第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)

第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)第一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義二重積分的概念與性質(zhì)第十章第二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日1.曲頂柱體的體積一、引例x0z

yDS曲頂柱體:底:xoy

面上的閉區(qū)域

D;頂:S:側(cè)面:以D

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于

z軸的柱面;回顧第三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日x0z

y

DSS:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整為零);(2)近似(以平代曲):1.

曲頂柱體的體積i第四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日x0z

yD(3)求和(積零為整):.i

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整為零);(2)近似(以平代曲):1.

曲頂柱體的體積第五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日x0z

yD(4)取極限令分法無(wú)限變細(xì)i.(3)求和(積零為整):

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整為零);1.

曲頂柱體的體積(2)近似(以平代曲):第六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日x0z

yD.(4)取極限令分法無(wú)限變細(xì)(3)求和(積零為整):

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整為零);1.

曲頂柱體的體積(2)近似(以平代曲):第七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日x0z

yV..(4)取極限令分法無(wú)限變細(xì)V=(3)求和(積零為整):

S:z=f(x,y)元素法(1)分割(化整為零);1.

曲頂柱體的體積(2)近似(以平代曲):第八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日2.平面薄片的質(zhì)量平面薄片:

在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.面密度:D的面積為,則若非常數(shù)

,則用元素法:(1)分割(化整為零):D:(均勻薄片)第九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日(2)近似(以不變代變):(3)求和(積零為整):(4)取極限:第十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1)解決問(wèn)題的思想和步驟相同:(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同:“分割,近似,求和,取極限”.曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:乘積和的極限.第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日二、二重積分的定義定義:二重積分:(1)任意分割D:第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素說(shuō)明：第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，故二重積分可寫(xiě)為D則面積元素為引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日二重積分的幾何意義:表示以f(x,y)為頂以D

為底的曲頂柱體的體積.第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日表示曲頂柱體的體積的負(fù)值．(3)當(dāng)f(x,y)在D

上有正有負(fù)時(shí),二重積分表示曲頂柱體體積的代數(shù)和.第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日例1.根據(jù)二重積分的幾何意義求積分的值.解:積分區(qū)域被積函數(shù)-aaD上半球面,圓域.第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日三、二重積分的性質(zhì)為D的面積,則2.

積分區(qū)域可加性.第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日特別,由于則4.若在D上5.設(shè)D的面積為,則二重積分估值不等式第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解:三角形斜邊方程例2.x+y=2x+y=1第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解：例3.第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日例4.解:第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日6.

(積分中值定理)證:

由性質(zhì)5可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.

比較下列積分值的大小關(guān)系:第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日2.

設(shè)D

是第二象限的一個(gè)有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)提示:因0<y<1,故故在D上有第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日作業(yè)P137:4(1)(4),5(2)(3).

第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日(1)分割(化整為零)(2)近似(以直代曲)(3)作和(積零為整)yxoy=f(x)ab分法越細(xì)，越接近精確值f(i)元素法回顧:曲邊梯形的面積第二十八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日(4)取極限yxoy=f(x)令分法無(wú)限變細(xì).ab.f(i)(1)分割(化整為零)(2)近似(以直代曲)(3)作和(積零為整).分法越細(xì)，越接近精確值元素法第二十九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日yxoy=f