大學(xué)文科數(shù)學(xué)-線性代數(shù)預(yù)備知識(shí)

第4章線性代數(shù)初步第1講大學(xué)文科數(shù)學(xué)（）主講教師|預(yù)備知識(shí)2本節(jié)內(nèi)容01向量02矩陣03連加號(hào)""301向量二元一次方程三元一次方程一元一次方程401向量這個(gè)方程組包含個(gè)方程與個(gè)未知量。501向量??定義4.1由個(gè)數(shù)組成地有序數(shù)組稱為一個(gè)維向量,稱為向量地第個(gè)分量。維行向量維列向量用等表示列向量用等表示行向量601向量??定義4.2定義負(fù)向量與減法運(yùn)算:與數(shù)量乘積（數(shù)乘）對(duì)于兩個(gè)維列向量,以及數(shù),定義當(dāng)且僅當(dāng)701向量??定義4.3設(shè)均是維向量是個(gè)數(shù),稱向量為向量組地一個(gè)線性組合,稱為這個(gè)線性組合地系數(shù)。對(duì)于維向量,若存在數(shù),使則稱向量可用向量組線性表示。8本節(jié)內(nèi)容01向量02矩陣03連加號(hào)""902矩陣考慮線性方程組1002矩陣??定義4.4由個(gè)數(shù)成地行列矩形數(shù)表,在左右兩側(cè)加上括號(hào),即1102矩陣稱為一個(gè)矩陣。數(shù)稱為矩陣地元素,為行指標(biāo),為列指標(biāo)。元素也稱為矩陣地元。通常用大寫字母等來(lái)表示矩陣。1202矩陣??定義4.5設(shè)都是矩陣,且對(duì)應(yīng)元素相等,即則稱矩陣與相等,記作零矩陣:元素全為零,記作行矩陣:矩陣,即行向量列矩陣:矩陣,即列向量1302矩陣方陣:行數(shù)等于列數(shù)地矩陣,即主對(duì)角線次對(duì)角線主對(duì)角線地元素稱為方陣地主對(duì)角線元素,簡(jiǎn)稱主對(duì)角元。1402矩陣特殊方陣主對(duì)角線以外地元素全為零地方陣稱為對(duì)角矩陣,記作diag()。1502矩陣主對(duì)角線元素都相同地對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣。主對(duì)角線元素全為1地對(duì)角矩陣稱為單位矩陣,記作或。1602矩陣主對(duì)角線以下地元素全為零地方陣稱為上三角矩陣。類似地,主對(duì)角線以上地元素全為零地方陣稱為下三角矩陣。1702矩陣??定義4.6對(duì)矩陣施行以下三種變換稱為矩陣地初等行變換。(1)互換第行與第行地位置,記作;(2)用非零數(shù)乘第行地所有元素,記作;(3)把第行所有元素地倍加到第行對(duì)應(yīng)元素上去,記作.類似地,可以定義矩陣地初等列變換。矩陣地初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱矩陣地初等變換。1802矩陣考慮矩陣零行非零行觀察上述矩陣還有什么特點(diǎn)？主元位置零行位置非零行地第一個(gè)非零元素稱為主元。1902矩陣階梯線:線地下方全為零;每層只有一行;層數(shù)即非零行數(shù)。??定義4.7若非零矩陣,滿足(1)地下一行地主元在上一行主元地右邊;(2)若有零行,則所有地零行均位于非零行地下方,則稱該矩陣為行階梯形矩陣。20??例1下列矩陣是不是行階梯形矩陣02矩陣21??例2解利用初等行變換把下列矩陣化為行階梯形矩陣02矩陣22??例3解利用初等行變換把矩陣先化為行階梯形矩陣,再進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣.02矩陣23行階梯形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣02矩陣2402矩陣若行階梯形矩陣,滿足(1)地每個(gè)非零行地主元全是1;(2)主元1所在地列地其余元素全為零,則稱該矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣。2502矩陣任一非零矩陣總可以經(jīng)過(guò)若干次初等行變換化為行階梯形矩陣,進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣。行階梯形矩陣不是唯一地,但行最簡(jiǎn)形矩陣是唯一地。??定義4.8設(shè)非零矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化為行階梯形矩陣,稱非零行地個(gè)數(shù)為矩陣地秩,記作。26??例4解02矩陣計(jì)算例1矩陣地秩因此矩陣地秩是3.27本節(jié)內(nèi)容01向量02矩陣03連加號(hào)""2803連加號(hào)""考慮若干個(gè)數(shù)連加稱為連加號(hào),稱為一般項(xiàng)。注意:稱為求與指標(biāo),用什么字母是任意地。