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文檔簡(jiǎn)介

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試卷A

(考試時(shí)間：90分鐘；考試形式：閉卷)

(注意：請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題專(zhuān)用紙上，并注明題號(hào)。答案填寫(xiě)在試卷利草稿紙上無(wú)效)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共20小題,每小題2分，共40分)

1、A,B為二事件，則AUB=()

AsABB、ABC、ABD、A\JB

2、設(shè)A,B,C表示三個(gè)事件，則]片己表示()

A、A,B,C中有一個(gè)發(fā)生

B、A,B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生

C、A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生D、A,B,C都不發(fā)生

3、A、B為兩事件，若尸(AU8)=0.8,P(4)=0.2,尸(8)=0.4,

則()成立

A、P(A8)=0.32B、P(五)=0.2

C、P(B—4)=04D、P(BA)=0.48

4、設(shè)A,B為任二事件,則(

A、P(A-B)=P(A)-P(B)B、P(AU3)=P(A)+P(B)

C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(A)=P(AB)+P(AB)

5、設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

A、A與否獨(dú)立B、A與8獨(dú)立

C、尸(A8)=P(A)P(B)D、A與B一定互斥

6,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X012

p0.30.50.2其分布函數(shù)為F(x),則尸(3)=(

A、0B,0.3C、0.8D、1

ex4,XG[0,1]

7、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為/(%)=<一、，則常數(shù)c=

0,其它

1

A

B>4-C、4D、5

8、設(shè)X?N(O,1),密度函數(shù)以外=了=62,則夕(x)的最大值是()

A、0B、

9、設(shè)隨機(jī)變量X可取無(wú)窮多個(gè)值0,1,2,其概率分布為p(k;3)=—e-3,k=0,1,2,…，則下式成立的是

A、EX=DX=3B、EX=DX

3

C、EX=3,DX=-D、EX=-,DX=9

33

10、設(shè)X服從二項(xiàng)分布B(n,p),則有()

A、E(2X—l)=2npB、O(2X+1)=4〃p(l-p)+1

C、￡(2X+l)=4np+lD、O(2X-1)=4叩(1一p)

11、獨(dú)立隨機(jī)變量X,y,若X?N(l,4),丫?N(3,16),下式中不成立的是()

A、E(X+y)=4B、E(xy)=3C、D(X-Y)=\2D、E(Y+2)=16

X123

p1/2c1/4

11

A、0B、1C、一D、一一

13、設(shè)X?N(0,l),又常數(shù)c滿足尸{X2c}=P{X<c},則c等于(

14、已知EX=-1,DX=3，則E13(X2-2)]=()

As9B、6C、30D、36

15、當(dāng)X服從()分布時(shí)，EX=DX。

A、指數(shù)B、泊松C、正態(tài)D、均勻

16、下列結(jié)論中，()不是隨機(jī)變量X與丫不相關(guān)的充要條件。

A、￡(%/)=￡(%)￡(7)B、D(X+Y)^DX+DY

c、cov(x,y)=oD、x與y相互獨(dú)立

17、設(shè)X?伏〃,p)且EX=6,￡>X=3.6,則有(

A、n=10,p=0.6B、n=20,p—0,3

C、n=15,p—0.4D、n=12,p—0.5

18、設(shè)p(x,y),p式x),p〃(y)分別是二維隨機(jī)變量(乙〃)的聯(lián)合密度函數(shù)及邊緣密度函數(shù),則()是看與

〃獨(dú)立的充要條件。

A、￡《+〃)=段+助B、0代+")="+077

C、4與〃不相關(guān)D、對(duì)Vx,y,有p(x,y)=Pg(x)p,7(y)

19、設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，則x與y獨(dú)立的充要條件是()

A、E(XY)=EXEyB、D(X+Y)=DX+DYC、X與丫不相關(guān)

D、對(duì)(x,y)的任何可能取值(%,.,力)號(hào)=4Pj

20、設(shè)(X,y)的聯(lián)合密度為p(x,y)=.J其它，

若F(x,y)為分布函數(shù)，則/(0.5,2)=()

11

A、0B、一C、一D、1

42

二、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題7分，共42分)

1,若事件A與B相互獨(dú)立，P(A)=0.8P(B)=0.6。求：P(A+B)P{A\(A+B)}

2、設(shè)隨機(jī)變量XN(2,4),且①(1.65)=0.95。求P(XN5.3)

0,x<0

x

3、已知連續(xù)型隨機(jī)變量自的分布函數(shù)為尸(x)=<士，0<x44,求E4和DQ

4

1,

4、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=A+Barcfgx-oo<x<+oo

求：(1)常數(shù)A和B；

(2)X落入(-1,1)的概率；

(3)X的密度函數(shù)/(x)

2

5、某射手有3發(fā)子彈，射一次命中的概率為*,如果命中了就停止射擊,

3

否則一直獨(dú)立射到子彈用盡。

求(1)耗用子彈數(shù)X的分布列；(2)EX(3)DX

4xy,Qjxl<

6、設(shè)（孑，〃）的聯(lián)合密度為p（x,y）=?

