林建偉《大學物理》6剛體

第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動3.1剛體的運動3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

3.3轉(zhuǎn)動慣量的計算3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應用3.5轉(zhuǎn)動中的功和能3.6剛體的角動量和角動量守恒定律卡爾文森號編輯課件剛體：在任何情況下都不發(fā)生變形的物體。

剛體運動的基本形式：平動：剛體中任意兩點的連線在運動中始終保持彼此平行。3.1剛體運動的描述

oΔΔoo′o′轉(zhuǎn)動：剛體圍繞某一固定直線作圓周運動。剛體質(zhì)點間的相對運動只能是繞某一軸轉(zhuǎn)動（rotation）的結果。

剛體的一般運動=轉(zhuǎn)動+平動

一、剛體的平動編輯課件定軸轉(zhuǎn)動：剛體繞一固定不動軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動平面Mrω參考方向X00θv轉(zhuǎn)動平面：垂直于轉(zhuǎn)動軸所作的平面ω二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動編輯課件ω角速度矢量ωω轉(zhuǎn)動平面Mrω參考方向X00θvvωrω編輯課件旋轉(zhuǎn)加速度向軸加速度MrωX00θv

定軸轉(zhuǎn)動：退化為代數(shù)量，剛體上任意點都繞同一軸作圓周運動，且，都相同。編輯課件Msinφ=Fr一、力矩3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

1.力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)=FrtFrφdMFtMrF

編輯課件只能引起軸的2.力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)FM=r×F=12rF×)(+Fr轉(zhuǎn)動平面變形，對轉(zhuǎn)動無貢獻。F1r×F+=21rr×F×FF21

在定軸動問題中，如不加說明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。

編輯課件3.多個力作用的情形F1F2F3r3r2r1123編輯課件ω00二、轉(zhuǎn)動定律rimΔiiΔ對m質(zhì)點應用牛頓第二定律：iF外力if內(nèi)力φFiifθii

編輯課件ω00rimΔi對運動狀態(tài)（轉(zhuǎn)動）改變沒有影響剛體上各點都有這樣的運動方程，應把所有方程迭加才是剛體整體運動規(guī)律，但應切向力分別作用于各個質(zhì)點上，且方向各不相同，因而求代數(shù)和沒有意義令：編輯課件轉(zhuǎn)動定律：討論：4.J

和轉(zhuǎn)軸有關，同一個物體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同。3.J和質(zhì)量分布有關。2.M

的符號：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動正方向加速的力矩為正。慣性大小的量度。M=Jddtω=J轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動1.M

一定，J編輯課件3.3轉(zhuǎn)動慣量的計算

J由質(zhì)量對軸的分布決定。dmrmrJ=m2c5.回轉(zhuǎn)半徑：假想將物體的質(zhì)量集中在半徑為rc的細圓環(huán)上，而保持轉(zhuǎn)動慣量不變，稱這圓環(huán)半徑為物體的回轉(zhuǎn)半徑。即任何物體的轉(zhuǎn)動慣量為：編輯課件例：如圖系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量，輕桿質(zhì)量忽略R1R2m2m1R2R1m1m2編輯課件

[例]均質(zhì)細圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。=mR2J2=Rdm2=RdmωRm00(1)、(2)、XYRrdmdm=[m/(2R)]RddJ=rdm2編輯課件[例]質(zhì)量為m，半徑為R的均質(zhì)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。Rσ=mπ2dJ2==rdmm22R1=ωRmdSrdrdσrdrddm=σdS=3σrdrd=J0rdrσR302d方法一、編輯課件方法二、dm=2πrdrσRσ=mπ2dJ2==rdm32πσrdrm22R1ωRm==J0rdr2πσR3rdJR思考球體、錐體繞軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量編輯課件[例]質(zhì)量為m,長度為L的均質(zhì)細桿的轉(zhuǎn)動慣量。dmdmdJ2=xLm=dxxdxL2=mJ00Lω112Lm22=xmLL0dx13Lm=2=JCxdxCAml2l2

編輯課件1.對同一軸J具有可疊加性Jmrziii=^?D2J=Ji?

2.平行軸定理Jmroiii==^?D2平行CdmJCJomOCr’iii+?D2()OCxJJmdc=+2

計算J的幾條規(guī)律編輯課件

3.對薄平板剛體的正交軸定理Jmrzii=^?D2

例：已知圓盤JmRz=122求對圓盤的一條直徑的Jx

（或J

y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=ìí?\==142即

JJJxy=+yrixzyiximi

Δyxz

RCmimxmyiiii=+??DD22編輯課件例.計算鐘擺的轉(zhuǎn)動慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為m，半徑為r，擺桿質(zhì)量也為m，長度為2r）ro解：擺桿轉(zhuǎn)動慣量：擺錘轉(zhuǎn)動慣量：編輯課件已知：R=0.2m，m=1kg，vo=0，

h=1.5m，繩輪無相對滑動，繩不可伸長，下落時間t=3s。求：輪對O軸J=？3.4轉(zhuǎn)動定律應用舉例

定軸O·Rthmv0=0繩αTG·RNmgT=-T′ma對輪：TRJ=(1),

對：mmgTma-=(2)

