第三章氣體分子熱運(yùn)動速率PPT

第三章氣體分子熱運(yùn)動速率PPT課件第一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日§1氣體分子的速率分布律§2用分子射線實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律§3玻耳茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布§4能量按自由度均分定理概率論的基本知識第二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日概率論的基本知識一、概率的基本性質(zhì)1、概率的定義若在相同條件下重復(fù)進(jìn)行同一個試驗(yàn)，在總次數(shù)N足夠多的情況下（N→∞），計(jì)算所出現(xiàn)某一事件的次數(shù)NL，則這一事件出現(xiàn)的百分比就是該事件出現(xiàn)的概率：

概率是大量偶然事件從整體上反映出來的一種規(guī)律性。第三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2、概率的基本性質(zhì)(1)，即事件i的概率只可能在0和1之間。(2)各種可能發(fā)生的事件的概率總和等于1.歸一化條件在擲骰子時，一般認(rèn)為出現(xiàn)每一面向上的概率是相等的。由此可總結(jié)出一條基本原理：等概率性——在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)概率更大些（或更小些）情況下，每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等。3、等概率性第四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日（1）概率相加法則——n個互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個事件發(fā)生概率之和。（2）概率相乘法則——同時或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）的事件發(fā)生的概率等于各個事件概率之乘積。3、概率的基本法則第五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日二、隨機(jī)變量——如果一變量在一定條件下，能以確定的概率取各種不同的數(shù)值，則該變量稱為~。1、離散型隨機(jī)變量表示方式取值有限、分立為隨機(jī)變量x的概率，滿足條件：①

②

歸一化條件第六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日——變量x可取某一區(qū)間內(nèi)的一切數(shù)值。2、連續(xù)型隨機(jī)變量取值無限、連續(xù)隨機(jī)變量x的概率密度:概率密度f(x)等于隨機(jī)變量取值在單位間隔內(nèi)的概率，又稱為概率分布函數(shù)（簡稱分布函數(shù)）。分布函數(shù)第七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日概率分布函數(shù)f（x），滿足條件：①

②

歸一化條件離散量與連續(xù)量的分布函數(shù)第八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日連續(xù)量的分布函數(shù)曲線返回1返回2第九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日三、統(tǒng)計(jì)平均值對于離散型隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)平均值為方均值為第十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于連續(xù)型隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)平均值為方均值為第十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日四、方差（漲落）——表示隨機(jī)變量x的取值在其統(tǒng)計(jì)平均值附近分散的程度。（或描述x的取值在其統(tǒng)計(jì)平均值上下漲落的平均幅度。）定義相對均方根偏差：相對均方根偏差表示了隨機(jī)變量在平均值附近分散開分布的程度，也稱為漲落、散度或散差。第十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日“漲落”現(xiàn)象------測量值與統(tǒng)計(jì)值之間總有偏離處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的宏觀量，如壓強(qiáng)p，不隨時間改變，但不能保證任何時刻大量分子撞擊器壁的情況完全一樣，分子數(shù)越多，漲落就越小。漲落現(xiàn)象第十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日分布曲線飛鏢F(x)第十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日從入口投入小球與釘碰撞落入狹槽(偶然)為清楚起見,從正面來觀察。隔板鐵釘伽耳頓板第十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

大量偶然事件整體所遵循的規(guī)律——統(tǒng)計(jì)規(guī)律。再投入小球：

經(jīng)一定段時間后,大量小球落入狹槽。分布情況：中間多，兩邊少。重復(fù)幾次，結(jié)果相似。

單個小球運(yùn)動是隨機(jī)的,大量小球運(yùn)動分布是確定的。小球數(shù)按空間位置分布曲線第十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日少數(shù)分子無規(guī)律性大量分子的統(tǒng)計(jì)分布第十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)規(guī)律特點(diǎn):

（1）只對大量偶然的事件才有意義。（2）它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變)。（3）大數(shù)量現(xiàn)象在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性。（4）統(tǒng)計(jì)規(guī)律是以動力學(xué)規(guī)律為基礎(chǔ)的。（5）永遠(yuǎn)伴隨著漲落現(xiàn)象。統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是對大量偶然事件整體起作用的規(guī)律，它表現(xiàn)了這些事物整體的本質(zhì)和必然的聯(lián)系。對于由大量分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從微觀上加以研究時，必須用統(tǒng)計(jì)的方法。第十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日§2用分子射線實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律葛正權(quán)實(shí)驗(yàn)裝置

