高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：函數(shù)綜合問題

高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：函數(shù)中的綜合問題

函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣.本節(jié)課主要幫

助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的

思維和創(chuàng)新能力.

?難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)設(shè)函數(shù)%)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)尤、y都有/(x+y)三當(dāng)x>0時(shí)/)<0且式3)=-4.

(1)求證：/(x)為奇函數(shù)；

(2)在區(qū)間[-9,9]上，求段)的最值.

?案例探究

[例門設(shè)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱,對(duì)任意X]、X2d[0,；],都有/(X|+X2)H(X|)f(x2),

且八1)=?>0.

(1)求人:)、.八。)；

(2)證明式x)是周期函數(shù)；

⑶記a“三六"+3),求iim(lna?).

2n,18

命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏

輯思維能力.

知識(shí)依托：認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件7UI+X2)$XD?人名)找到問題的突破口.

錯(cuò)解分析：不會(huì)利用大xi+x》43)?人M)進(jìn)行合理變形.

技巧與方法：由的+應(yīng))或⑴??)變形為/。)=嗎+卞=抬)?嗎)?嗎)是解決問題的關(guān)鍵.

(1)解：因?yàn)閷?duì)xgC[0,g],都有於I+M)或q)??),所以/)=嗎+/=嗎)》0,

xG[0,1]

又因?yàn)?/(()="(!)]2

22222

人:)$?+?)5?人,)="(9)]2

244444

又川)=。>0

1111

?'-A-)=a2-)=?4

(2)證明：依題意設(shè)y=4x)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故+l—X),即—尤)jGR.

又由/(x)是偶函數(shù)知J(-x)^(x)jGR

一X)/2—X)xWR.

將上式中一x以x代換得/(X)4(X+2)，這表明;U)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)

周期.

(3)解:由⑴知小)203丘[0,1]

,■'A*4)三八3+(”-D

22n2n

=—?時(shí))

2n

="(I)]"=>

1—

?*?/(—)=?~〃.

2n

又,?魂幻的一個(gè)周期是2

11±

???人2〃+—)手—)，因此a=a2〃

2n2nn

-lim(lna?)=lim(—lna)=O.

/Too/l->co2〃

[例2]甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的

運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度i，(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為2固定部

分為a元.

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

命題意圖：本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質(zhì)、最值等知識(shí)，還考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)

際問題的能力.

知識(shí)依托：運(yùn)用建模、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法.

錯(cuò)解分析：不會(huì)將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)問題，易忽略對(duì)參變量的限制條件.

技巧與方法：四步法：(1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評(píng)價(jià).

解法一：⑴依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為L(zhǎng)全程運(yùn)輸成本為)，=。?-+^2--=5(-+/7V)

VVVV

...所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=S(-+bv),ve(O,c].

V

(2)依題意知，S、a、b、口均為正數(shù)

：.S{-+hv)^2s4ab①

當(dāng)且僅當(dāng)人=加,即9時(shí)，①式中等號(hào)成立.若19Wc則當(dāng)v—R時(shí)，有

vVbVbVb

若>。廁當(dāng)v￡(O,c]時(shí)，有S(3+/?v)—5(—+bc)

Vbvc

=S[(———)+(bv—bc)~\=—(c—v)(a-bcv)

vcvc

丁c—u20,且c>hc2,/.a—hcv'〃一be?〉。

?\S(—+bv)^S(—+〃c),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)v=c時(shí),有ymin；

vc

綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y勒、，當(dāng)乎Wc時(shí)，行駛速度應(yīng)為v=中，當(dāng)牛>。時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c.

解法二：(1)同解法一.

(2)：函數(shù)y=x+4僅>0)/6(0,+8),當(dāng)在(0,4)時(shí)，丫單調(diào)減小，當(dāng)xW(?,+8)時(shí)y單調(diào)增加，當(dāng)x=JT時(shí)

X

a

y取得最小值，而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為y=S/，(v+2),ve(0,c].

V

當(dāng)怖Wc時(shí)，則當(dāng)時(shí)，y最小，若聆〉c時(shí)，則當(dāng)v=c時(shí)，y最小.結(jié)論同上.

?錦囊妙計(jì)

在解決函數(shù)綜合問題時(shí)，要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸

為基本問題來解決，尤其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用.綜合問題的求解往往需要應(yīng)

用多種知識(shí)和技能.因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題

目中的隱含條件.

