江蘇省南通市通州區(qū)姜灶中學(xué)2012屆高三期中考試數(shù)學(xué)試卷

江蘇省南通市通州區(qū)姜灶中學(xué)高三數(shù)學(xué)期中試卷一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共70分．1．若函數(shù)f(x)1x的定義域?yàn)锳，函數(shù)g(x)lg(x1)，x[2,11]的值域?yàn)锽，則AB為

．2．已知命題

p:

x

0，2x

3，則

p為

．3．已知

Sn為等差數(shù)列

an

的前

n項(xiàng)的和，

a2

a5

4，S7

21，則a7的值為

．4．已知

f'(x)是

f(x)

的導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間

0,

上f'(x)

0，且偶函數(shù)

f(x)知足f(2x

1)

f(1)，則3

x的取值范圍是

．把函數(shù)f(x)ax(a0,a1)的圖象C1向左平移一個(gè)單位，再把所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為本來(lái)的2倍，而橫坐標(biāo)不變，獲得圖象C2，此時(shí)圖象C1恰與C2重合，則a為．6．已知方程f(x)x2ax2b的兩個(gè)根分別在（0，1），（1，2）內(nèi)，則a2(b4)2的取值范圍為．7．將函數(shù)ysin(x)的圖象F向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度獲得圖象F，若F的一條對(duì)稱3軸是直線x4，則的值是．8．已知sin3,,，則cossin的值為_(kāi)_______．52449．在ABC中，A90，且ABBC1,則邊AB的長(zhǎng)為．10．函數(shù)ylgsin(2x)的單一遞減區(qū)間為．311．在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，若b2c2a2bc，且ACAB4，則ABC的面積等于．13有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍12．假如關(guān)于x的方程ax2x是．13．假如對(duì)隨意一個(gè)三角形，只需它的三邊長(zhǎng)a,b,c都在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，就有f(a),f(b),f(c)也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f(x)為“Л型函數(shù)”.則以下函數(shù)：①f(x)x；②g(x)sinx，x(0,)；③h(x)lnxx[2,)，Л．此中是“型函數(shù)”的序號(hào)為14．關(guān)于數(shù)列an,定義數(shù)列{bm}以下：關(guān)于正整數(shù)m，bm是使得不等式anm建立的全部n中的最小值．（Ⅰ）設(shè)an是單一遞加數(shù)列,若a34，則b4N____________；（Ⅱ）若數(shù)列a的通項(xiàng)公式為an2n1,n*，則數(shù)列b的通項(xiàng)是________．nm二、解答題：15．(本小題滿分

14分）已知函數(shù)

f(x)

sin2

x

3sin

xcos

x4

4

4（1）求

f(x)

的最大值及此時(shí)

x

的值（2）求

f(1)

f(2)

f(3)

f(2010)

f(2011)

的值．16．(本小題滿分14分）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c，且(2b3c)cosA3acosC．（1）求角A的大?。唬?）若角B，BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為7，求ABC的面積．617．(本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)x(x2)21，xR1）求函數(shù)f(x)的極值；2）議論函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t2上的最大值．18．(本小題滿分15分）以以下圖，某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，ABC外的地方種草,其他地方栽花.若BC=a,ABC=，設(shè)ABC的面積為S1，正方形PQRS的面積為S2，將比值S1稱為“規(guī)劃合理度”.S2（1）試用a,表示S1和S2；（2）若a為定值，當(dāng)為什么值時(shí),“規(guī)劃合理度”最小？并求出這個(gè)最小值．APSBQRC19.（本小題共16分）已知數(shù)列{an}知足：a1a2a3annan,(n1,2,3,)I）求a1,a2,a3的值；（Ⅱ）求證：數(shù)列{an1}是等比數(shù)列；（Ⅲ）令bn(2n)(an1)（n1,2,3...），假如對(duì)隨意nN*，都有bn1tt2，務(wù)實(shí)數(shù)t的取值范圍.420．(本小題滿分16分）已知函數(shù)f(x)axx2xlna，a1（1）求證函數(shù)f(x)在(0,)上單一遞加；（2）函數(shù)y|f(x)t|1有三個(gè)零點(diǎn)，求t的值；（3）對(duì)x1,x2[1,1],|f(x1)f(x2)|e1恒建立，求a的取值范圍．試卷（答案）一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共70分．1．[0,1]2．p:x0，2x33．94．(1,2)3315.29．111．2314．b4

817．6．(,20)510．(k,k),k12312．{a|a0或a2}m1,m是奇數(shù)3，bm2m2,m是偶數(shù)2

749k8．1250Z（左閉右開(kāi)區(qū)間也對(duì)）13．①③（也能夠?qū)懗桑篵mk,m2k1(kN*)k1,m2k(kN*)或bmm(1)m3(nZ)）.24二、解答題：15．(本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)sin2x3sinxcosx（1）求f(x)的最大值及此時(shí)x的值444（2）求f(1)f(2)f(3)f(2010)f(2011)的值．解：（1）f(x)11cosx3sinx1sin(x)4分22222226∴x4k4(kz)時(shí)，f(x)max37分32（2）函數(shù)的周期T4，f(1)13,f(2)11,f(3)13,f(4)11，22222222f(4k1)13,f(4k2)11,f(4k3)13,f(4k4)1122222222f(4k1)f(4k2)f(4k3)f(4k4)2f(1)f(2)f(2011)5022f(1)f(2)f(3)100614分16．(本小題滿分14分）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c，且(2b3c)cosA3acosC．（1）求角A的大??；（2）若角B，BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為7，求ABC的面積．6（1）因?yàn)?2b3c)cosA3acosC，所以(2sinB3sinC)cosA3sinAcosC2sinBcosA3sinAcosC3sinCcosA2sinBcosA3sin(AC)，則2sinBcosA3sinB，所以cosA37分，于是A262（2）由（1）知AB，所以ACBC，C36設(shè)ACx，則MC1x2又AM7.在AMC中由余弦定理得AC2MC22ACMCcosCAM2,即x2(x)22xxcos120(7)2,22解得x2,故SABC1x2sin23.2317．(本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)1）求函數(shù)f(x)的極值；2）議論函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t2