分布曲線第十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日令R以恒定的角速度轉(zhuǎn)動較長的時間（一二十小時）。然后取下玻璃板G，用測微光度計(jì)測定板上各處沉積的鉍層的厚度，找出鉍層厚度隨s變化的關(guān)系，從而確定鉍分子按速率分布的規(guī)律。設(shè)速率為v的分子沉積在P’處，s表示弧PP’長度，ω表示R的角速度，D表示R的直徑。鉍分子由S3到達(dá)P’處所需時間為：t時間內(nèi)R轉(zhuǎn)過的角度為：弧PP’長度：第二十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日德國物理學(xué)家斯特恩（Sterm）最早于1920年做了分子射線束實(shí)驗(yàn)以測定分子射線束中的分子速率分布曲線。此處介紹朗繆爾（Langmuir）的實(shí)驗(yàn)裝置。（裝置置于真空之中）淀積屏P速率篩S’W’W狹縫屏分子源第二十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)裝置金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵分子束中能穿過第一個凹槽的分子同時能第二個凹槽時，它的速率v滿足如下關(guān)系：

第二十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日密勒－庫什實(shí)驗(yàn)裝置分布曲線第二十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日只要調(diào)節(jié)不同的旋轉(zhuǎn)角速度，就可以測出不同速率范圍Δv內(nèi)（凹槽有一定寬度）的分子射線強(qiáng)度，從而得到不同速率范圍的分子數(shù)比率。分子射線的速率分布曲線第二十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日§1.氣體分子的速率分布律一、速率分布函數(shù)1、速率分布函數(shù)的定義平衡態(tài)下，氣體分子速率v可以看做在0~∞之間連續(xù)分布的。設(shè)系統(tǒng)的總分子數(shù)為：

N

速率在v~v+dv之間的分子數(shù)：dN速率在v~v+dv之間的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)的比率：dP=dN/N（對于任意一個分子來說，速率處于v~v+dv之間的概率）平衡態(tài)下的速率分布函數(shù)：第二十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2、速率分布函數(shù)的物理意義對任意一個分子而言，它的速率剛好處于v值附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率。在速率v附近，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)N的比率。f(v)也稱為分子速率分布的概率密度第二十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日3、速率分布函數(shù)的應(yīng)用v～v+dv區(qū)間的分子數(shù)：

v～v+dv區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率：（一個分子的速率在v～v+dv區(qū)間的概率）v1～v2區(qū)間的分子數(shù)為：

v1～v2區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率:(即一個分子的速率在v1～v2區(qū)間的概率)

——速率分布函數(shù)的歸一化條件

第二十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日二、麥克斯韋速率分布律在平衡狀態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在任一速率區(qū)間v→v＋dv內(nèi)的分子的比率為：速率分布函數(shù)：反映理想氣體在熱動平衡條件下，各速率區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律。1、麥克斯韋速率分布律

第二十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2、速率分布曲線

曲線下矩形面積的物理意義：

圖中任一區(qū)間v→v＋dv內(nèi)，曲線下的窄條面積表示速率分布在這區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：②圖中任一有限范圍v1→v2內(nèi)，曲線下的面積則表示在這個范圍內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：③由歸一化條件，在0~∞區(qū)間，曲線下的面積為1。ov1v2第二十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日三、三種統(tǒng)計(jì)速率

1、最概然速率vp在vp附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)的比率最大；或者說，對于一個分子而言，它的速率剛好處于vp附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率最大。物理意義第三十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日根據(jù)分布函數(shù)求得同種

分子不同溫度的速率分布相同溫度下不同種類氣體的速率分布第三十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2、分子的平均速率——大量分子的速率的算術(shù)平均值。平均值計(jì)算式為①計(jì)算整個速率空間的平均速率②任意區(qū)間v1～v2內(nèi)的平均速率第三十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日根據(jù)分布函數(shù)求得3、分子的方均根速率①求整個速率空間的方均速率平均值計(jì)算式為第三十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日②任意區(qū)間v1～v2內(nèi)的方均速率根據(jù)分布函數(shù)求得第三十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日1)平均值的計(jì)算公式注意上下區(qū)間的一致性討論第三十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2)速率分布的特征速率當(dāng)氣體的溫度T和摩爾質(zhì)量M相同時：

