第四章數(shù)字控制器的模擬設計方法

第四章數(shù)字控制器的模擬設計方法第一頁，共八十頁，2022年，8月28日

4．1PID控制規(guī)律的離散化方法

在連續(xù)控制系統(tǒng)中，按偏差的比例（P）、積分(I)和微分(D）進行控制的PID控制（或稱PID調(diào)節(jié)）是最為常用的一種控制規(guī)律。它具有原理簡單、易于實現(xiàn)，魯棒性（Robustness）強和適用范圍廣等特點。PID控制器的參數(shù)比例系數(shù)Kp、積分時間常數(shù)T1以及微分時間常數(shù)幾相互獨立，參數(shù)整定比較方便。此外，PID算法比較簡單，計算工作量比較小，容易實現(xiàn)多回路控制。因此，即使是在現(xiàn)在日益占主流的計算機控制系統(tǒng)中，PID控制仍然是應用十分廣泛的一種控制規(guī)律。4．1．l模擬PID控制規(guī)律的離散化在連續(xù)控制系統(tǒng)中，采用如圖4．1所示的PID控制器，其控制規(guī)律的形式為

第二頁，共八十頁，2022年，8月28日或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式

其中，兄為比例系數(shù)，TI為積分時間常數(shù)，TD為微分時間常數(shù)，U（t）為控制器的輸出量，e（t）為控制器輸人量，即給定量與輸出量的偏差。

為了用計算機實現(xiàn)PID控制規(guī)律，必須將連續(xù)形式的微分方程式（4.1）離散化成差分方程的形式。為此，取T為采樣周期，k＝0，l，2，…，i，…為采樣信號，因采樣周期T相對信號的變化周期是很小的,所以就可以用矩形面積求和的方法近似式(4.1）中的g分作賊激向后差分的方法近似微分作用，即第三頁，共八十頁，2022年，8月28日于是，式（4．1）可改寫成如下差分方程的形式

其中，u(k）為采樣時刻k的輸出量，e(k)和e（k—1）分別為采樣時刻k和k-1時刻的偏差值，式（4.3）輸出量u(k)為全量輸出，它對應于被控對象執(zhí)行機構(gòu)（如調(diào)節(jié)閥）每次采樣時刻應達到的位置，為此，式（4．3）稱為PID位置型控制算式。這即是PID控制規(guī)律的離散化形式。應該指出的是，若按式（4．3）計算u（k），輸出值與過去所有狀態(tài)有關，計算時就需要占用大量計算機內(nèi)存和計算時間，這對用于實時控制的計算機來說非常不利。為此，考慮將式（4．3）改寫成速推形式。根據(jù)式（4．3）寫出第k-1個采樣時刻的的輸出值為

第四頁，共八十頁，2022年，8月28日用式（4．3）兩邊減去式（4．4）兩邊，得

按式（4．5）計算采樣時刻k的輸出量u（k），只需用到采樣時刻k的偏差值e（k），以及向前遞推兩次的偏差值e（k—1）、e（k—2）和向前遞推一次的輸出值u（k—1），這就大大節(jié)約了計算機內(nèi)存和計算時間。

許多情況下，執(zhí)行機構(gòu)本身具有累加或記憶功能，例如用步進電機作為執(zhí)行元件，具有保持歷史位置的功能只要控制器給出一個增量信號，就可使執(zhí)行機構(gòu)在原來位置的基礎上前進或后退若干步，達到新的位置。這時，就需要采用增量型PID控制算式，亦即輸出量是兩個采樣周期之間控制器的輸出增量ΔU（k）。第五頁，共八十頁，2022年，8月28日由式（4．5），可得

式（4．6）稱為增量型PID控制算式。增量型PID控制算式和位置型PID控制算式相比僅僅是計算方法上的改進，它們的本質(zhì)是一樣的。但增量型PID控制算法相對位置型PID控制算法有一些優(yōu)點：（1）增量型PID控制算式只與最近幾次采樣的偏差值有關，不需要進行累加，或者說累加工作分出去由其它元件去完成了。所以，不易產(chǎn)生誤差積累，控制效果較好。（2）增量型PID控制算法只輸出控制增量，誤差動作（計算機故障或干擾）影響小。（3）增量型PID控制算法中，由于執(zhí)行機構(gòu)本身具有保持作用，所以易于實現(xiàn)手動一自動的無擾動切換，或能夠在切換時，平滑過渡。

第六頁，共八十頁，2022年，8月28日4．1．2PID控制規(guī)律的脈沖傳遞函數(shù)形式在連續(xù)控制系統(tǒng)中，所設計出的模擬控制器，常以傳遞函數(shù)的形式表示。與此類似，在計算機控制系統(tǒng)中，數(shù)字PID控制器可以用脈沖傳遞函數(shù)的形式表示。

若將式（4．3）進行z變換由于

故式（4．3）的Z變換可寫成如下形式

第七頁，共八十頁，2022年，8月28日于是，可得到PID控制規(guī)律的脈沖傳遞函數(shù)形式為

式中由式（4．7），還可以得到其它類型的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)

此為比例（p）數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)形式。第八頁，共八十頁，2022年，8月28日此為比例積分（PI）數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)形式。

此為比例微分（PD）數(shù)共控制器的脈沖傳遞函數(shù)形式。

應該指出的是，在進行PID控制規(guī)律離散化時，還有許多其它方法。例如將積分作用用梯形積分法則近似，其Z變換為K1T(z十1）/(Z-1）,微分項的處理方法同上，其Z變換表示為，KD（Z一1）/Tz,其中

