第五章 風險衡量

第五章風險衡量第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日第一節(jié)損失資料的收集與整理一、損失資料的收集為尋找那些可能在過去損失中得到的未來損失模型，風險管理人員應(yīng)盡力收集損失數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)要求具有完整性、統(tǒng)一性、相關(guān)性和系統(tǒng)性，并且數(shù)據(jù)的收獲必須利用合理的財力和時間。第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日1、完整性。即收集到的數(shù)據(jù)盡可能充分，完整。當重要數(shù)據(jù)丟失時，風險管理人員必須依靠個人的洞察力和判斷力來重新得到數(shù)據(jù)的內(nèi)容。2、一致性。為反映過去的模型，損失數(shù)據(jù)必須至少在兩個方面保持一致：第一，所有記錄在案的損失數(shù)據(jù)必須在統(tǒng)一的基礎(chǔ)上收集。第二，必須對價格水平差異進行調(diào)整，所有損失價值必須用同種貨幣來表示。3、相關(guān)性。過去損失額的確定必須以與風險管理相關(guān)性最大為基礎(chǔ)。比如，財產(chǎn)損失，應(yīng)以修復(fù)或重置財產(chǎn)得費用而不是財產(chǎn)得原始帳面價值作為損失值。第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日4、系統(tǒng)性。收集到的各種數(shù)據(jù)，還不能直接使用，必須根據(jù)風險管理的目標與要求，按一定的方法進行調(diào)理，使之系統(tǒng)化，以提供有用的信息，成為預(yù)測損失的一個基礎(chǔ)。第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、損失資料的整理

對有缺損得數(shù)據(jù)進行分析，是為了發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)得規(guī)律，從而推斷損失數(shù)據(jù)得規(guī)律。一般是首先對數(shù)據(jù)進行排序。（一）資料分組資料分組法用于簡縮資料。將損失數(shù)據(jù)的變動范圍分為許多組（一般采用等組距）。組數(shù)得多少，關(guān)鍵是資料數(shù)量以及運用數(shù)據(jù)的目的。如果數(shù)據(jù)大于50個，可以分十組到二十組，組距不能太大，所以組數(shù)也不能太多。第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日（二）頻數(shù)分布當組距（用組界或組中值表示）與相應(yīng)的組頻數(shù)一起以表格的形式展示出來時，所得到的那個表就叫做頻數(shù)分布表，簡稱頻數(shù)分布。組中值是每個組的代表值。頻數(shù)表能清楚地知道每個組所占據(jù)的比重，從而推斷全體。第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日（三）、累積頻數(shù)分布累積頻數(shù)分布是一個用以說明損失值在某特定數(shù)值以下的損失數(shù)據(jù)個數(shù)的表，因此各組對應(yīng)的累積頻數(shù)是該組及以前所有各組的組頻數(shù)之和。也可表示為：第n組所對應(yīng)的累積頻數(shù)=第n-1組所對應(yīng)的累積頻數(shù)+第n組的組頻數(shù)

第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日第二節(jié)

損失資料的描述

一、損失資料的圖形描述（一）條形圖條形圖是按寬度相同的垂直或水平條形線繪成的，它的長度與每一組數(shù)據(jù)的頻率成正比。使用條形圖主要用于比較不同時期的損失狀況或不同類型之間的某些變動數(shù)量。

注意：條形圖的每條寬度是一樣的。第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日（二）圓形圖圓形圖是用來比較整個組成部分的相對量，一個圓被分割成若干部分，每個扇形面積代表一個組成部分。注意：在圓形圖中，要把百分比轉(zhuǎn)化為度數(shù)，才能對圓形劃分。只要乘以360可以。

第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日（二）直方圖直方圖是表現(xiàn)分組資料的最普通的一種圖形，直方圖是一個在條形之間沒有間隔的條形圖。它利用一對坐標軸，水平軸衡量損失資料數(shù)據(jù)值，縱軸表示各組的頻數(shù)或頻率。水平軸可以從任何合適的數(shù)字開始，并且可以簡單地選擇任何合適的位置開始。垂直軸一般從0開始。組界分別表明在水平軸上，兩個連續(xù)的組界值的差異是用那個組界的寬度來描述。長方形底底寬度和組距的寬度是相等的，而它的高度是由該組頻數(shù)決定的，每個組都畫成這樣的直方圖。第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日（四）頻數(shù)多邊形頻數(shù)多邊形是在直方圖的每個長方形的頂端的中點（即組中值）放一個小圓點，然后聯(lián)結(jié)這些小圓點而成的。如果不繪直方圖，小圓點則放在每個組中植相應(yīng)的高度上，起始的小圓點常放在第一組半個組距處，最后一個小圓點距最后一個組半個組距的水平軸上，這樣多邊形就會封閉起來。隨著組距的縮短，頻數(shù)多邊形逐漸接近一條平滑曲線，即為頻數(shù)分布曲線。第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、損失資料的數(shù)字描述借助兩類指標，一類是描述集中趨勢的指標，稱做位置量數(shù)（MeasuresofLocation），另一類是表明離散趨勢的指標，稱做變異量數(shù)（MeasuresofVariation）。集中趨勢指標是指對全部數(shù)據(jù)具有代表性的一種數(shù)值。被稱為是損失資料處的“中心”，而離散趨勢指標是表示損失數(shù)據(jù)如何從“中心”擴散的。