第三十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日(n為分子數(shù)密度)2、說明下列各量的物理意義1、課本：P82

1思考題第三十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日答：——分布在速率v附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率?！植荚谒俾蕍附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)?！獑挝惑w積內(nèi)分子速率分布在速率v附近v~v+dv速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。第三十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日——分布在有限速率區(qū)間v1~v2

內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率?！植荚谟邢匏俾蕝^(qū)間v1~v2

內(nèi)的分子數(shù)?！植荚谟邢匏俾蕝^(qū)間v1~v2

內(nèi)的間所有分子的速率之和。第三十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日——分布在0～∞速率區(qū)間內(nèi)的分子平均速率?！植荚?～∞速率區(qū)間內(nèi)的分子速率v2

的平均值?！植荚?～∞速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（歸一化條件）對比第四十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日（A）vp是氣體分子中大部分分子所具有的速率（B）vp

是速率最大的速度值（C）vp是麥克斯韋速率分布函數(shù)的最大值（D）速率大小與最概然速率相近的氣體分子的比率最大3、麥克斯韋速率分布中最概然速率vp的概念，下面哪種表述正確？第四十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日恒溫器中放有氫氣瓶，現(xiàn)將氧氣通入瓶內(nèi)，某些速率大的氫分子具備與氧分子化合的條件（如只有當(dāng)速率大于某—數(shù)值v1的兩個氫分子和一個氧分子碰撞后才能復(fù)合為水），同時放出熱量。問瓶內(nèi)剩余的氫分子的速率分布改變嗎？（一種觀點(diǎn)認(rèn)為，因?yàn)闅錃夥肿又兴俾蚀蟮姆肿訙p少了，所以分子的速率分布應(yīng)該向溫度低的方向變化；另一種觀點(diǎn)認(rèn)為，因?yàn)檫@是放熱反應(yīng)，氣體溫度應(yīng)該升高，速率分布應(yīng)該向溫度高的方向變化，您認(rèn)為如何？）若氫氣瓶為—絕熱容器，情況又如何？課本：P82

5〖答〗：在氣體化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行過程中，平衡態(tài)尚未達(dá)到時是談不上什么速率分布的。平衡態(tài)建立以后，混合氣體中氫分子和氧分子的速率分布決定于它們自己的溫度。若容器為恒溫器，則速率分布不變。若為絕熱容器，由于是放熱反應(yīng)，故溫度要升高，速率分布向溫度高的方向改變。第四十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日課本：P82

3、4、6、7、8思考題例題課本：P83

1、2、3、4第四十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

例1:已知分子數(shù)N，分子質(zhì)量m0，分布函數(shù)f(v),求：1）速率在間的分子數(shù)；2）速率在間所有分子動能之和。

速率在間的分子數(shù):1）2）解：第四十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日例2:如圖示兩條曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，從圖上數(shù)據(jù)求出氫氣和氧氣的最概然速率。2000解：第四十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日例題3：求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，1.0m3氮?dú)庵兴俾侍幱?00~501m·s-1之間的分子數(shù)密度。（參考課本P845）解：已知第四十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日例4：估算O2在T=300K時速率在790—800m/s區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。（參考課本P846）解:第四十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日解：已知例題5：求氣體分子速率在

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占全部分子數(shù)的百分率。（參考課本P847（1））第四十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日例題6:有N個粒子，其速率分布函數(shù)為:（1）作速率分布曲線（2）求常數(shù)C（3）求粒子的平均速率（4）求粒子的方均根速率（參考課本P8412）解：（1）速率分布曲線如圖C(vo>v>0)0(v>vo)CvovO（2）求常數(shù)C第四十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日（3）（4）第五十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日作業(yè)題1、對于給定的理想氣體，試分別求v=vp/2，2vp和3vp的速率附近與最概然速率vp的附近相比，在Δv相同的速率小區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比。2、一由N個粒子組成的系統(tǒng)，平衡態(tài)下粒子的速率分布曲線如下圖所示。試求：（1）速率分布函數(shù)；（2）速率在0～v0/2范圍內(nèi)的粒子數(shù)；（3）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。第五十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日四、麥克斯韋速度分布律1、速度空間——以vx，vy，vz為軸的直角坐標(biāo)系（或以v、θ、φ為坐標(biāo)的球坐標(biāo)系）所確定的空間。第五十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日速度空間中的一個微分體積元dω=dvxdvvdvz表示：速度矢量的取值范圍在vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz

