重慶市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)模擬調(diào)研試題理含解析

PAGE20-重慶市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)模擬調(diào)研試題理（含解析）一、選擇題1.設(shè)集合，集合，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定義可得出集合.【詳解】，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解以及指數(shù)函數(shù)值域的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用全稱命題的否定：變更量詞，否定結(jié)論，可得出結(jié)果.【詳解】命題“，”為全稱命題，其否定為“，”，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題否定的改寫，屬于基礎(chǔ)題.3.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法和除法法則可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】，則，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，涉及復(fù)數(shù)的乘法和除法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知向量，，，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.隨意實(shí)數(shù)【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出向量的坐標(biāo)，由得，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.詳解】，，，，，則，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，且，三個(gè)數(shù)、、的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】試題分析：令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，令得，，即；令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，令得，即.綜上所述有，故選A.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性；2.函數(shù)與數(shù)列不等式.6.不等式的解集為，則的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解可求得實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而寫出二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】由題意可知，、是二次方程的兩根，由韋達(dá)定理得，所以的綻開式通項(xiàng)為，令，得，因此，二項(xiàng)綻開式中常數(shù)項(xiàng).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用一元二次不等式的解求參數(shù)，同時(shí)也考查了二項(xiàng)綻開式中常數(shù)項(xiàng)的求解，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.7.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離求出的值，再利用離心率公式可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，由題意得，解得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，在涉及利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時(shí)，利用公式計(jì)算較為便利，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)程序框圖得出，利用裂項(xiàng)相消法可求得輸出的的值.【詳解】，由程序框圖可知，輸出的的值為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.9.山城發(fā)生一起入室盜竊案，經(jīng)警方初步調(diào)查，鎖定為甲、乙、丙、丁四人中的一人所盜，經(jīng)審訊，四人筆錄如下，甲說：“是丁盜的”；乙說：“是甲、丁兩人中的一人盜的”；丙說：“甲說的正確”；丁說：“與我無關(guān)，是他們?nèi)酥械囊蝗吮I的”，后經(jīng)進(jìn)一步調(diào)查發(fā)覺四人中只有兩人說了真話，由此可推斷盜竊者是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】【分析】分別假設(shè)甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供詞，由兩人說的是真話，兩人說的是假話，能推斷出結(jié)果．【詳解】①假設(shè)盜竊者是甲，則甲說了假話，乙說了真話，丙說了假話，丁說了真話，合乎題意；②假設(shè)盜竊者是乙，則甲說了假話，乙說了假話，丙說了假話，丁說了真話，不合乎題意；③假設(shè)盜竊者是丙，則甲說了假話，乙說了假話，丙說了假話，丁說了真話，不合乎題意；④假設(shè)盜竊者是丁，則甲說了真話，乙說了真話，丙說了真話，丁說了假話，不合乎題意.綜上所述，盜竊者是甲.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查罪犯的推斷，考查合情推理等基礎(chǔ)學(xué)問，考查分類探討思想的應(yīng)用，是中等題．10.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限的交點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】畫出圖形如圖所示，由題意得雙曲線在一、三象限的漸近線方程為，以為直徑的圓的方程為．由，解得，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；由，解得，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．∵，∴，∴，整理得，∴，故得，解得．選D．點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率時(shí)，可將條件中所給的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于等式或不等式，再由及可得到關(guān)于的方程或不等式，然后解方程（或不等式）可得離心率（或其范圍）．解題時(shí)要留意平面幾何學(xué)問的運(yùn)用，如何把幾何圖形中的位置關(guān)系化為數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，對隨意有（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），若為奇函數(shù)，則滿意不等式的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推導(dǎo)出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可推斷出函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得，構(gòu)造函數(shù)，則，且，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得，即，解得.因此，滿意不等式的的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，依據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.12.已知、，，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由得出，進(jìn)而可得出，利用基本不等式求出的值，利用等號(hào)成立的條件求得，進(jìn)而可得出的值.【詳解】由得，，，等號(hào)成立時(shí)，即，此時(shí).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，同時(shí)要留意等號(hào)成立的條件，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.二、填空題13.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為______.【答案】【解析】【分析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，進(jìn)而可求得區(qū)域的面積.【詳解】不等式組即為，則不等式組所表示的平面區(qū)域由不等式組和所表示的平面區(qū)域合并而成，如下圖所示：平面區(qū)域?yàn)閮蓚€(gè)全等的等腰直角三角形，且腰長為，因此，所求平面區(qū)域的面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查可行域面積的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是依據(jù)不等式組畫出可行域，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【解析】【分析】分別計(jì)算出、、、，進(jìn)而得出，再由可得出的值.