第九頁，共八十頁，2022年，8月28日見和幾分別為積分控制系數(shù)和微分控制系數(shù)。這樣，完整的數(shù)字PID控制器的組成框圖如圖4．2所示，其脈沖傳遞函數(shù)可表示為4．1．3數(shù)字PID控制器的工程實現(xiàn)用于生產(chǎn)過程控制的計算機要求具有很強的實時性，用微型計算機作為數(shù)字控制器時扭于受字長和運算速度的限制，需要采用一些方法來加快運算速度。常用的方法有：采用定點運算、簡化算法、查表法、硬件乘法器等。這里我們僅討論簡化PID控制算式的方法。式（4.5）是位置型數(shù)字PID控制算式。按這個算式，計算機每輸出u（k）一次，需要作四次加法、兩次減法、四次乘法和兩次除法。若將該式整理成如下形式第十頁，共八十頁，2022年，8月28日式中，系數(shù)a0，a1，a2的定義與式（4．8）相同。這些系數(shù)為常數(shù)，可以高線算出。于是，按式（4．13）進行計算，計算機每輸出U（k）一次，只需要作兩次加法、一次減法、三次乘法。按式（4．13）編制的位置型數(shù)字PID控制器的程序框圖如圖4.3所示。在進人程序之前，系數(shù)已經(jīng)計算出來，并存人預設存儲單元CONSO,CONSI及CONS2中。給定值和輸出反饋值經(jīng)采樣后放人專門開辟的另外存儲單元中。第十一頁，共八十頁，2022年，8月28日第十二頁，共八十頁，2022年，8月28日4．2數(shù)字PID控制器的設計

4．2．1PID調(diào)節(jié)器參數(shù)對控制系統(tǒng)性能的影響進行PID控制器的設計，首先應該明確各參數(shù)對系統(tǒng)的影響如何，這樣設計工作才不會盲目進行。大家知道，增大比例系數(shù)Kp將加快系統(tǒng)的響應速度，在有靜差系統(tǒng)中有利于減小靜差，但加大Kp只能是減小靜差，卻不能從根本上消除靜差。而且過大的Kp會使系統(tǒng)產(chǎn)生超調(diào)，并產(chǎn)生振蕩或使振蕩次數(shù)加多，使調(diào)節(jié)時間加長，并使系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞或使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。若Kp選得太小，又會使系統(tǒng)的動作遲緩。積分控制通常與比例控制或微分控制聯(lián)合使用，構(gòu)成PI控制或PID控制。增大積分時間常數(shù)TI（積分減弱）有利于減小超調(diào)。減小振蕩，使系統(tǒng)更穩(wěn)定，但同時要延長系統(tǒng)消除靜差的時間。TI大小會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增大系統(tǒng)的振蕩次數(shù)。第十三頁，共八十頁，2022年，8月28日和積分控制一樣，微分控制一般和比例控制或積分控制聯(lián)合使用，構(gòu)成PD控制或PID控制。微分控制可以改善系統(tǒng)的動態(tài)特性，如減小超調(diào)量，縮短調(diào)節(jié)時間，允許加大比例控制，使穩(wěn)態(tài)誤差減小，提高控制精度。但應當注意的是，幾偏大或偏小時，系統(tǒng)的超調(diào)量仍然較大，調(diào)節(jié)時間仍然較長。只有當TD比較合適時，才能得到比較滿意的過渡過程。此外，應該指出的是，微分控制也使系統(tǒng)對擾動有敏感的響應。例4－1計算機控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4．4所示，采樣周期T=0．1s，若數(shù)字控制器D(z)=Kp，試分析Kp對系統(tǒng)性能的影響。第十四頁，共八十頁，2022年，8月28日解：系統(tǒng)廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

當Kp=1時，系統(tǒng)在單位階躍輸人時，輸出量的z變換為

第十五頁，共八十頁，2022年，8月28日采用長除法，可求出系統(tǒng)輸出序列的波形如圖4．5所示。根據(jù)z變換的終值定理，輸出量的穩(wěn)態(tài)誤差

當Kp=1時，c（∞）＝0．835，穩(wěn)態(tài)誤差ess=0.165

當Kp=2時，c（∞）＝0．910，穩(wěn)態(tài)誤差ess=0.09由此可見，當Kp增大時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將減小，但卻不能最終消除穩(wěn)態(tài)誤差。通常Kp是根據(jù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv的要求來確定。為消除穩(wěn)態(tài)誤差，可加入積分控制。

第十六頁，共八十頁，2022年，8月28日例4--2計算機控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)仍如圖4．4所示，采用數(shù)字控制器，試分析積分作用及參數(shù)選擇，采樣周期仍為T=0.1s。

解：廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)仍和例4－1一樣

系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

第十七頁，共八十頁，2022年，8月28日為了確定積分系數(shù)KI，可以使由于積分校正增加的零點

抵消極點（z-0．905）即令

假設比例系數(shù)Kp已由靜態(tài)速度誤差系數(shù)幾確定，若選定Kp＝1，由上式可以求出KI≈0.105則得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)經(jīng)過PI調(diào)節(jié)器校正后的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

第十八頁，共八十頁，2022年，8月28日在單位階躍輸人信號作用下，系統(tǒng)輸出量的Z變換為

由上式可以求出輸出響應，如圖4．5所示。

系統(tǒng)在單位階躍輸人時，輸出量的穩(wěn)態(tài)值

第十九頁，共八十頁，2022年，8月28日所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess＝0，可見加積分校正后，消除了穩(wěn)態(tài)誤差，提高了控制精度。但是，由圖4．5可以看出，采用PI控制雖然可以消除穩(wěn)態(tài)誤差，但系統(tǒng)的超調(diào)量達到了45％，而且調(diào)節(jié)時間也很長。為了改善動態(tài)性能，還應該加入微分校正，即采用PID控制。微分控制作用，實質(zhì)上是跟偏差的變化速率有關。微分控制能夠預測偏差產(chǎn)生超前校正作用，因此，微分控制可以較好地改善動態(tài)性能。例4－3計算機控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)仍如圖4．4所示，采用數(shù)字PID控制器，試分析微分作用及參數(shù)選擇，采樣周期仍為T＝0．1s。解：廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)仍和例4－1一樣第二十頁，共八十頁，2022年，8月28日采用數(shù)字PID控制器校正，設校正裝置的脈沖傳遞函數(shù)為