內(nèi)的所有那些速度矢量的整體，而vx，vv，vz是該立方體微分元dvxdvvdvz中最靠近原點(diǎn)的那一點(diǎn)的坐標(biāo)。速度空間中一個點(diǎn)代表什么：從原點(diǎn)向某一點(diǎn)畫出一矢量，該矢量的大小和方向就是所對應(yīng)的速度矢量。第五十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2、麥克斯韋速度分布律①麥克斯韋速度分布函數(shù)分子速度在區(qū)間內(nèi)的概率：

分子速度在附近單位區(qū)間內(nèi)的概率密度：氣體分子的速度矢量：第五十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日設(shè)總分子數(shù)N，在平衡狀態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時，速度分量vx在區(qū)間vx~vx+dvx

內(nèi)，速度分量vy在區(qū)間

vy~vy+dvy

內(nèi)，速度分量vz在區(qū)間

vz~vz+dvz

內(nèi)的分子的比率為：——麥克斯韋速度分布律——麥克斯韋速度分布函數(shù)第五十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日②麥克斯韋速度分量的分布函數(shù)由概率相乘法則：

vx，vy，vz相互獨(dú)立

第五十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

速度分量vx的分布函數(shù)：速度分量vy和vz的分布函數(shù)：速度分量的分布函數(shù)也可通過積分求解：課本63第五十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日速度分量的分布曲線圖中曲線下的矩形陰影部分面積為：

第五十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日③注意點(diǎn)適用范圍：麥克斯韋在導(dǎo)出速度分布律過程中沒有考慮到氣體分子間的相互作用，故這一速度分布律只適用于處于平衡態(tài)的理想氣體。歸一化條件：

最概然速度的概念：

速度分布中概率取極大時的速度就是最概然速度。由麥克斯韋速度分布律可得出，時，概率取極大。則最概然速度就是速率為零處的速度，或者說是速度矢量等于零處的速度。與最概然速率是兩個完全不同的概念。

第五十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日思考題分析以下各式的物理意義

——速度空間中任何位置處的概率密度

——速度空間中的分子數(shù)密度

——三個速度分量在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz范圍內(nèi)的概率或速度矢量端點(diǎn)落在速度空間中體積元dvxdvydvz內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。

第六十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日——意義與(3)相同——三個速度分量在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,而-∞<vz<+∞范圍內(nèi)的概率；也表示速度矢量端點(diǎn)落在速度空間中截面積為dvxdvy，其棱平行于vz軸的無窮長柱體中分子數(shù)與總分子數(shù)之比。

——三個速度分量在vx~vx+dvx

，而-∞<vy<+∞，-∞<vz<+∞范圍內(nèi)的概率；也表示速度矢量端點(diǎn)落在速度空間中垂直于vx軸厚度為dvx的無窮薄平板中的分子數(shù)與總分子數(shù)之比。

第六十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日3、從麥克斯韋速度分布律導(dǎo)出速率分布速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律導(dǎo)出的。在平衡狀態(tài)下，分布在任一速率區(qū)間v~v+dv內(nèi)的速度矢量端點(diǎn)都落在半徑為v，厚度為dv的球殼層內(nèi)。第六十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日球殼層的體積：

