第四章 留數(shù)定理

第四章留數(shù)定理第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章留數(shù)定理§

4.2應(yīng)用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分§4.1留數(shù)定理第一篇復(fù)變函數(shù)論*§

4.3計算定積分的補充例題

第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四章留數(shù)定理§4.1留數(shù)定理一、留數(shù)與留數(shù)定理1、留數(shù)的來歷——始于f(z)的奇點★內(nèi)、外境界線逆時針積分相等?！鏁r針逆時針→z0ll0圖4.1★柯西定理的含義●單連通域●復(fù)連通域——有奇點

第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日★如果z0ll0圖4.1★得★又由P28的柯西積分得:★即★即得孤立奇點z0的留數(shù)，由P25的柯西定理

↘第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日

設(shè)z0是f(z)包圍在閉曲線內(nèi)的孤立奇點，且不包含的另外奇點，（如圖4.1所示）則在奇點的留數(shù)（Residue）定義為：2、留數(shù)的定義z0ll0圖4.1★留數(shù)的數(shù)學(xué)意義：f(z)在z0點的留數(shù)等于在環(huán)域內(nèi)f(z)洛朗級數(shù)負一次冪的系數(shù)。（逆時針）

第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日b1b2b3bnl圖4.23、留數(shù)定理設(shè)f(z)在閉曲線上解析（如圖4.2所示），在l所圍的區(qū)域內(nèi)除有限個孤立奇點b1、b2、b3…bn外，無其它奇點，則:（逆時針）★留數(shù)定理給出回路積分等于被積函數(shù)在回路所圍各奇點的留數(shù)之和。

第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)1、無窮遠點留數(shù)的定義

★如果是的奇點，則定義函數(shù)在無限遠點的鄰域的洛朗級數(shù)的負一次冪的系數(shù)的相反數(shù)為函數(shù)在無限遠點的留數(shù)。★如果函數(shù)在點的鄰域內(nèi)解析，是該鄰域內(nèi)的一條簡單閉曲線（為順時針，繞行走，區(qū)域在左手側(cè)），如圖4.3所示，則：∞圖4.3

l繞行走，∞點在左手側(cè)正方向

第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日2、函數(shù)在無窮遠點留數(shù)：★除k=—1一項之外，其余各項均為零，則:（順時針）★被定義為在無窮遠點的留數(shù)★設(shè)函數(shù)在無窮遠點∞上解析，在l所圍的區(qū)域內(nèi)除有限個孤立奇點外無其它奇點，則:3、函數(shù)在全平面的留數(shù)之和等于零——為什么？

為什么是－a-1？第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日三、單極點處留數(shù)的計算P521、單極點的留數(shù)方法1：★將f(z)在單極點

z0展開為洛朗級數(shù)★簡單運算

第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日方法2：洛比達法則方法★如果★由求極限的洛比達法則，得留數(shù)：★因為★肯定是0/0型！為什么？

第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日2、設(shè)z0是f(z)的m階極點，則，

★因為f(z)的在z0泰勒級數(shù)為★即，如果，z0是f(z)的m階極點！第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日

★因為

的在z0泰勒級數(shù)為

★即，z0是f(z)的m階極點！第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日★但是，f(z)在z0的留數(shù)是。而是函數(shù)

★因為

的在z0泰勒級數(shù)為★又因為泰勒級數(shù)系數(shù)可以表示為

的在z0泰勒級數(shù)的系數(shù)。

第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日★f(z)泰勒級數(shù)的系數(shù)可以表示為★泰勒級數(shù)的(m-1)項的系數(shù)可以表示為★因此，泰勒級數(shù)的-1項的系數(shù)，即在z0的留數(shù)?！锾├占墧?shù)的(m-1)項的系數(shù)恰好是

第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日★這些極點為單極點，其留數(shù)為例1，確定函數(shù)在有限遠的極點。求出函數(shù)在這些極點的留數(shù)。解★函數(shù)存在有限遠的極點：四、舉例

第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日例2，確定函數(shù)在有限遠的極點，并求函數(shù)在這些極點的留數(shù)。解：★在有限遠的極點有，