第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日（一）位置量數(shù)1．全距中植。全距中植是樣本中最小觀察值與最大觀察值的中心數(shù)值，即

最小觀察值+最大觀察值全距中值=———————————2第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日2．眾數(shù)。一個樣本中的眾數(shù)是指樣本中出現(xiàn)次數(shù)最多的觀察值。假如每一觀察值出現(xiàn)的次數(shù)都相同，那么就沒有眾數(shù)。更多的觀察值出現(xiàn)相同的次數(shù)（它們比任何其余的觀察值叫多出現(xiàn)），那么眾數(shù)就不止一個，這個樣本稱為多峰的。

第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日3．中位數(shù)。假設(shè)數(shù)據(jù)資料已按遞增順序排列，而觀察值的個數(shù)是奇數(shù)時，則中位數(shù)是位于正中間的觀察值。如果觀察值的項數(shù)是偶數(shù)，則中位數(shù)應(yīng)當是兩個中間觀察值之間的中點數(shù)值。

4．算術(shù)平均數(shù)。最常用的位置量數(shù)就是算術(shù)平均數(shù)，簡稱為平均數(shù)，其定義為：觀察值的總和算術(shù)平均數(shù)=———————————

觀察值的項數(shù)（個數(shù)）第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日（二）變異量數(shù)還需要其他指標來表示資料的離散程度。1．全距。全距是最簡單的變異數(shù)量。對于一個樣本，全距等于最大觀察值與最小觀察值之差。2．平均絕對差。平均考慮到全部觀察值的情況。任意一組數(shù)據(jù)，每個數(shù)值與算術(shù)平均值的離差總和必定等于零，這是因為正的離差與負的離差正好抵消?？梢詫⑺械碾x差都做正值處理，然后再對N個離差作算術(shù)平均，因平均絕對差是指絕對差的簡單的算術(shù)平均數(shù)，用記作平均絕對差。第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日3．方差和標準差。由于絕對值處理上比較麻煩，一般用平方和來處理離差，每個離差的平方和再被N－1除就是方差，一般用s平方表示方差，S表示標準差。4．變異系數(shù)。風險管理人員對獲得的損失數(shù)據(jù)進行整理分析，此時變異系數(shù)V可用來測量兩者的風險大小。一般地，在估計將來的平均損失的同時，還應(yīng)考慮實際損失會與預(yù)期損失產(chǎn)生多大的偏差，應(yīng)該分析損失資料數(shù)據(jù)的離散趨勢。第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日常見的是方差和標準差的比較，但是在平均數(shù)不相等的情況下，僅僅靠方差的大小無法比較風險大小，需要把兩者結(jié)合起來。變異系數(shù)V＝位置數(shù)與變異量的綜合量數(shù)，其值變化范圍從零到無窮，而不是0到1，用變異系數(shù)度量風險，比單獨用位置量數(shù)，變異量數(shù)要優(yōu)越很多。第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三節(jié)

風險衡量指標在風險衡量中通過以下兩個指標反映：1．損失期望值，即未來某一時期內(nèi)預(yù)期的損失平均值。2．損失幅度，指一旦損失發(fā)生，可能形成的最大損失。因此衡量一種風險的大小，關(guān)鍵在于估計損失概率、損失期望值和損失幅度。