同時代入麥克斯韋速度分布律：

得到麥克斯韋速率分布律：

第六十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日4、由麥克斯韋速度分布律導(dǎo)出氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強(qiáng)公式用麥克斯韋速度分布律求氣體分子碰壁數(shù)vxdtxyzOdA第六十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日取直角坐標(biāo)系xyz，在垂直于x軸的器壁上取一小塊面積dA。設(shè)單位體積內(nèi)的氣體分子數(shù)為n，則單位體積內(nèi)速度分量vx在vx～vx＋dvx之間的分子數(shù)為nf(vx)dvx.，在所有vx介于vx～vx＋dvx之間的分子中，在一段時間dt內(nèi)能夠與dA相碰的分子只是位于以dA為底，以vxdt為高的柱體內(nèi)的那一部分，其數(shù)目為nf(vx)dvx?vxdtdA=nf(vx)vxdvx?dtdA。第六十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日因此，每秒碰到單位面積器壁上速度分量vx在vx～vx＋dvx之間的分子數(shù)即為：將上式從0到+∞對vx積分，即求得每秒碰到單位面積上的分子總數(shù)為：其中：第六十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日代入前式，即得：由分子的平均速率為：氣體碰壁數(shù)為：第六十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日②推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)公式在dt時間內(nèi)速度在vx～vx＋dvx，-∞<vy<+∞，-∞<vz<+∞范圍內(nèi)，碰撞在dA面元上的分子數(shù)：速度分量為vx的氣體分子對面元dA的沖量：

考慮vx>0的分子才能碰上dA面，0<vx<+∞,則氣體分子對dA面的總沖量為：第六十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日課本P847（2）（3），10

作業(yè)題壓強(qiáng)為：第六十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日§3.玻耳茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布一、玻耳茲曼分布律若氣體分子處于恒定的外力場（如重力場）中氣體分子在空間位置不再呈均勻分布?xì)怏w分子分布規(guī)律如何第七十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日如氣體分子處于外力場中，分子能量勢能麥克斯韋速度分布律：因子動能理想氣體分子僅有動能麥克斯韋速度分布可以看作是無外場中分子數(shù)按能量的分布zyxkTvvvmdvdvdvekTmNdNzyx2/)(2/302220)2(++-=p第七十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日玻耳茲曼將麥克斯韋分布推廣為：在溫度為T的平衡態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀粒子經(jīng)典粒子）按能量分布都與成正比。玻耳茲曼因子（概率因子）分子的能量越大，概率因子越小，分子數(shù)就越少。從統(tǒng)計(jì)意義上看，這說明氣體分子占據(jù)能量較低狀態(tài)的概率，比占據(jù)能量較高狀態(tài)的概率為大。一般來說，氣體分子占據(jù)基態(tài)（最低能量狀態(tài)）的概率要比占據(jù)激發(fā)態(tài)（較高能量狀態(tài)）的概率大得多。第七十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日外力場中，分子速度處于

vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz區(qū)間內(nèi)，坐標(biāo)處于

x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz的空間體積元dV=dxdydz內(nèi)的分子數(shù)為：——玻耳茲曼分布律n0表示在勢能εp=0處單位體積內(nèi)所含各種速度的分子數(shù)考慮歸一化條件：

+∞第七十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日分布在坐標(biāo)區(qū)間x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)：

分布在坐標(biāo)區(qū)間x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz內(nèi)單位體積內(nèi)的分子數(shù)：

——分子按勢能的分布律玻耳茲曼分布律對任何物質(zhì)的微粒（氣體、液體、固體的原子核分子、布朗粒子等）在任何保守力場（重力場、電場）中運(yùn)動的情形都成立。第七十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日二、重力場中粒子按高度的分布令z=0處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n0重力場中的氣體分子按高度分布的規(guī)律則分布在高度為z處體積元dxdydz內(nèi)的分子數(shù)為：而分布在高度為z處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為：第七十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日由理想氣體狀態(tài)方程式中p0＝n0kT為z=0處的大氣壓強(qiáng)，p為z處的大氣壓強(qiáng)，m0是大氣分子質(zhì)量，M為氣體的摩爾質(zhì)量。在重力場中氣體分子的數(shù)密度n隨高度的增大按指數(shù)減小。第七十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日大氣密度和壓強(qiáng)隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減?。ǜ呖湛諝庀”。瑲鈮旱停﹥蛇吶?shù)可根據(jù)地面和高空處的壓強(qiáng)與溫度，來估算所在高空離地面的高度。

——等溫氣壓公式第七十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日21、飛機(jī)的起飛前機(jī)艙中的壓力計(jì)批示為1.0atm，溫度為27oC；起飛后，壓力計(jì)指示為0.80atm，溫度仍為27oC，試計(jì)算飛機(jī)距地面的高度。解：根據(jù)等溫氣壓公式：

有

代入數(shù)據(jù)