【詳解】由題意可得，，，，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，找出數(shù)列的規(guī)律是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為，，則的值為___________．【答案】【解析】試題分析：因,故,由題設(shè)可得,即,所以,所以,應(yīng)填.考點(diǎn)：余弦定理及三角形面積公式的運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題的設(shè)置將面積與余弦定理有機(jī)地結(jié)合起來,有效地檢測了綜合運(yùn)用所學(xué)學(xué)問分析問題和解決問題的實(shí)力.求解時(shí)先借助題設(shè)條件和三角形的面積公式及余弦定理探究出三邊的關(guān)系及,先求出,在運(yùn)用余弦定理得到.16.已知直線，及圓，設(shè)直線、分別與圓交于點(diǎn)、和點(diǎn)、，現(xiàn)隨機(jī)向圓內(nèi)拋擲一粒黃豆，則黃豆落入四邊形內(nèi)的概率為______.【答案】【解析】【分析】求出直線、的交點(diǎn)，恰為圓的圓心，且，進(jìn)而可得知、是圓兩條相互垂直的直徑，由此計(jì)算出四邊形的面積以及圓的面積，利用幾何概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為，則，，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心為，半徑為.聯(lián)立直線、的方程，解得，兩直線的交點(diǎn)為圓心，所以，、是圓兩條相互垂直的直徑，四邊形的面積為，因此，所求的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.三、解答題17.如圖，在四邊形中，，，，.（Ⅰ）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的面積；（Ⅱ）若，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由的面積最大可知，利用勾股定理求出，可推斷出的形態(tài)，進(jìn)而可求得的面積；（Ⅱ）利用二倍角余弦公式求出，在中利用余弦定理求出，然后在中利用余弦定理求出.【詳解】（Ⅰ）由知當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，，此時(shí)，為等腰直角三角形，其面積為；（Ⅱ），在中，由余弦定理，，，，則，在中，由余弦定理得，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.18.李華同學(xué)將參與英語考試，英語聽力考試與筆試分開進(jìn)行.英語聽力一共五題，每題分，李華同學(xué)做對一題的概率為，而后又進(jìn)行了筆試，李華同學(xué)在做閱讀（共題）時(shí)，沒有看懂文章，李華同學(xué)非常糾結(jié)，確定用丟色子的方法選出答案，若丟出、、選，丟出選，丟出選，丟出選（已知道題的正確答案依次為、、、）（I）求李華同學(xué)聽力的分的概率；（II）記隨機(jī)變量李華做閱讀時(shí)做對的題數(shù)為，求的分布列與期望.【答案】（I）；（II）分布列見解析，隨機(jī)變量的期望值為.【解析】【分析】（I）由題意可知，李華同學(xué)做對道聽力題，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求出所求事務(wù)的概率；（II）由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、、、，分別計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出其分布列，并利用期望公式計(jì)算出.【詳解】（I）依據(jù)題意，聽力一共五題，每題分，李華同學(xué)做對一題的概率為，則聽力得分的概率為；（II）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為、、、、，則李華做對道閱讀題的概率分別為、、、，則，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為：因此，隨機(jī)變量的期望值為.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題，同時(shí)也考查了隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)學(xué)問，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.19.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否對一切正整數(shù)，有？說明理由.【答案】（1）；（2）對一切正整數(shù)，有.【解析】【分析】（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（2）對一切正整數(shù)n，有，考慮當(dāng)時(shí)，，再由裂項(xiàng)相消求和，即可得證．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，兩式做差得，，當(dāng)時(shí)，上式明顯成立，．（2）證明：當(dāng)時(shí)，可得由可得即有<則當(dāng)時(shí)，不等式成立．檢驗(yàn)時(shí)，不等式也成立，綜上對一切正整數(shù)n，有．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．20.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作兩直線與分別交橢圓于、兩點(diǎn)，若直線與的斜率互為相反數(shù)，求的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，解出、、的值，即可得出橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，可得出直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用弦長公式求出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】（Ⅰ）由題意有：，解得，因此，橢圓的方程為；（Ⅱ）設(shè)直線為，則直線為，聯(lián)立方程有：，，解得.，則.同理可得：，.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中弦長最值的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.21.已知定義域?yàn)楹瘮?shù)滿意（其中是的導(dǎo)函數(shù)，），.（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；（Ⅱ）若對于隨意正實(shí)數(shù)、都有成立，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得函數(shù)的最大值；（Ⅱ）利用基本不等式求出的最小值為，可得出，由（Ⅰ）得出，結(jié)合得出，進(jìn)而可得出函數(shù)的單調(diào)性，由此可得，由此可得出的取值范圍.【詳解】（Ⅰ），.令，得；令，得.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；（Ⅱ），等號(hào)成立時(shí)，即，由題意得，①由（Ⅰ），得，又得，單調(diào)遞減，所以①式等價(jià)于，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，同時(shí)也考查了函數(shù)不等式的求解，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，考查分析問題與解決問題的實(shí)力，屬于中等題.22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求直線的一般方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線被曲線所截得的弦長為，求的值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的一般方程，將曲線的極坐標(biāo)方程變形為，利用極坐標(biāo)方程與一般方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出曲線的一般方程；（Ⅱ）計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，可求得的值.【詳解】（Ⅰ）.所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為，在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，得，即直線的一般方程為；（Ⅱ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，直線被曲線所截得的弦長，解得.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.23.已知函數(shù).（Ⅰ