分14x(x2)21，xR上的最大值．(Ⅰ)f(x)x34x24x1f(x)3x28x4(3x2)(x2)，∴函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間為(,2)和(2,),f(x)的單一遞減區(qū)間為(2,2)，232593所以xf(為f(x)的極大值點(diǎn)，極大值為)2733x2為f(x)的極小值點(diǎn)，極小值為f(2)1.7分(Ⅱ)①當(dāng)t22即t4t,t2上遞加，3時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間3∴f(x)maxf(t2)t32t21，7分②當(dāng)t2t4t2時(shí)，32即3函數(shù)f(x)在區(qū)間t,2上遞加，在區(qū)間2,t2上遞減，33∴f(x)max259f()9分2327③當(dāng)t時(shí)，f(x)maxmaxf(t),f(t2)，32令f(t)f(t2)，則t(t2)2(t2)t2，t(6t4)0，得0t，23所以當(dāng)tf(t)f(t2)，f(x)f(t2)t32t21分，max3t32t21,t4或t2所以f(x)max3315分594t2273318．(本小題滿分15分）以以下圖，某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，ABC外的地方種草,其他地方栽花.若BC=a,ABC=，設(shè)ABC的面積為S1，正方形PQRS的面積為S2，將比值S1稱為“規(guī)劃合理度”.S2（1）試用a,表示S1和S2；（2）若a為定值，當(dāng)為什么值時(shí),“規(guī)劃合理度”最?。坎⑶蟪鲞@個(gè)最小值．APSBQRC（1）在RtABC中，ABacos,ACasin，S11ABAC1a2sincos3分22x設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x則BP,APxcos，sinxasincos由BPAPAB，得xcosacossin，故xsincos1所以S2x2(asincos)26分1sincos1sin2S11(1sincos)2(1)211（2）21，分8S22sincossin2sin2sin24令tsin2，因?yàn)?2，所以02，則tsin2(0,1]分10所以S11111t1g(t)，g(t)0，S2t4t24所以函數(shù)g(t)在(0,1]上遞減，12分所以當(dāng)t1時(shí)g(t)有最小值g(t)min9，此時(shí)sin21,分14g(1)49．分154所以當(dāng)時(shí)，“規(guī)劃合理度”最小，最小值為4419.（本小題共16分）已知數(shù)列{an}知足：a1a2a3annan,(n1,2,3,)I）求a1,a2,a3的值；（Ⅱ）求證：數(shù)列{an1}是等比數(shù)列；（Ⅲ）令bn(2n)(an1)（n1,2,3...），假如隨意nN*，都有bn1tt2，求數(shù)t的取范.4解：（I）a11,a23,a37?????????????..3分248（II）由可知：a1a2a3an1annan①a1a2a3anan1n1an1②②-①可得2an1an1??????????..5分即：an111(an1)，又a111?????????????..7分22所以數(shù)列{an1}是以1首，以1公比的等比數(shù)列???????分22....8（Ⅲ）由(2)可得an1(1)n，???????????????...9分n22bn???????????????...10分2n由bn1bnn12n2n12(n2)3n2n12n2n12n10可得n3由bn1bn0可得n3???????????????....11分所以b1b2b3b4b5bn故bn有最大b3b4181所以，隨意nN*，有bn???????????????....13分8假如隨意nN*，都有bn1tt2，即bnt21t建立，11414(bn)maxt2t，故有：t2t，???????????????....15分484解得t1或t124所以，數(shù)t的取范是(,1][1，）????????????16分4220．(本小分15分）已知函數(shù)f(x)ax（1）求函數(shù)f(x)在(0,)上增；（2）函數(shù)y|f(x)t|1有三個(gè)零點(diǎn)，求（3）x1,x2[1,1],|f(x1)f(x2)|（1）f'()axlna2xlna2x(axx因?yàn)閍1，故當(dāng)x(0,)，lna

x2xlna，a1的；1恒建立，求a的取范．1)lna（2分）0，ax10，所以f'(x)0，（4分）故函數(shù)f(x)在(0,)上增．（5分）（2）令f'(x)axlna2xlna2x(ax1)lna0，獲得x0（6分）x,f(x),f'(x的)化狀況表以下：（8分）x(,0)0(0,)f'(x)一0+f(x)極小值因?yàn)楹瘮?shù)|f(x)t|1有三個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)t1有三個(gè)根，有因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，f(x)，所以t1fminf(0)1，故t2（11分）（3）由（2）可知f(x)在區(qū)間[1,0]上單一遞減，在區(qū)間[0,1]上單一遞加．所