[課堂例題]第七十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日22、上升到什么高度處大氣壓強(qiáng)減為地面的75%？設(shè)空氣的溫度為0oC。

由題意知：

解：第七十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日23、設(shè)地球大氣是等溫的，溫度為t=5.0oC,海平面上的氣壓為p0=750mmHg，令測得某山頂?shù)臍鈮簆=590mmHg，求山高。已知空氣的平均分子量為28.97。解：第八十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日麥克斯韋速度分布律

考慮分子按速度的分布（按動能分布）

在保守場中

考慮分子按空間分布（按勢能分布）

分子按能量分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（玻耳茲曼分布律）分子按勢能的分布律

特殊化

各種速度

特殊化

重力場

重力場中氣體分子按高度分布的規(guī)律

等溫氣壓公式

近似估算不同高度處的大氣壓強(qiáng)或判斷上升高度

第八十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日§4.能量按自由度均分定理一、自由度

——描述一個物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為該物體的自由度。例1：

自由運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)(三維空間)3個平動自由度記作

t=3若受到限制自由度降低

平面上2個平動自由度t=2

直線上1個平動自由度

t=1

一般氣體分子的運(yùn)動：平動、轉(zhuǎn)動和分子內(nèi)原子間的振動一個質(zhì)點(diǎn)的位置用x、y、z三個獨(dú)立坐標(biāo)決定。獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)指描寫物體位置所需的最少坐標(biāo)數(shù)。第八十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日例2：自由運(yùn)動的剛體(如大家熟悉的手榴彈)自由度首先應(yīng)明確剛體的振動自由度s=0按基本運(yùn)動分解：平動+轉(zhuǎn)動

剛體的運(yùn)動：質(zhì)心的平動+繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動第八十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日●每一點(diǎn)繞過C點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動先定轉(zhuǎn)軸：2個自由度再定每個質(zhì)元在垂直軸的平面內(nèi)繞軸旋的角度：

1個自由度3個轉(zhuǎn)動自由度r=3結(jié)果6個自由度=t+r=3+3=6定質(zhì)心位置需3個平動自由度t=3整體隨某點(diǎn)(通常選質(zhì)心)平動第八十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日一個剛體的位置用1）x、y、z三個獨(dú)立坐標(biāo)決定質(zhì)心位置；2）用兩個獨(dú)立坐標(biāo)α、β

決定轉(zhuǎn)軸的方位；3）用一個獨(dú)立坐標(biāo)φ

決定剛體相對于某一起始位置轉(zhuǎn)過的角度。繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體只有1個自由度。第八十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日物體自由度是與物體受到的約束和限制有關(guān)的，物體受到的限制（或約束）越多，自由度就越小。考慮到物體的形狀和大小，它的自由度等于描寫物體上每個質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)個數(shù)減去所受到的約束方程的個數(shù)。第八十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日2、氣體分子的自由度將每個原子看作質(zhì)點(diǎn)所以分子是質(zhì)點(diǎn)系。單原子氣體分子：一個自由運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，則其分子需要x、y、z三個獨(dú)立的空間坐標(biāo)才能確定其位置，所以它的自由度為3。雙原子氣體分子：

由一根質(zhì)量可忽略的彈簧及兩個質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的模型。用3個獨(dú)立坐標(biāo)確定其質(zhì)心位置；2個獨(dú)立坐標(biāo)確定其雙原子連線的方位；1個獨(dú)立坐標(biāo)決定兩質(zhì)點(diǎn)的相對位置。因而它的自由度是6：3個平動+2個轉(zhuǎn)動+1個振動第八十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日多原子氣體分子：

由N個原子構(gòu)成，最多有3N個自由度，其中3個是平動，3個是轉(zhuǎn)動，其余是3N-6是振動的。當(dāng)分子的運(yùn)動受到某種限制時，其自由度數(shù)就會減少?？傋杂啥?

t——平動自由度；r——轉(zhuǎn)動自由度；s——振動自由度第八十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對剛性氣體分子來說：剛性單原子氣體分子：3個自由度：3個平動剛性分子：對于分子內(nèi)有振動（原子間距離變化）的情況不予考慮。