0,其它

求（1）邊際密度函數(shù)pKx）,p〃（y）；（2）E,Eq；（3）J與〃是否獨(dú)立

三、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

1、設(shè)X1,X2是來(lái)自正態(tài)總體N（〃，l）的樣本，下列

三個(gè)估計(jì)量是不是參數(shù)〃的無(wú)偏估計(jì)量，若是無(wú)偏

估計(jì)量，試判斷哪一個(gè)較優(yōu)？

211311

^-X,+-X.,/J,^-X.+-X,〃|=_X1+_X,。

2、設(shè)J?/（陽(yáng)。）=<—。C‘°r>0（?！?）為J的一組觀察值，求，的極大似然估計(jì)。

0其它

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分）

題號(hào)12345678910

答案BDCDDDDCAD

題號(hào)11121314151617181920

答案CCBBBDCDDB

二、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題7分，共42分）

1、解：:A與B相互獨(dú)立

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).....(1分)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B).....(1分)

=0.8+0.6—0)85

=0.92.....(1分)

又產(chǎn)(司A+8)=生如型.....(1分)

1P(A+B)

P(AB)P(A)P(B)?、、

=---------=...........(2分)

P(A+B)尸(A+8)

=0.13.....(1分)

2、解：P(X25.3)=1—①.....(5分)

=1-0(1.65)=1-0.95=0.05.....(2分)

3、解：由已知有JU（0,4）.....（3分）

貝ji：E&=^^=2............（2分）

2

4、解：（1）由尸（一8）=0,尸（+8）=1

A——7t8=0

有：＜2

A+-B=\

2

解之有：A=-,B=-（3分）

271

(2)P(-l<X<1)=F(l)-F(-l)=-....(2分)

2

(3)/(x)=F(x)=式.....(2分)

》(J1+廣)

322113

(2)EX=Vxp=lx—+2x—+3x—=—（2分）

tT3999

(3)EX2=Xx2p.=l2x-+22x-+32xl=—

3999

2

.QYrv2/Z7V\23J3238.....

..DA—EX—(EX)----(—)=.....(2分)

9981

6、解：⑴:p4(x)=「p(x,y)dy=^^xydy=2x

2x,D<x<

；")=0,其它

2y,D<y<

同理：p?（x）=（3分）

0,其它

(2)E4=「xpUx)dx=￡lx1dx=:

同理：Er/=—（2分）

3

⑶：p(x,y)=p：(x)p，7(y)

§與〃獨(dú)立（2分）

三、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

21

1、解：：E〃產(chǎn)%乂|+產(chǎn)）=〃

同理：E〃2=E〃3=〃

為參數(shù)〃的無(wú)偏估計(jì)量.....（3分）

2141

OX=，2

3-3-9-9-2

9

1O2

A22

同

以

2---以=1b

S-164

且￡)〃3<

，〃3較優(yōu)（6分）

2、解：X1,X2，...,x,的似然函數(shù)為:

班.....（3分）

〃]-土

01

L(Xl,x2,...,xn,0)=Y[-e=-

1n

Ln{L)=-n\n0——，王

0i=\

喏H+號(hào)=。

ZS1?——

解之有：（6分）

o=-yXi=x

n/=i

一、（共30分，每題5分）

1、設(shè)事件A與3相互獨(dú)立，P(A)=0.5,P(AUB)=0.8,

求尸（4豆）.

解：因?yàn)槭录嗀與3相互獨(dú)立，所以

P(AB)=P(A)P(B)

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)........2分

由尸(A)=0.5,尸(AU6)=0.8,得P(5)=0.6........2分

P(AB)=P(A)P(B)=0.2........1分

2、三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，他們譯出的概率分別為

534

求能將此密碼譯出的概率.

1113

解：P==-……5分

3、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X-1012

P0.1250.250.250.375

求y=x2+i的分布律，并計(jì)算p（i〈x<3）.

Y125

P0.250.3750.375

.....…3分

P(1<X<3)=0.625............2分

4、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為；I的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1求;I.

解：E(X)=O(X)=4,2分

E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)2分

=D(X)+[E(X)]2-3E(X)+2=1.........