解：動力學關系：編輯課件運動學關系：=aR(3)hat=122(4)(1)~(4)聯(lián)立解得：JgthmR=-()2221=-

=(..)..9832151102114222kgm分析：單位對；1.、一定，，合理；2.hmJt-?-若，得，正確。30122.Jhgt==TRJ=(1)

mgTma-=(2)

編輯課件例：飛輪的質(zhì)量為60kg，直徑為0.50m，轉(zhuǎn)速為1000r／min，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動，求制動力F,假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)μ=0.4，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。Fωd閘瓦0.5m0.75m編輯課件=3.75kg.m20t=100060n×==π2ω0π2=104.7r/s5t==ω0fNFNfl1l2RJm2==60×(0.25)2

解：ω104.720.9r/s250t===ω0l1+=()Fl2Nl10=RJfm=NRl1=Fl1+l2mRJ=314Nm=NRJ編輯課件=J122mrTgm22=m2a1ma1TT2+m1TT2rr==1T1mgmmm12rTT12m2T22gmagm1T11maa=r[例]在圖示的裝置中求：

Ta,,,12滑輪可視作均質(zhì)圓盤。TJ編輯課件a2mmmmmg1212=++())(Tmg21122=22+()mmm1mm++g122=2T)(m1mm+++mmm222)mmmmg22211=++(()mr編輯課件[例]在圖示的裝置中，質(zhì)量為m和2m、半徑為r和2r的兩均勻圓盤，同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量9mr2/2，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端掛有一質(zhì)量為m的重物，求盤的角加速度大小。2rr2mmmmT1T2編輯課件

例：如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為m1與m2，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為J,半徑為r。（1）如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力T2與T2（設繩子與滑輪間無相對滑動）；（2）如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力T1與T2。m22T1Tm1編輯課件fm=Ngm2m=1T=ma1gm12T=ma2fa=r+=r2+m2mgm1m2J()r2++m1m2J1T+=r2+m1mgm2m1J()r2++m1m2J2TmNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm10N=gm2Jr=1T2Trr2++a=gm2mgm1m1m2J解得：解：(1)編輯課件gm1r2++m1m2Ja=+=r2gm1m2J()r2++m1m2J1T=gm2m1r2++m1m2J2T(2)m=0編輯課件ωω=（）θ）θLL22mg[例]一均質(zhì)細桿可繞一水平軸旋轉(zhuǎn)，開始時處于水平位置，然后讓它自由下落。求：MJ=J==M解：編輯課件Re例：質(zhì)量為m,半徑為R的均質(zhì)圓盤，初始時有0，盤與桌面間的摩擦系數(shù)為，問經(jīng)多長時間圓盤才停止轉(zhuǎn)動？此時圓盤轉(zhuǎn)過的角度?解：由

t考慮rr+dr環(huán)dM=rdfrdr

編輯課件例：弧形閘門更省力OR據(jù)試驗重心距絞鏈處為0.7R對O的總轉(zhuǎn)動慣量為設：弧形門葉以切向加速度at=0.1g轉(zhuǎn)動編輯課件如以同樣加速度提升同樣重量的平面閘門編輯課件一、力矩的功M=dθ對于恒力矩：功率:dAF==.dsFdscosardsFφdθ00a3.5定軸轉(zhuǎn)動中的功能關系

Fr=θdt編輯課件二、動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動力矩的功等于剛體動能的增量編輯課件三.定軸轉(zhuǎn)動的功能原理質(zhì)點系功能原理對剛體仍成立：W外+W內(nèi)非=（Ek2+Ep2）—（Ek1+Ep1）剛體重力勢能：Ep=mghc=mghii?Dmgmhmii=?D×ChchimiΔEp=0若dW外+dW內(nèi)非=0，

則Ek+Ep=常量。

編輯課件ωω=（）θ解：=Lmgθ12sinω2=A01J2ω=Lgθsin3）θLL22mg[例]一均質(zhì)細桿可繞一水平軸旋轉(zhuǎn)，開始時處于水平位置，然后讓它自由下落。求：d=θLmgθ0cos12θθ=dAM=θLmgMcos2編輯課件例.一質(zhì)量為M，半徑R的圓盤，盤上繞由細繩，一端掛有質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時，其速度為多大？mgmMm解：解得：T編輯課件例10.長為l的均質(zhì)細直桿OA，一端懸于O點鉛直下垂，如圖所示。一單擺也懸于O點，擺線長也為l，擺球質(zhì)量為m?，F(xiàn)將單擺拉到水平位置后由靜止釋放，擺球在A處與直桿作完全彈性碰撞后恰好靜止。試求：⑴細直桿的質(zhì)量M；⑵碰撞后細直桿擺動的最大角度。（忽略一切阻力）解