第八十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日剛性的多原子氣體分子

：6個自由度：3個平動+3個轉(zhuǎn)動在確定質(zhì)心位置和任一過質(zhì)心的軸線的方位后，還需要一個用以確定繞該軸轉(zhuǎn)動的角坐標(biāo)，因而它有6個自由度。剛性雙原子氣體分子：5個自由度：3個平動+2個轉(zhuǎn)動可以這樣來理解，兩個原子需要6個坐標(biāo)，但是由于有剛性的要求（兩個原子之間的距離不變），從而形成一個約束方程，自由度等于5。

第九十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

自由度數(shù)目氣體分子自由度

平動轉(zhuǎn)動

振動單原子分子

30033雙原子分子

32165多/N原子分子

333N－63N6分子自由度t平動r轉(zhuǎn)動總(一般)s振動總(剛性)第九十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日二、能量按自由度均分定理理想氣體的平均平動動能可以表示為：

分子有3個平動自由度，分子的平均平動動能可表示為：在平衡狀態(tài)下，大量氣體分子沿各個方向運(yùn)動的機(jī)會均等：

平衡態(tài)下的分子運(yùn)動，每一個平動自由度的平均動能：

第九十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日在溫度為T的平衡態(tài)下各自由度地位相等每一轉(zhuǎn)動自由度，每一振動自由度也具有與平動自由度相同的平均動能，其值也為。

在溫度為T的平衡狀態(tài)下，物質(zhì)（氣體、液體或固體）分子的每一個自由度都具有相同的平均動能，其大小都等于?！芰堪醋杂啥染侄ɡ淼诰攀?，共一百一十五頁，2022年，8月28日討論1)能量分配——沒有占優(yōu)勢的自由度2)物質(zhì)：對象無限制（固、液、氣）—普遍性平衡態(tài)：對狀態(tài)的限制平均動能：統(tǒng)計(jì)的結(jié)果3)該定理是關(guān)于分子熱運(yùn)動動能的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。4）該定理是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只適用于大量分子組成的系統(tǒng)。5）微觀上是由于大量分子無規(guī)則碰撞的結(jié)果。第九十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日分子的平均總動能為分子的平均平動動能為分子的平均轉(zhuǎn)動動能為分子的平均轉(zhuǎn)動動能為第九十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

分子的平均總能量為振動自由度(分子中原子之間距離的變化）由振動學(xué)可知，諧振動在一個周期內(nèi)的平均動能和平均勢能是相等的。

令得第九十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日單原子分子雙原子分子多原子分子剛性分子單原子分子雙原子分子

多原子分子第九十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日三、理想氣體的內(nèi)能氣體的內(nèi)能：通常包括所有分子的平動動能、轉(zhuǎn)動動能、振動動能及振動勢能。由于分子間存在著相互作用的保守力，所以還具有分子之間的勢能。所有分子的各種形式的動能和勢能的總和。不包括系統(tǒng)作宏觀整體運(yùn)動的機(jī)械能。理想氣體的內(nèi)能：分子各種形式的動能和分子內(nèi)原子間的振動勢能之和。對于理想氣體，分子間作用力忽略，所以分子勢能之和為零。第九十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日m克理想氣體的內(nèi)能：

1mol理想氣體的內(nèi)能：單原子分子氣體：雙原子分子氣體：第九十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

m克剛性分子理想氣體的內(nèi)能：

1mol剛性分子理想氣體的內(nèi)能：剛性分子理想氣體系統(tǒng)第一百頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日單原子分子氣體：雙原子分子氣體：一般情況下，不加說明把分子看作剛性分子。多原子分子氣體：第一百零一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日可見1mol理想氣體的內(nèi)能只決定于分子的自由度和氣體的溫度，而與氣體的體積及壓強(qiáng)無關(guān)。也就是說理想氣體平衡態(tài)的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)。系統(tǒng)內(nèi)能是一個態(tài)函數(shù)。如果狀態(tài)發(fā)生變化，則系統(tǒng)的內(nèi)能也將發(fā)生變化。對于理想氣體系統(tǒng)來說，內(nèi)能的變化：

第一百零二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日例1：試指出下列各式所表示的物理意義：思考題——分子在溫度T時每個自由度上的平均動能——分子在溫度T時平均平動動能——分子在溫度T時的平均總能量第一百零三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日——溫度T時,總質(zhì)量為的m理想氣體的內(nèi)能

——溫度T時,總質(zhì)