所以；12-24+1=0,得；1=1..........1分

5、為檢查某食用動(dòng)物含某種重金屬的水平，假設(shè)重金屬的水平服從正態(tài)分布

X?■均未知，現(xiàn)抽取容量為25的一個(gè)樣本，測(cè)得樣本均值為186,樣

本標(biāo)準(zhǔn)差為10,求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間.

解：總體均值〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為

(X土*0.025(〃-1)).............2分

即(186±—x2.0639).........2分

5

所求置信區(qū)間為(181.8722,190.1278).........1分

6、某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖.包得的袋裝糖重量X~N(〃,b2),當(dāng)機(jī)器正常

時(shí)，其均值〃=0.5公斤，標(biāo)準(zhǔn)差b=0.015公斤.某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常，

隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋，稱得平均重量為0.511公斤，問(wèn)這天包裝機(jī)工作是否

正常？(取顯著水平a=0.05)

解：由題意設(shè)Ho：〃=O.5;Hi：〃/O.5.............1分

拒絕域?yàn)镮"一封INNo025.....................1分

byIn

上工3-0.5-0.511-0.5?…,人

由于高而0.015/西'Z"025=L96,............2%

即2.2>1.96,拒絕原假設(shè)，認(rèn)為這天包裝機(jī)工作不正常.........1分

二、供18分，每題6分)

1、設(shè)隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立，概率密度分別為

2e~2xx>0,y>o,

.u，x<0.j<o.

求:(1)E(2X-3Y);(2)D(2X-3Y);(3)pXY.

解：(1)E(2X-3y)=2E(X)-3E(V)=2xL3xLo；....2分

23

(2)D(2X-3F)=4D(X)+9D(K)=4x-+9x-=2;....2分

必(3)因?yàn)榱縓和y相互獨(dú)立，所以夕XY=0?…2分

eq

喉

2、已知隨機(jī)變量X?N(1,25),V?N(2,36),pXY=0.4,

求：U=3X+2Y與V=X-3V的協(xié)方差.

曲解:Cov(U,V)=Cov(3X+2Y,X-3F)

=30(X)-9Cov(X,Y)+2Cov(X,Y)~60(7)....3分

=30(X)-7PxyJD(X)加面-6D(Y)

=3x25-7x0.4x5x6-6x36=-225....3分

型3、設(shè)占,萬(wàn)2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(O,1)的一個(gè)樣本，且已知隨

機(jī)變量Y=“(E匕f+。X］尸服從自由度為2的/分布，

1=11=5

求G,辦的值.

解：因?yàn)閄j?N(O,1)且相互獨(dú)立，i=l,2,…,13.

413

所以，EX,?N(0,4),fXj?N(0,9)，….2分

<=11=5

-fX,.-N(O,1)?翼.?N(O,1)?且相互獨(dú)立...2分

2i=i3i=5

由/分布的定義，得(聶占尸+(aXJ??/⑵，

21=131=5

三、共18分，每題6分)

1、設(shè)總體X?N(52,6?),現(xiàn)隨機(jī)抽取容量為36的一個(gè)樣本，求樣本均值修薄<(50.8,

53.8)之間的概率.

解：京?N(52,l),……..2分

產(chǎn){50.8<X<53.8}=①(53.8-52)-0(50.8-52)

=0(1.8)-O(-1.2)=0.9641-1+0.8849....3分

=0.849.............1分

Aex,x<0,

2、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=^B,0<x<1,

x>l.

求：(1)A,5的值；(2)P{*>g}.

解：(1)由連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的連續(xù)性，得

limF(x)=F(0),limF(x)=F(l),

x->o_x->r

A=B

即1解得A=3=0.5.............3分

B=l-A

(2)P{X>i}=l-F(i)=l-0.5=0.5............3分

黃

2個(gè)

紅球，

裝1個(gè)

號(hào)袋中

個(gè).一

號(hào)袋2

個(gè)，二

號(hào)袋1

有一

子中

3、箱

，從中

取一袋

子中任

今從箱

黃球，

，1個(gè)

個(gè)紅球

裝2

袋中

二號(hào)

球，

率.

的概

取得

袋中

一號(hào)

是從

紅球

這個(gè)

球，求

果為紅

球，結(jié)

任取一

1,2

｝，，=

號(hào)袋

取到i

子中

｛從箱

設(shè)4=

解：

球｝

的是紅

｛抽出

網(wǎng)3=

E

)

(B\A

(A)P

)+P

(BI4

(4)P

=P

P(B)

.2分

......

......

2

嫩2

.1分

......

......

J

⑻A)

陽(yáng))尸

2尸

")=

脂P(A

3分

......

觸......

)'

IA,.

)P(B

(A,.

￡

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