第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日一、損失概率（一）損失概率的含義損失概率是指損失發(fā)生的可能性。確定損失概率是風險衡量的一個重要方面。損失頻率是損失概率的估計值。損失頻率是指一定時期內(nèi)某風險事故發(fā)生的次數(shù)，一般可以用二項分布、泊松分布來估計損失的頻率。不能僅僅憑借偶然事情來判斷，要靠大數(shù)定律，小概率事件當作沒發(fā)生。第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日（二）損失概率在風險衡量中的兩種說法。1．時間性說法此說法側(cè)重于時間的概念，多長時間內(nèi)發(fā)生一次損失，以什么為計算單位。兩點注意：其一是時間單位的采用不同，在直覺上損失概率的大小亦不同。其二采用此種說法通常是在經(jīng)濟單位并不擁有許多同類風險單位的情況。因為經(jīng)濟單位如不擁有許多同類風險單位，則難以在短期內(nèi)預(yù)測有多少單位受損，因此，采用時間型說法對風險管理人員是有用的。第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日2．空間性說法此種說法側(cè)重于特定期內(nèi)遭遇損失的風險單位數(shù)，是眾多風險單位在空間上的平均結(jié)果。風險管理人員不能僅考慮本經(jīng)濟單位自己的風險單位的過去損失情況，尤其要考慮不同經(jīng)濟單位，甚至不同國家的風險單位損失經(jīng)驗。主要適用于本單位損失情況少，沒有代表性，需要在大環(huán)境中考慮概率。第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日采用空間性說法，應(yīng)注意：觀察的風險單位應(yīng)該是相互獨立的和同質(zhì)的。所謂“相互獨立”，是指風險單位之間絕對存在差異，此種差異可能來自各種原因（如所在地區(qū)，防護等級等），就某種風險而言，一個風險單位遭受損失并不影響其他風險單位遭受損失。所謂“同質(zhì)的”不僅指風險單位面臨相同的風險而且指風險單位所遭受的來自特定風險事故的損失概率和損失程度相同。

第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、損失期望值損失期望值表征某一時期的平均損失，它可以通過損失數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)來估計，如果已得到損失的概率分布，則可精確計算出來。主要是基于對過去歷史記錄材料的分析，來估計未來的期望值。第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日三、損失幅度損失幅度是指一旦發(fā)生至損事故，其可能造成的最大損失值。風險管理人員根據(jù)經(jīng)濟單位自身特點，可用不同的方法來衡量損失幅度，最基本的是估測單一風險單位在每一件事發(fā)生下的最大可能損失（MaximumPossibleLoss）和最大預(yù)期損失（MaximumProbableLoss）?！白畲罂赡軗p失”強調(diào)的是單一風險單位在企業(yè)生命存在期間，單一事件發(fā)生下可能最壞的損失，其特征是以企業(yè)生命存在期間為觀察期間。第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日“最大預(yù)期損失”強調(diào)的是單一風險單位，在單一事件發(fā)生下可能的最壞損失，其特征是不以企業(yè)生命存在期間為觀察期間。最大可能損失是一種客觀存在，與人的主觀認識無關(guān)，而最大預(yù)期損失概率則是一種與概率估算相關(guān)，即與人們的主觀認識無關(guān)。而最大預(yù)期損失則是一種與概率水平的不同而有所不同。因此最大可能損失不會低于最大預(yù)期損失。第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日第四節(jié)損失概率與損失程度的估測

一、

每年損失事故發(fā)生的次數(shù)估測每年損失事故發(fā)生的次數(shù)是確定損失概率的一個重要方法，也是風險管理人員必須掌握的內(nèi)容。（一）用二項分布估測損失次數(shù)（二）用泊松分布估測損失次數(shù)

第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日運用二項分布是有條件的，不僅要求每個風險單位每年至多發(fā)生一次風險事故，而且當風險單位很大時，計算變得很復(fù)雜。當二項分布中的n很大，q很小時就可用泊松分布來擬合，而在風險管理中，風險單位數(shù)很大是常事，因此用泊松分布估測損失次數(shù)，就更為有用。