假設Kp=1已經(jīng)選定，并要求D（z）的兩個零點抵消G0（z）的兩個極點z=0．905和Z=0.819，則

由上式可得方程

第二十一頁，共八十頁，2022年，8月28日因此，可以解得KI=0．069，KD

＝3．062，所以PID控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)在單位階躍輸人時，輸出量的z變換為

第二十二頁，共八十頁，2022年，8月28日由上式可以求得系統(tǒng)的輸出響應C（kT），如圖4．5所示。系統(tǒng)在單位階躍輸人下，輸出量的穩(wěn)態(tài)值為

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess＝0，所以系統(tǒng)在PID控制時，由于積分控制的作用，對于單位階躍輸人，穩(wěn)態(tài)誤差為零。由于微分控制的作用，系統(tǒng)的動態(tài)特性也得到很大改善，調(diào)節(jié)時間縮短，超調(diào)量減小。通過圖4．5可以看出比例、積分、微分的控制作用，并可以比較出比例控制、比例積分控制以及比例積分微分控制三種控制器的控制效果。4．2．2按二階工程設計法設計數(shù)宇PID控制器二階系統(tǒng)是工業(yè)生產(chǎn)過程中很常見的一種系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為第二十三頁，共八十頁，2022年，8月28日將s=jω代人上式，得

它的模為

根據(jù)控制理論可知，要使二階系統(tǒng)的輸出獲得理想的動態(tài)品質(zhì)，即該系統(tǒng)的輸出量完全跟隨給定量的變化，應滿足下述條件：模：L（ω）＝1相位移：φ（ω）=0°（4．16）將式（4．15）代人式（4．16），可得如下結(jié)果

第二十四頁，共八十頁，2022年，8月28日因此，可解得

將式（4．17）代人式（4．14），可得到理想情況下二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式

設G(s)為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，根據(jù)

可推導出（4.19）式（4.19）即為二階品質(zhì)最佳的基本公式。例4－4設被控對象由三個慣性環(huán)節(jié)組成，其傳遞函數(shù)的形式為

第二十五頁，共八十頁，2022年，8月28日其中TS1>TS2>TS3,試按二階工程設計法設計數(shù)字控制器。解：被控對象包含三個慣性環(huán)節(jié)，為將其校正成品質(zhì)最佳二階系統(tǒng)，需采用PID調(diào)節(jié)器進行校正，校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為為提高系統(tǒng)的響應速度，令τ1=Ts1，τ2=Ts2，則經(jīng)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

將上式與式（4．19）進行比較，可得

T1=2KTs3第二十六頁，共八十頁，2022年，8月28日將上式代人式（4．20），可得二階工程設計法要求的PID調(diào)節(jié)器的基本形式

其中將上式進行離散化，即可得到二階工程設計法PID數(shù)字控制器的控制算式。

例4-5軋機液壓厚度調(diào)節(jié)微型計算機控制系統(tǒng)主要由電液伺服閥、液壓缸及差動變壓器組成，圖4.6所示為控制系統(tǒng)的簡化圖。

第二十七頁，共八十頁，2022年，8月28日軋機控制系統(tǒng)經(jīng)過簡化后，受控對象的開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，常數(shù)K，T1，T2由電液伺服閥、液壓缸及差動變壓器的參數(shù)決定，而且T1＞T2。從快速性和穩(wěn)定性角度來看，用計算機實現(xiàn)對軋機系統(tǒng)的動態(tài)校正，就是要求計算機與軋機系統(tǒng)組成的閉環(huán)系統(tǒng)具有二階最佳設計的基本形式（4．19）。設計算機所取代的模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)為W（S），又第二十八頁，共八十頁，2022年，8月28日知軋機的傳遞函數(shù)G。（S）由兩個慣性環(huán)節(jié)組成，所以，為將系統(tǒng)校正成二階最佳設計的形式，應選擇w（S）為PI調(diào)節(jié)器，其傳遞函數(shù)為為使調(diào)節(jié)器能抵消軋機系統(tǒng)中較大的時間常數(shù)T1，令τ=T1所以閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

將上式與式（4．19）相比較，解得

Ti=2KT2第二十九頁，共八十頁，2022年，8月28日因此PI調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)為

其中將W（S）進行離散化，得到數(shù)字控制器的差分方程如下

式中第三十頁，共八十頁，2022年，8月28日

4．3PID控制算法的改進

一般情況下，用計算機實現(xiàn)PID控制規(guī)律，不能把PID控制規(guī)律簡單地離散化，否則，將不能得到比模擬調(diào)節(jié)器優(yōu)越的控制質(zhì)量。這是因為，與模擬控制器相比，計算機作控制器存在如下不足的地方：（1）模擬控制器的控制作用是連續(xù)的，而用計算機作控制器，在輸出零階保持器的作用下，控制量在一個采樣周期內(nèi)是不變的。（2）由于計算機進行數(shù)值計算和輸人輸出等工作需要一定時間，造成控制作用在時間上存在延遲。（3）計算機的有限字長和A／D、D／A轉(zhuǎn)換精度將造成控制作用的誤差。

