC．（3）如圖③，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，BC＝EF，CM＝FN，求證：△ABC≌△DEF．【分析】（1）①由AM⊥BC，DN⊥EF，得∠AMB＝∠DNE＝90°，可證明Rt△ABM≌Rt△DEN，得BM＝EN，∠B＝∠E，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABC≌△DEF；②由AB＝AC，DE＝DF，AM、DN分別為邊BC、EF上的中線，得∠AMB＝∠DNE＝90°，可證明△ABM≌△DEN，得AB＝DE，∠B＝∠E，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SA