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)函數(shù)產(chǎn)x+a與y=lo&x的圖象可能是()

2.(*****)定義在區(qū)間(-8,+8)的奇函數(shù)〃)為增函數(shù)，偶函數(shù)8(*)在區(qū)間[0,+8)的圖象與/(x)的圖象重

合，設(shè)°>6>0,給出下列不等式：

其中成立的是()

A.①與④B.②與③C.①與③D.②與④

二、填空題

3.(****)若關(guān)于x的方程22*+2%+。+1=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題

4.(★★★★)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(xAf+Lr—al+l/dR.

(1)討論/(x)的奇偶性；

⑵求危)的最小值.

11—Y

5.(*****)設(shè)?()=----+1g----.

x+11+x

(1)證明：/U)在其定義域上的單調(diào)性；

(2)證明：方程r(x)=0有惟一解；

(3)解不等式/[x(x——)]<—.

22

&(★★★★★淀義在(-1,1)上的函數(shù)/)滿足①對(duì)任意x、>￡(—1,1),都有/)廿。)不里上)亳當(dāng)x€(-

1+xy

i,o)時(shí)，有/w>o.

!——)>

求證:公)+*)+???+”

〃/+3〃+1

7.(*****)某工廠擬建一座平面圖(如下圖)為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池，由于地形限

制，長(zhǎng)、寬都不能超過16米，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池

底建造單價(jià)為每平方米80元(池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋).

(1)寫出總造價(jià)y(元)與污水處理池長(zhǎng)x(米)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域.

(2)求污水處理池的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求最低總造價(jià).

2

8.(*****)已知函數(shù)兀0在(-8,0)u(O,+8)上有定義，且在(0,+8)上是增函數(shù)，/(1)=0,又8(^)=sin0-

■JT

機(jī)cos。-2m,eG[0，E],設(shè)股={〃?以0)<O,m^R},N={m]f[g(?)]<0},求MClN.

［學(xué)法指導(dǎo)］怎樣學(xué)好函數(shù)

學(xué)習(xí)函數(shù)要重點(diǎn)解決好四個(gè)問題：準(zhǔn)確深刻地理解函數(shù)的有關(guān)概念；揭示并認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在

聯(lián)系；把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法；認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).

(一)準(zhǔn)確、深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念

概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，函數(shù)概念貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終.數(shù)、式、方程、

函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等是以函數(shù)為中心的代數(shù).近十年來，高考試題中始終貫穿著函數(shù)及其性質(zhì)這條主線.

(二)揭示并認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，是變量數(shù)學(xué)的基

礎(chǔ)，利用函數(shù)觀點(diǎn)可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列、曲線與方程等內(nèi)容.在利用函數(shù)和方程的思

想進(jìn)行思維中，動(dòng)與靜、變量與常量如此生動(dòng)的辯證統(tǒng)一，函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式.

所謂函數(shù)觀點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是將問題放到動(dòng)態(tài)背景上去加以考慮.高考試題涉及5個(gè)方面：(1)原始意義上的函數(shù)問題；

(2)方程、不等式作為函數(shù)性質(zhì)解決；(3)數(shù)列作為特殊的函數(shù)成為高考熱點(diǎn)；(4)輔助函數(shù)法；(5)集合與映射，作

為基本語言和工具出現(xiàn)在試題中.

(三)把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法

函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇

偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地

觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換.

(四)認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)

函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)就是用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系，求得問題的解決.

縱觀近兒年高考題，考查函數(shù)思想方法尤其是應(yīng)用題力度加大，因此一定要認(rèn)識(shí)函數(shù)思想實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).

參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

(1)證明：令x=y=O,得40)=0

令y=—X,得—X),即X-,r)=-/(X)

是奇函數(shù)

(2)解：1°,任取實(shí)數(shù)X1、X2GE-9,9］且X|〈X2,這時(shí)，X2—Xl>0以Xi)—/(X2)=/［(X1—X2)+X21—/(X2)=i/(X1一必)±/3)

因?yàn)锳>0時(shí)段)V0,.7/(Xi)-/(X2)>0

二—)在［-9,9］上是減函數(shù)

故大X)的最大值為八-9),最小值為19).

而大9)刁(3+3+3)=浜3)=—12次-9)=一式9)=12.

???Ax)在區(qū)間［—9,9］上的最大值為12,最小值為一12.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：分類討論當(dāng)。>1時(shí)和當(dāng)0<aVl時(shí).