因此，應充分利用計算機的運算速度快、邏輯判斷功能強、編程靈活等特點，采用一些模擬控制器難以實現(xiàn)的復雜控制規(guī)第三十一頁，共八十頁，2022年，8月28日律，使PID控制更加合理和靈活多樣，使其更能滿足實際生產(chǎn)過程的不同需要，才能在控制性能上超過模擬控制器。4.3.1防止積分飽和的方法在用標準的數(shù)字PID控制器控制變化較緩慢的對象時，由于偏差較大、偏差存在時間較長或者積分項太快，則控制器有可能飽和或溢出，進一步造成系統(tǒng)的超調(diào)，甚至引起振蕩。其主要原因是由于積分項處理不當所致。在標準位置型數(shù)字PID算式（4．3）中，若給定值r突然由0變到r”時，由于系統(tǒng)的輸出不可能馬上跟蹤上輸人的變化，這樣只要系統(tǒng)輸出還沒有達到給定值，則積分作用就會保持增加或減小

第三十二頁，共八十頁，2022年，8月28日使計算機的輸出量向兩個極端方向變化，直到計算機字長所能表示的負值或正值為止。這時，計算機實際輸出的控制量就不再是通過式（4．3）計算的理論值，而是計算機字長a一理想情況的控制中一有限制時產(chǎn)生積分飽和所決定的上限值（如圖4．7所示）。當系統(tǒng)輸出超過了給定值后，開始出現(xiàn)負偏差，但這時積分項存在很大的累加值，所以還需要相當一段時間后才能脫離飽和區(qū)，這樣，就使系統(tǒng)出現(xiàn)了明顯的超調(diào)。為此，便有了如下等多種對標準數(shù)字PID控制算式中積分項的改進方法。1．積分分離法對于時間常數(shù)較大的被控對象，在階躍信號作用下，偏差不會在幾個采樣周期內(nèi)消除掉，積分項就很可能使輸出值超出正常的表示范圍。這時，可以采用積分分離的方法對積分項加以處理，具體方法為當偏差大于某一通過實驗確定的規(guī)定的閾值（或稱積分界限）時，取消積分項的作用，只有當偏差小于該規(guī)定的閾值時，才加人積分項的作用。為此，將式（4．3）處理成如下形式第三十三頁，共八十頁，2022年，8月28日其中式（4．21）積分項的程序框圖如圖4．8所示，相應的控制效果如圖4．9所示。2．遇限削弱積分法遇限削弱積分法的基本思想是：當控制量進人飽和區(qū)后，只執(zhí)行削弱積分項的運算，而不進行增大積分項的累加。為此，在計算U(k)時，先判斷U(k-1）是否達到飽和，若已超過Umax。，則只累計負偏差；若小于Umin，就只計正偏差。其算法框圖如圖4．10所示.第三十四頁，共八十頁，2022年，8月28日第三十五頁，共八十頁，2022年，8月28日3．變速積分法在標準PID算法中，積分系數(shù)在整個調(diào)節(jié)過程中保持不變。變速積分的思想是，根據(jù)偏差的大小，改變積分項的累加速度，即偏差越大，積分越慢，甚至沒有；偏差越小，積分越快，以利于盡快消除靜差。具體算法如下設置一個系數(shù)f[e(k)],是偏差e（k）的函數(shù)，其取值方法如下每次采樣后將f[e（k）]與e(k)相乘，積記為e’(k)，然后再進行累加，即積分項的計算方法為

第三十六頁，共八十頁，2022年，8月28日變速積分PID與標準PID相比，有以下優(yōu)點：l）完全消除了積分飽和現(xiàn)象2）大大減小了超調(diào)量，可以很容易地使系統(tǒng)穩(wěn)定。3）適應能力強，某些標準PID控制不理想的過程可以考慮采用這種算法。4）參數(shù)整定容易，各參數(shù)間相互影響減小了，而且A為兩參數(shù)的要求不精確，可作一次性確定。變速積分與積分分離法相比有相似之處，但調(diào)節(jié)方式不同。積分分離對積分項采取“開關”控制，而變速積分則是緩慢地變化，故后者調(diào)節(jié)品質(zhì)可以大大提高。第三十七頁，共八十頁，2022年，8月28日4．帶死區(qū)的PID控制某些控制系統(tǒng)精度要求不高，但不希望控制作用頻繁動作，以力求平穩(wěn)或減少機械磨損，在這些應用場合下，可采用帶死區(qū)的PID控制。其控制算法是：按實際需要設置死區(qū)B，當│e(k)│≤B時，控制算式維持原來的輸出；而當│e（k）1│＞B時，經(jīng)PID運算后輸出控制量，其控制算式為第三十八頁，共八十頁，2022年，8月28日算法的程序流程圖如圖4．11所示。4．3．2微分項的改進1．不完全微分數(shù)字PID控制算式微分項的作甩有助于減小系統(tǒng)的超調(diào)，克服振蕩，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。同時加快系統(tǒng)的響應速度，縮短調(diào)整時間，有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。模擬PID調(diào)節(jié)器是靠硬件來實現(xiàn)的，由于反饋電路本身特性的限制，無法實現(xiàn)理想的微分，其特性是實際微分的PID控制。為了分析數(shù)字PID控制器的微分作用，由式（4．3）得出微分部分的輸出UD（k）與偏差的關系為對應得Z變換為當e（t）為單位階越函數(shù)時，第三十九頁，共八十頁，2022年，8月28日所以由此得出標準數(shù)字PID控制器在單位階越輸人信號的作用下，微分項輸出的脈沖序列為微分部分輸出的脈沖序列表明，從第二個采樣周期開始，微分項輸出為零，如圖4．12中脈沖1所示。圖中同時給出了模擬PID調(diào)節(jié)器中微分項在單位階越輸人信號作用下的輸出情況，如圖4．12中曲線所示。