是的3階極點，其留數(shù)為：

（1）

第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日是的單極點，其留數(shù)為（2）

是的3階極點，其留數(shù)為：

（1）第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日例3，計算：解：

★記★令函數(shù)分母為零，得

第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日★極點在內(nèi)部?！飿O點在外部。★只需要求點的留數(shù)，應(yīng)用留數(shù)定理，有方法1：羅畢達法則方法。

第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日方法2：應(yīng)用留數(shù)定理直接運算。

第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日§4.2應(yīng)用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分一、思路:實函數(shù)定積分轉(zhuǎn)換為復(fù)函數(shù)回路積分方法1：將實軸上的某區(qū)間變換成復(fù)平面的一條閉曲線tabz=φ(t)xyl圖4.3a★如圖4.3a所示，作實軸到復(fù)平面的變換，將實軸上的區(qū)間變換成復(fù)平面的一條閉曲線，從而把實函數(shù)定積分轉(zhuǎn)換為復(fù)變函數(shù)的回路積分。

第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日★如圖4.3b所示，把軸崁入復(fù)平面中成為平面的實軸，把函數(shù)延拓到復(fù)平面，得復(fù)變函數(shù)，在復(fù)平面上再補上一段曲線，使成為閉合回路，閉合回路的積分用留數(shù)定理計算，而曲線段的路徑積分較容易求得（通常為0）。yxl2圖4.3babl1oB方法2：將實軸上的某區(qū)間，在復(fù)平面上再補上一段曲線，使成為閉合回路

第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、應(yīng)用留數(shù)定理計算實變函數(shù)的幾個類型類型1：被積函數(shù)是三角函數(shù)的有理式，積分區(qū)域是[0，2π]其中作變換，R表示有理函數(shù)。★★可以得到

第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日例1，計算

★作變換解：←P55例4的結(jié)果★實軸區(qū)間0～2π，變換成復(fù)平面的閉曲線——單位圓。

第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日解：★記：例2，計算★實軸區(qū)間0～2π，變換成復(fù)平面——單位圓。

第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日★和是奇點；★其中，在單位圓內(nèi)，其留數(shù)為：

第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日★如果復(fù)變函數(shù)在實軸上沒有奇點，在上半平面除有限個奇點外是解析的。當(dāng)z在上半平面和在實軸上時，一致地，則：{在上半平面所有奇點的留數(shù)之和}類型2：

積分區(qū)間（－∞，＋∞）；如果，則在實軸沒有零點，由于有，高二次?！锲浞e分可以

第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日★其積分可以yxCR圖4.4－R+RR★如圖4.4，如果極限存在，稱該極限為主值★根據(jù)留數(shù)定理{在上半平面所有奇點留數(shù)之和}

第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日{(diào)在上半平面所有奇點留數(shù)之和}{在上半平面所有奇點留數(shù)之和}

第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日例3：解：★記：

，它在上半平面有單極點：z＝±i★其中z＝+i在上半平面，其留數(shù)為：

第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日例4：解：★記：

★它在上半平面的奇點是n階極點+i，其留數(shù)為：（n為正整數(shù)）

第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日例5：解：★因為是偶函數(shù)★所以（n為正整數(shù)）

第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日類型3：積分區(qū)間（－∞，＋∞）；偶函數(shù)和奇函數(shù)在實軸上沒有奇點，在上半平面除有限個奇點外是解析的。當(dāng)z在上半平面和在實軸上時，和一致地，則：

第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日三、約當(dāng)引理1、約當(dāng)引理的表述如果，是以原點為圓心位于上半平面的半徑為的半圓，如圖4.5所示，若當(dāng)在上半平面和實軸上時，一致，則：yxCR圖4.5－RR+RO

第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日證明：（1）當(dāng)在上半平面和實軸上時，一致，所以，（2）在范圍內(nèi)，有，則★即：

第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日★如果m是負數(shù)，也有2、約當(dāng)引理的應(yīng)用{在上半平面所有奇點留數(shù)之和}{在上半平面所有奇點留數(shù)之和}★因此，對于類型3有{在上半平面所有奇點留數(shù)之和}★同理可得

第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日★在實軸無極點，在上半平面有單極點，其留數(shù)為：例6，解：

第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日★在實軸無極點，有兩個二階極點，在上半平面留數(shù)為例7，解：{在上半平面所有奇點留數(shù)之和}