答案：C

2.解析：用特值法，根據(jù)題意，可設(shè)/(x)=x,g(x)=W,又設(shè)a=2/=1,

則f^a)=a,g(a)=\a\^(b)=b,g(b)=\b\^a)—fib)=f(2)—fi-1)=2+1=3.

g(b)—g(-a)=g(l)-g(—2)=1-2=-1/(—b)>g(l)-g(—2)=1—2=—1.

又大勿一4-a)/1)—A—2)=1+2=3.

g(a)—g(-b)=g(2)-g(1)=2—1=1,.\Xb)一/(—a)=g(a)—g(—b).

即①與③成立.

答案：C

二、3.解析：設(shè)2'=>0,則原方程可變?yōu)閠2+at+a+\=O①

2

A=a-4(a+l)>0

方程①有兩個(gè)正實(shí)根，則F+f2=-a>0

f1?=Q+1>0

解得:<2^(—1,2—2A/2].

答案：(一L2—2V2］

三、4.解:(1)當(dāng)67=0時(shí)，函數(shù)與一力=(一4+1—川+1或0,此時(shí)於)為偶函數(shù);當(dāng)時(shí),f(a)=a2+i/(~

Q)=〃2+2|〃|+i?-a)W/)人一〃)W一放).此時(shí)函數(shù)於)既不是奇函數(shù)也不是偶

函數(shù).

1a1

(2)①當(dāng)xWa時(shí)，函數(shù)式式)=，2—；(：+“+1=。一一)2+“+_,若“乏一廁函數(shù)/(>)在(-8,4］上單調(diào)遞減，從而，函

242

數(shù)/(x)在(一8,〃］上的最小值為八°)=02+1.

II31

若,則函數(shù)段)在(-8,4］上的最小值為人—)=—+〃,且A—)q(a).

2242

iai

②當(dāng)x2a0寸，函數(shù)?x)=x2+x—a+l=(x+—)2—&+—;當(dāng)“W——時(shí)，則函數(shù)_/(x)在［。,+8)上的最小值為八一

242

1311

一且八一一)勺(a).若。>一一,則函數(shù)/(X)在［a,+8)上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)及0在［a,+8］上的最小

2422

值為刎=冉1.

綜上，當(dāng)。忘一工時(shí)，函數(shù)y(x)的最小值是3一%當(dāng)一_L〈awL時(shí)，函數(shù)Ax)的最小值是不+i；當(dāng)■時(shí)，

24222

3

函數(shù)?r)的最小值是a+—.

4

1—x0

5.(1)證明：由得大犬)的定義域?yàn)?-1,1),易判斷共外在(一1,1)內(nèi)是減函數(shù).

x+2w0

(2)證明：???八0)=4,.\/'7(_1)=0,即4_1是方程/-匕)=0的一個(gè)解.若方程fT(x)=0還有另一個(gè)解刈力則/

2222

T(xo)=O,由反函數(shù)的定義知的)=x0wg,與已知矛盾，故方程廣匕)=0有惟一解.

(3)解：/U(x—l)］<_1,即/［x(x__L)］yo).

222

-1<X(X-1)<1［—而"A

<=------<x<0或_<%<-------.

/1、八424

x(x——)>0

12

6.瞅：對(duì)於)止上)中的x,y,令x=v=O,得大0)=0,再令尸一x,又得汽x)t/(一外40)=0,即次一x)=r(x),.?.火x)

l+xy

在工￡(—1,1)上是奇函數(shù)設(shè)一1<xiVx2Vo，則加6—怨2)邦1訊一X2)=f(———),V—1Vx2V0,Ax|—x2<0,l—

1-^2

1一/<0,于是由②知人之二五)>0,從而於1)一/2)>0,即危|)/X2),故Ax)在XC(-1,O)上是單調(diào)遞

l-XjX21-x}x2

減函數(shù).根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知/U)在xw(0」)上仍是遞減函數(shù)，且/a)vo.

???/(—--)=/[-~...]=/I--1)(,p2)-l

n+3?+1(〃+1)(及+2)—1j_1

(n+1)(〃+2)

1__1_

=f(中照早一)=/('7(」)

i11n+171+2

1-------------

H4-1〃+2

?'-/(l)+/(n)+-+/(^7T)

="(；)+"(；)-心+.??+"(！)-〃*)]="》一"*),

???o<—<i時(shí)而(工)<o,

n+2n+2

-A—二)>足),故原結(jié)論成立.

2n+22

7.解：(1)因污水處理水池的長(zhǎng)為x米，則寬為剪米，總造價(jià)y=400(2r+2X—)+248X—X2+80X

xxX

324

200=800(x+—)+1600,由題設(shè)條件

x

0<x<16,

■200解得12.