第四十頁，共八十頁，2022年，8月28日可見，于單位階越輸人信號，標準數(shù)字PID控制器的微分作用僅在第一個采樣周期起作用，然后即變?yōu)榱?，而模擬PID調(diào)節(jié)器的微分作用卻是在較長的時間內(nèi)起作用，逐漸變?yōu)榱?。通過比較就IL可以看出，標準數(shù)字PID控制器的微分作用要比模擬實際PID調(diào)節(jié)器的微分作用的性能要差。對慣性較大的實際控制系統(tǒng)而言，標準數(shù)字PID控制器的微分項需要改進。此外，應該指出的是，當瞬時偏差較大的情況下，標準數(shù)字PID控制器在較大偏差產(chǎn)生的一瞬間，輸出的控制量將很大，容易造成溢出。不完全微分數(shù)字控制器可以解決上述問題。在標準數(shù)字PID控制器算式中，引人一慣性環(huán)節(jié)便構(gòu)成了不完全微分數(shù)字控制器。它不僅可以平滑微分產(chǎn)生的瞬時脈動，而且能加強微分對全控制過程的影響。第四十一頁，共八十頁，2022年，8月28日一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

標準PID調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)為

由式（4．24）和式（4．25）得到不完全微分的PID調(diào)節(jié)規(guī)律為

設則得到不完全微分的PID算式如下第四十二頁，共八十頁，2022年，8月28日式中：a——微分增益。根據(jù)式4．26我們可以把不完全微分調(diào)節(jié)器看成由幾個環(huán)節(jié)組成，如圖4．13所示。下面分別討論各環(huán)節(jié)的算法問題。

（1）微分部分

化成差分方程為

對比較小的采樣周期T（T《T2）上式可簡化為

式（4．27）是微分部分用于編程的形式。

第四十三頁，共八十頁，2022年，8月28日（2）積分部分積分部分的輸人是微分部分的輸出，積分部分的輸出為V（k），所以得

化成微分方程的形式并用一階差分離散化，得差分方程

（3）比例部分

比例部分的表達式很簡單，為微分作用的輸出乘以K；，即比例部分的輸出為

（4）不完全微分數(shù)字控制器的輸出

由式（4．28）、（4．29）得不完全微分數(shù)字PID控制器的輸出為

第四十四頁，共八十頁，2022年，8月28日標準數(shù)字PID控制器和不完全微分數(shù)字控制器的階越響應如圖4．14所示，比較這兩種數(shù)字PID控制器的階越響應，可以看出：（1）標準數(shù)字PID控制器的控制品質(zhì)較差。其原因在于微分作用僅局限于第一個采樣周期有一個大幅度的輸出。一般的工業(yè)執(zhí)行機構(gòu)無法在較短的采樣周期內(nèi)跟蹤較大的。微分作用輸出。而且，理想微分還容易引進高頻干擾。

第四十五頁，共八十頁，2022年，8月28日（2）不完全微分數(shù)字PID控制器的控制品質(zhì)較好。其原因是微分作用能緩慢地持續(xù)多個采樣周期，使得一般的工業(yè)執(zhí)行機構(gòu)能比較好地跟蹤微分作用輸出。由于不完全微分數(shù)字PID控制器算式中含有一階慣性環(huán)節(jié)，具有數(shù)字濾波的作用，因此，抗干擾作用也較強。2．微分先行PID算法

微分先行是指把微分運算放在比較器附近，它有兩種結(jié)構(gòu)，如圖4．15所示。圖4．15(a）是輸出量微分，圖4．15（b）是偏差微分。

第四十六頁，共八十頁，2022年，8月28日

輸出量微分是只對輸出量c(t)進行微分，而對給定值r(t)不作微分,這種輸出量微分控制適甩手給定值頻繁升降場合，可以避免因提降給定值時所引起的超調(diào)量大、閥門動作過分劇烈的振蕩。偏差微分是對偏差值微分，也就是對給定值r(t)和輸出量c(t)都有微分作用，偏差微分適用于串級控制的副控回路，因為副控回路的給定值是由主控回路的調(diào)節(jié)器給定的。也應該對其作微分處理，因此，應該在副控回路中采用偏差微分。PID控制算法的輸入量是偏差信號e，即給定量r和系統(tǒng)輸出值c的值差。在進入正常調(diào)節(jié)后．由于C已接近r，所以偏差信號e的值不會太大。相對而言，干擾值對調(diào)節(jié)作用的影響較大。為了消除隨機干擾的影響，除了從系統(tǒng)硬件及環(huán)境方面采取措施外，在控制算法上也應采取一定措施，以抑制干擾的影響。對于作用時間較短暫的快速干擾，如采樣樣器、A／D轉(zhuǎn)換器的偶然出錯等，我們可以簡單地采用連續(xù)多次采樣求平均值的數(shù)字濾波辦法加以濾除。而對于一般的隨機干擾，我們還可以采用如一階慣性濾波的數(shù)字濾波方法來減少擾動的影響。第四十七頁，共八十頁，2022年，8月28日除了采用一般的數(shù)字濾波方法外，我們分項的辦法來一直干擾。因為數(shù)字PID算法式（4．5）和（4．6）是對模擬PID控制規(guī)律的近似，其中模擬PID控制規(guī)律中的積分項是用和式近似的，微分項是用差分項來近似的。在各項中，差分（尤其是二階差分）對數(shù)據(jù)誤差和噪聲特別敏感，

一旦出現(xiàn)干擾，通過差分的計算就非常容易引起控制量的很大變化。因此，在數(shù)字PID算法中，干擾通過微；分項對控制的影響是主要的由于微分項在PID調(diào)節(jié)中往往是必要的，不能簡單地把它棄去，所以，應研究對干擾不過于敏感的微分項的近似算法。四點中差分法就是最常用的一種種算法如圖4．16所示。在四點中心差分修改算法中，一方面將TD/T選擇得比正常情況下稍小一些，另一方面在組成差分時，不是直接應用現(xiàn)時偏差e(k),而是用過去和現(xiàn)在四個采樣時刻的偏第四十八頁，共八十頁，2022年，8月28日差的平均值作為基準，即然后通過加權平均和構(gòu)成近似微分項，即