⑴按角動量守恒定律系統(tǒng)的動能守恒編輯課件解得系統(tǒng)的機械能守恒，有編輯課件例例：一脈沖星質(zhì)量為1.5×l030kg，半徑為20km。自旋轉(zhuǎn)速為2.1r/s，并且以1.0×10-15r/s的變化率減慢。問它的轉(zhuǎn)動動能以多大的變化率減小？如果這一變化率保持不變，這個脈沖星經(jīng)過多長時間就會停止自旋？設脈沖星可看作勻質(zhì)球體。πωERJkd52==tddtdω2ωdtdω解：=1.98×1025J/s=t=kEEkdtd2ωJ2Ekdtd=1.98×10251.05×1015s212.4×1038

×(4.2π)2×=編輯課件例：如圖，彈簧的勁度系數(shù)為k=2.0N/m，輪子的轉(zhuǎn)動慣量為0.5kg.m2

，輪子半徑r=30cm。當質(zhì)量為60kg的物體落下40cm時的速率是多大？假設開始時物體靜止而彈簧無伸長。編輯課件gxmk2+=xr2vJ22m2×60×9.8×0.4+=2×(0.4)2

600.5(0.3)2=7.18=v2.68m/s解：由功能定理ωgxmk221++xm221vJ221=若要求加速度（角加速度）如何進行運算？編輯課件O§3.6剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律對點：一、對軸的角動量r’irimiRiviLimi對O點的角動量為Li對于既有剛體又有質(zhì)點的系統(tǒng)編輯課件二、角動量原理質(zhì)點系的角動量原理mm12f1f2F1F2……..為質(zhì)點系的角動量原理等式左、右兩邊相加編輯課件二、角動量守恒

若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動，

當Mz=0時，Jconst.iziw=?2Lm2m1u例：設m1與m2作彈性碰撞，求碰后棒的角速度和小球的回彈速度v編輯課件2Lm2m1um1gNN’系統(tǒng)對軸角動量守恒：系統(tǒng)機械能守恒：聯(lián)立方程（1）、（2）求解可得編輯課件

[例]人和轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)J2rr10,rr12mmI0ω1求：雙臂收縮為初始轉(zhuǎn)速為的質(zhì)量,ωm動慣量為械能變?yōu)閱♀彆r的由角速度及機增量。編輯課件非保守內(nèi)力作正功，機械能增加rr12mmJ0ω1ωJ=1()0+212mrωJ=21(0+)ΔEk22222rmωJ1)10+2(2212rmωJJJ=20+(1(0002111++))221J＞22mmrr2rm22ωωJJ=0+)(11222(0+)2rm22mr由角動量守恒ωJ20+22)(rm2編輯課件

[例]一質(zhì)量為M長度為L的均質(zhì)細桿可繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動。開始時桿子處于鉛垂狀態(tài)。現(xiàn)有一質(zhì)量為m的橡皮泥以速度v

和桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。試求：1.碰撞后系統(tǒng)的角速度；2.碰撞后桿子能上擺的最大角度。）θLv4mM3L編輯課件碰撞過程角動量守恒,得：mv34L=mMωJJ)(+MM3JL2=1mm34JL2=)(mv4916ωLLL22==+133mML916+13mM4mvL3上擺過程機械能守恒，得：ωJ22()+1mJM=+θcos)(43mgL1=θmax3LθL4vmMcos2(MLθg1)M34916L222)(+1m4MLgg((3mm++119163M))mvarccos2編輯課件ωωJJ=1122ωJJ+12)(由角動量守恒得：ωωωJJJ=+12211J21ω+)(1JJ222+11122(JJ1ωω2222)J=++2((JJJ1ωω22))112＜01ωωω221JJ摩擦力矩作負功，有機械能損失。

[例]兩摩擦輪對接。若對接前兩輪的角ωωω12、速度;速度分別為2.對接過程中的機械能損失。求：1.對接后共同的角ΔEk=編輯課件aAOvl0Rω+=()aRJmvl20cos[]+m+()Rl例*：OA為一均質(zhì)木棒，R為一木球，兩者固定在一起，可繞水平的O軸轉(zhuǎn)動。它們對O軸總的轉(zhuǎn)動慣量為J，一子彈以角射入木球R，并嵌入在球心。求：子彈嵌入后，兩者共同的角速度。aω+()aRmvl0cosJ2+m+()Rl=解：由角動量守恒得編輯課件例*：在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤邊上，站一質(zhì)量為m的人。圓盤的半徑為，轉(zhuǎn)動慣量為J，角速度為ω。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動能的變化。ω編輯課件ω′+=J2RmωJEkΔ=Ek′Ek′=Δωω=ωω2RmJ21=J+J()2Rm2J2ω2=21J+J2Rm2()2Rm解：系統(tǒng)角動量守恒ω′+=J()2RmωJ(1)21=+J()2Rm2Jω2(2)21=Jω2Ek′′ω編輯課件[例]如圖示已知：M=2m，h，q=60°求：碰撞后瞬間盤的w0=？

P轉(zhuǎn)到x軸時盤的w=?a=?解：m下落：mghmv=122vghT=2(1)編輯課件碰撞t極小，對m