兩種分布情況下，p代表的含義是不同的。第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日例1.某企業(yè)有5棟建筑物，根據(jù)過去的損失資料可知，其中任何一棟在一年內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的概率都是0.1，而且相互獨立。一棟建筑物在一年內(nèi)發(fā)生兩次火災(zāi)的可能性極小，可以忽略不計。試計算下一年該企業(yè)（1）不發(fā)生火災(zāi)的概率；（2）兩棟以上建筑物發(fā)生火災(zāi)的概率；（3）火災(zāi)次數(shù)的平均值和標準差。第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：（1）風險單位總數(shù)n=5，且每棟建筑物發(fā)生火災(zāi)的概率為p=0.1；（2）這5棟建筑物相互獨立，發(fā)生火災(zāi)時不會互相影響；（3）一棟建筑物在一年內(nèi)發(fā)生兩次火災(zāi)的可能性極小，可認為其概率為0。據(jù)此，建筑物發(fā)生火災(zāi)的棟數(shù)可以用二項分布來描述，其概率分布為P=﹛X=x﹜=(X=0,1,2,…,5)第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日發(fā)生火災(zāi)的棟數(shù)X012345P=﹛X=0﹜＝=0.5905概率P=﹛X=1﹜＝=0.3281P=﹛X=2﹜＝=0.0729P=﹛X=3﹜＝=0.0081P=﹛X=4﹜＝=0.0004P=﹛X=5﹜＝=0.0000第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日因此，（1）下一年不發(fā)生火災(zāi)的概率q=0.5905（2）兩棟以上建筑物發(fā)生火災(zāi)的概率Q=P=﹛X=3﹜+P=﹛X=4﹜+P=﹛X=5﹜=0.0085（3）下一年發(fā)生火災(zāi)次數(shù)的平均值和標準差分別為μ＝n×p=5×0.1=0.5Σ=第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日當每個風險單位在一定時期內(nèi)最多發(fā)生一次風險事故時，可以運用二項分布來估算損失概率，但如果每個風險單位在一定時期內(nèi)可能發(fā)生多次風險事故，二項分布就不適用。另外，即使是前一種情況，當獨立的風險單位數(shù)很大時，二項分布的計算就會很復(fù)雜，因此，當風險單位數(shù)n很大而事故發(fā)生概率p又較小時，可以采用泊松分布。第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日設(shè)有眾多風險單位，每年估計平均有λ個風險單位發(fā)生事故，每—風險單位發(fā)生事故的概率相同，則—年中發(fā)生致?lián)p事故數(shù)x為一服從參數(shù)為λ的泊松分布，分布律為P=﹛X=x﹜＝該分布的期望與標準差分別為和因此關(guān)鍵問題是通過損失資料獲得的估值，例如一個車隊在過去的三年內(nèi)共發(fā)生二次碰撞事故，即每年平均約2／3次，則估值為2／3。第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日例2：假定有一個5輛車組成的車隊，該車隊約每兩年有一次撞車事故，試估算該車隊下一年中發(fā)生撞車事故次數(shù)的分布狀況。解記x為一年中發(fā)生撞車事故的次數(shù)，由于年平均撞車次數(shù)為0.5，故x服從參數(shù)＝0.5的泊松分布，下一年撞車次數(shù)的概率分布計算如下表所示。第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日期望值E(x)＝＝0.5，標準差為＝＝0.707，無撞車事故的概率p(x＝o)＝0.6065，多于三次撞車事故的概率為p(x＞3)＝1一p（x＝0）一p（x＝1）一p（x＝2）一p（x＝3）＝0.0018，多于一次撞車事故的概中為p(x>1)＝1一p(X=0)－p(x=1)=0.0902第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日撞車次數(shù)x=k概率p(x=k)=00.606510.303320.075830.012640.001650.000260.0000第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、每次事故的損失金額風險事故發(fā)生的次數(shù)是離散型隨機變量，全部可能發(fā)生的次數(shù)與其相應(yīng)的概率都可以一一列舉出來。但每次風險事故所致的損失金額一般不能全部列舉出來，它可以在某一區(qū)間內(nèi)取值，因此，它是連續(xù)型隨機變量。對于損失金額來說，一般只能確定其在某個區(qū)間的概率，因為連續(xù)型隨機變量取某一個特定值的概率為零。第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日對于一些損失頻率分布類似一個正態(tài)分布的密度函數(shù)圖形，即只有一個峰，且圖形關(guān)于峰是近似對稱的，這樣的損失頻率分布可用正態(tài)分布來擬合，并通過正態(tài)分布來估測損失額落在某區(qū)間上的概率，以及損失額超過某一數(shù)值時的概率。第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日例3.某一村莊每次遭受洪水災(zāi)害而導致的損失金額如下表所示。損失金額（百元）次數(shù)5－1515－2525－3535－4545－5555－6565－752928302151求：（1）每次災(zāi)害所導致?lián)p失金額小于500元的概率大??；（2）每次災(zāi)害所致?lián)p失金額在4500到6000元之間的概率大??；（3）每次災(zāi)害所致?lián)p金額大于7500元的概率大小。第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日損失金額5－1515－2525－3535－4545－5555－6565－75中值102030405060701004009001600250036004900頻數(shù)29283021512018084012001050300702003600252004800052500180004900第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日損失金額的期望值：損失金額的標準差：第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日（1）每次災(zāi)害所致?lián)p失金額小于500元的概率：P(x<5)=F(5)=(2)每次災(zāi)害致?lián)p金額在4500元和6000元之間的概率：P(45<x<60)=F(60)-F(45)=第四十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日（3）每次災(zāi)害所致?lián)p金額大于7500元的概率：P(x>75)=1－F(75)=1-0.993=0.0007第四十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日三、每年的總損失金額年總損失是指在已知該時期內(nèi)損失次數(shù)概率分布和每次損失金額概率分布的基礎(chǔ)上所求的損失總額。例.已知某一風險每年損失次數(shù)的概率分布和每次損失金額的概率分布，如下表。損失次數(shù)概率分布每次損失金額的概率分布損失次數(shù)概率損失金額概率00.510.320.210000.850000.2第四十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日求年總損失金額的分布。解：由資料可知，損失次數(shù)有三種可能：0，1和2差。得