整理后得

用式（4．31）代替式（4．5）中的微分項，即得修改后的數(shù)字PID控制算式。同理，也可以用同樣的方法對增量型數(shù)字PID控制算式的微分項加以改進，這里就不再具體加以推導。以上我們介紹了幾種機電控制系統(tǒng)中常用的數(shù)字PID控制器的改進方法。應該指出的是，目前人們提出和應用的數(shù)字PID控制器的改進方法很多，可以根據(jù)不同的應用場合靈活地選用，例如給定值頻繁升降時對控制量進行阻尼的Po算法、混合過程PID算法、采樣PI算法、批量PID算法、純滯后補償算法。第四十九頁，共八十頁，2022年，8月28日

4．4數(shù)字PID控制器的參數(shù)整定

將各種數(shù)字PID控制算法用于實際系統(tǒng)時，必須確定算法中各參數(shù)的具體值，如比例增益Kp、積分時間常數(shù)TI、微分時間常數(shù)TD和采樣周期T，以使系統(tǒng)全面滿足各項控制指標，這一過程叫做數(shù)字控制器的參數(shù)整定數(shù)字控制就其本質(zhì)來講是一種采樣控制系統(tǒng)。由于連續(xù)生產(chǎn)過程的控制回路一般都有較大的時間常數(shù)，在多數(shù)情況下，采樣周期與系統(tǒng)的時間常數(shù)相比要小得多。所以，數(shù)字控制器的參數(shù)選擇可以利用模擬調(diào)節(jié)器的各種整定方法。根據(jù)實際受控對象的特性、負載情況，合理選擇控制規(guī)律是直觀重要的。根據(jù)分析可以有如下幾點結(jié)論：（1）對于一階慣性控制對象，當載荷不大，工藝要求不高時，可以考慮采用比例（P）控制，例如壓力、液位、串級副控回路等。（2）對于一階慣性與純滯后工節(jié)串聯(lián)的對象，當負載第五十頁，共八十頁，2022年，8月28日變化不大，要求控制精度較高時，可采用比例積分（PI）控制，例如壓力、流量、液位的控制等。（3）在純滯后較大，負載變化也較大，控制要求較高的場合，可采用比例積分微分（PID）控制，例如位置隨動系統(tǒng)、過熱蒸汽溫度控制等。（4）當對象為高價（二階以上）慣性環(huán)節(jié)又有純滯后特性，負載變化較大，控制性能要求也較高時，應考慮采用串級控制、前饋-反饋、前饋-串級或純滯后補償控制，例如數(shù)控機床的位置控制等。PID控制器的設計，可以用理論方法，也可以通過實驗的方法。在對象的數(shù)學模型及其參數(shù)已知的情況下，可以用頻率法或根軌跡法計算pID參數(shù)。但由于多數(shù)情況下無法精確地知道對象的數(shù)學模型及其參數(shù)，所以理論方法在工程上的應用有較大的局限性。因此，過程上常用實驗的方法或者試湊的方法來確定PID的參數(shù)。第五十一頁，共八十頁，2022年，8月28日4．4．1采樣周期的選擇進行數(shù)字PID控制器參數(shù)整定時，首先應該解決的一個問題是確定合理的采樣周期T。上一章所講的采樣定理只是給出了采樣頻率的最低取值，工程上一般不能僅按采樣定理來決定采樣頻率，而是要考慮以下因素。（1）采樣周期的選擇受系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響我們所討論的數(shù)字PID控制系統(tǒng)是一種準連續(xù)控制系統(tǒng)從上一章采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析可以看出，對采樣控制系統(tǒng)，采樣周期對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有直接的影響。因此，應該從系統(tǒng)穩(wěn)定條件，確定出采樣周期的最大值，以保證系統(tǒng)是充分穩(wěn)定的。（1

（2）

給定和擾動頻率從控制系統(tǒng)隨動和抗干擾的性能來講，要求采樣周期短些好，這樣，給定值的改變可以迅速地通過采樣得到反映，而不致在隨動控制中產(chǎn)生大的延遲。對低頻擾動，采樣周期長短對系統(tǒng)的抗擾性能影響不大，因為系統(tǒng)輸出中包含了擾動信號，

第五十二頁，共八十頁，2022年，8月28日通過反饋可以地抑制擾動的影響。對于中頻干擾信號，如果采樣周期選得太大，干擾就可能得不到控制和抑制。對于高頻擾動，由于系統(tǒng)的慣性較大，系統(tǒng)本身具有一定的濾波作用，亦即干擾信號到系統(tǒng)輸出之間的開環(huán)響應的頻帶是有限的，所以高頻擾動對系統(tǒng)的輸出影響也是較小的。因此，如果干擾信號的最高頻率是已知的，則可以通過采樣定理來選擇采樣周期，以使干擾能夠盡快得到消除。（3）計算機精度從計算機的精度來看，采樣周期選得過短也是不合理的。因為工業(yè)控制用的計算機字長一般選得較短，且多為定點運算，所以，如果采樣周期太小，前后兩次采樣的數(shù)值之差可因計算機精度不高而反映不出來，使得積分和微分作用不明顯或失去作用。（4）執(zhí)行機構(gòu)的特性采樣周期的的長短要與執(zhí)行機構(gòu)的慣性相適應，執(zhí)行機構(gòu)的慣性大，則采樣周期就要相應地長，否則，也會出現(xiàn)（3）中所第五十三頁，共八十頁，2022年，8月28日提的問題。（5）控制回路數(shù)從計算機的工作量和每個控制回路的計算成本來看，一般要求采樣周期大些。特別是當計算機用于多回路控制時，必須使每個回路的控制算法都有足夠的時間完成。因此，在用計算機對動態(tài)特性不同的多個回路進行控制時，可以充分利用計算機的靈活性，對不同回路采用不同的采樣周期，而不必強求統(tǒng)一采用最小采樣周期。對多回路控制，采樣周期與回路數(shù)n有以下關系（6）設閉環(huán)系統(tǒng)要求的頻帶為ωb，則系統(tǒng)的采樣頻率一般在以下范圍內(nèi)選取ωs＞（25—100）ωb從以上的分析可以看出，各方面因素對采樣周期的要求是不同的，有些是相互矛盾的。在實際應用中，應根據(jù)具體

第五十四頁，共八十頁，2022年，8月28日情況和主要的要求進行選擇。4．4．2擴充臨界比例度法整定參數(shù)擴充臨界比例度法是模擬調(diào)節(jié)器參數(shù)中使用的臨界比例度法的推廣。按這種方法進行數(shù)字PID控制器參數(shù)整定的步驟如下：（1）選擇一個足湖抽鄰階治樣周期，例如使采樣周期在被控對象純滯后時間的十分之一以下。（2）去掉數(shù)字控制器的積分和微分作用(TI=∞,TD=0)即調(diào)節(jié)器作比例調(diào)節(jié)器工作，用選定的采樣周期使系統(tǒng)閉環(huán)工作。（3）逐漸減小比例度δ(δ=1／K。)，直到系統(tǒng)發(fā)生持續(xù)等幅振蕩。記下系統(tǒng)發(fā)生等幅振蕩的臨界比例度δb和臨界振蕩周期Tb，作基準參數(shù)。（4）選擇控制度。所謂控制度就是以模擬調(diào)節(jié)器為基準，將數(shù)字控制器的控制效果與模擬控制器的控制效果相比較?？刂菩Ч脑u價函數(shù)通常用誤差平方面積表示，即第五十五頁，共八十頁，2022年，8月28日實際應用中并不需要計算兩個誤差平方面積，控制度僅表示控制效果的物理概念。例如，當控制度為1．05時，表示數(shù)字控制器與模擬控制器控制效果相當；控制度為2。0時，則數(shù)字控制器比模擬控制器效果差。（5）選擇好控制度后，查表4．1，得到T，Kp，TD的值。（6）按求得的參數(shù)運行，觀察控制效果，可適當結(jié)合試湊法調(diào)整參數(shù)，直到滿意為止。第五十六頁，共八十頁，2022年，8月28日表4．1按擴充臨界比例度法整定參數(shù)

4．4．3擴充響應曲線法整定參數(shù)擴充響應曲線法是模擬調(diào)節(jié)器參數(shù)整定的響應曲線法的一種擴充．也是一種實驗方法，其整定步驟如下：第五十七頁，共八十頁，2022年，8月28日（1）斷開數(shù)字控制器，即數(shù)字控制器不接人控制系統(tǒng)中，使系統(tǒng)工作在手動操作狀態(tài)。將被調(diào)量調(diào)節(jié)到給定值附近，并使之穩(wěn)定下來。然后突然改變給定值，給對象一個階躍輸人信號。（2）用記錄儀表記錄下被調(diào)量在階躍輸人作用下的變化過程曲線，如圖4．17所示。（3）在曲線最大斜率處作切線，求得滯后時間τ，被控時間常常數(shù)Tτ以及他們的比值（Tτ/τ）.（4）根據(jù)所得的τ和Tr以及它們的比值Tr/τ，查表4．2，即可得數(shù)字控制器的T,KP，TI，TD的值。第五十八頁，共八十頁，2022年，8月28日第五十九頁，共八十頁，2022年，8月28日4．5數(shù)字控制器的等價離散化設計

計算機控制系統(tǒng)的等價離散化設計方法，就是將計算機控制系統(tǒng)首先看成是模擬系統(tǒng)，按照系統(tǒng)性能指標要求，運用模擬控制規(guī)律的各種理論工具和設計方法，設計出模擬閉環(huán)控制系統(tǒng)的模擬控制器。然后，將設計好的模擬控制器離散化成數(shù)字控制器。亦即，在給定的控制規(guī)律D(s)的條件下，尋找等價離散化控制規(guī)律D（S）?；蛘吒_地說，給定圖4．18所示模擬控制系統(tǒng)的D（S），尋找控制器的最佳數(shù)字實現(xiàn)D（C）。數(shù)字實現(xiàn)要求以適當?shù)牟蓸又芷趯敵鯟(t)進行采樣，并且以某種方式平滑計算機輸出，以得到連續(xù)的控制量輸出U（t）。一般情況下，零階保持器是常用的平滑裝置。

第六十頁，共八十頁，2022年，8月28日這樣，等價離散化設計方法就是以圖個19所示的數(shù)字實現(xiàn)，尋找與希望的D(S)相匹配的最佳的D(z)。但是，由于這種設計方法并不是直接按采樣系統(tǒng)設計，所以用這種設計方法得到的數(shù)字控制器與真實情況會有所偏差。而且D(S)反映e(T)的全部時間過程，而D(z)只用到e(t)在采樣時刻的值e(kt).當采樣周期較大時，系統(tǒng)實際達到的性能可能要比預期的設計指標差。因此，用這種設計方法設計時，對采樣周期的選擇要更加注意。根據(jù)e(t)在采樣點之間不同的假設，存在各種數(shù)字化近似方法。下面，我們介紹其中兩種，雙線形變換法和零極點匹配法。第六十一頁，共八十頁，2022年，8月28日4．5．1雙線性變換法假設我們希望用數(shù)字積分方法對一信號E（t）進行積分，為此我們采用圖4．20所示的梯形積分法則。令u（kT）為e（t）的積分，于是，在t＝kT時刻的積分值等于（K一1）T時刻的積分值加上由（k—1）T到kT時刻的面積，即

對上式兩端取Z變換，得

于是我們知道，在連續(xù)時間域中，純積分的拉氏變換為

第六十二頁，共八十頁，2022年，8月28日比較式（4．33）和式（4．34），若要將G0（s）

變換成G0（z），只要讓

即可。這種方法叫做雙線性變換法或圖斯?。═UStin）法。例4－6對于圖4．21所示的系統(tǒng)，采樣周期T＝0．01s，設計數(shù)字控制器D（z），使開環(huán)截止頻率ωc＞15，相位裕度γ≥45°。 解：先不考慮校正環(huán)節(jié)，不完全忽略采樣保持所引人的附加影響?？紤]到離散頻譜與連續(xù)頻譜的幅值相差1河倍，可以將零階保持器的傳遞函數(shù)簡化為一個慣性環(huán)節(jié)，即第六十三頁，共八十頁，2022年，8月28日于是未校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其對數(shù)幅頻特性用實線畫在圖4．22中，由于采樣保持環(huán)節(jié)的慣性遠比對象的慣性小得多，實際上可以忽略。由圖4．22可以得到截止頻率ωc≈9．5＜15相位裕度可以算得

不滿足設計要求，為此加超前校正。假設

校正后系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性用虛線畫在圖4．22中。由圖可得校正后系統(tǒng)的穿越頻率

第六十四頁，共八十頁，2022年，8月28日相位裕度可以算得

第六十五頁，共八十頁，2022年，8月28日校正后滿足設計要求。然后用雙線性變換將設計好的模擬控制器變成數(shù)字控制器，得到脈沖傳遞函數(shù)為

編程用的差分方程為

最后，對由D（z）和GhG0（z）所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)進行性能檢驗，看它是否與設計好的相應連續(xù)系統(tǒng)的性能近似。4．5．2零極點匹配法

零極點匹配法的基本思想是將D（s）的極點和有限零點，都按z=eTs的映射關系，一一對應地變換為D（z）的極點和零點。因為物理系統(tǒng)的極點數(shù)通常多于零點數(shù)，設極點數(shù)和零點數(shù)分別為n和m,則D（s）還有（n—m）個零點在無窮遠處，因此給D（z）增加（n—m）個(1+z-1)項。D（k）和D（z）的低頻增益應該互相匹配。這樣，零極點匹配法可按下列步驟進行：

第六十六頁，共八十頁，2022年，8月28日（1）根據(jù)z＝eTs的關系映射D（s）和D（z）的極點和有限零點；（2）如果D（S）的極點數(shù)多于零點數(shù)，添力（1＋z-1）n-m項；（3）匹配直流或低頻增益，在控制系統(tǒng)中最常用的辦法是，使D（S）和D（S）的穩(wěn)態(tài)增益相等。

當D（S）為有差環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)增益表示為

令二者相等，得

由此式可求得D（z）的增益。

當D（s）為一階無差環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)增益表示為

第六十七頁，共八十頁，2022年，8月28日令二者相等，得

由此式可求得D（z）的增益。例4－7某模擬校正裝置為0．055，試按零極點匹配法求D（Z）。解

已知采樣周期T＝即k＝8．02，所以第六十八頁，共八十頁，2022年，8月28日需要指出的是，在以上兩種離散化設計方法中，D（z）的分子和分母是等階次的。這意味著kT在采樣時刻的輸出需要kT時刻的輸人。欲沒有時間滯后地同時采集e（kT）。計算U（kT）以及輸出U（kT）是不可能的，技術上是做不到的。然而，如果方程足夠簡單，或者計算機運算速度足夠快，那么，由采樣e（kT）到輸出u（kT）的時間滯后對系統(tǒng)的實際響應可忽略不計。經(jīng)驗法則是保持時延為系統(tǒng)上升時間的1／20左右。當采樣頻率。ωs高于30倍系統(tǒng)通頻帶時，等價離散化方法是絕對可用的。第六十九頁，共八十頁，2022年，8月28日4．6對數(shù)頻率特性設計法

連續(xù)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性法或稱伯德（Bode）圖設計法有許多優(yōu)點，并為廣大工程技術人員所熟悉。但是，脈沖傳遞函數(shù)不是。的有理函數(shù)，而是以Z一戶的形式出現(xiàn)，這樣伯德圖設計法就不能直接在Z平面中應用。為了將這種實用的設計方法用于計算機控制系統(tǒng)的設計，通過做以下雙線性變換將z平面上的單位圓映射為W平面的虛軸；z平面上的單位圓內(nèi)部映射為W平面的左半平面；z平面上的單位圓外部映射為W平面的右半平面。這樣我們便可以通過伯德圖設計計算機控制系統(tǒng)了。若待設計的計算機控制系統(tǒng)的被控對象和零階保持器組成的廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為GhG0（Z），則用伯德圖設計法設計計算機控制系統(tǒng)的步驟為第七十頁，共八十頁，2022年，8月28日（1）作雙線性變換，將GhG。（z）變換為G（W），即

（2）令W＝ωw，繪制G（W）的幅頻特性L（ωw）和相頻特性φ(ωw)伯德圖。根據(jù)伯德圖，用與連續(xù)控制系統(tǒng)設計相同的方法，分析校正前系統(tǒng)的性能。（3）按給定要求修改L（ωw）為希望的L（ω），根據(jù)L（ωW）可寫出相應的閉環(huán)系統(tǒng)希望的開環(huán)傳遞函數(shù)G（W）。（4）根據(jù)G（W）和G（W）求出校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)D（W），即（5）將D（w）進行雙線性反變換，變成Z平面上的D（z），即

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