高中數(shù)學(xué)解析幾何（橢圓）必考點(diǎn)-詳細(xì)證明

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高中數(shù)學(xué)解析幾何（橢圓）必考點(diǎn)-詳細(xì)證明

橢圓二級結(jié)論大全

（證明附后）

1.|尸耳|+|正用=2”

2.標(biāo)準(zhǔn)方程:+<=1

a2b-

3l_>l=e<i

4

4.點(diǎn)P處的切線PT平分WF1F2在點(diǎn)P處的外角.

5.PT平分WF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上

的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)

端點(diǎn).

6.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.7.以

焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.

8.設(shè)Ai、A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則WF1F2在邊PF2（或

PFi）上的旁切圓,必與A1A2所在的直線切于A2（或Ai）.

22

9.橢圓一■+右?=1（a>b>0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為

ab~

4（-凡0），4（凡0）,與y軸平行的直線交橢圓于Pl、P2時(shí)

AiPi與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是1-=L

優(yōu)6

22

10.若《（X。,/）在橢圓點(diǎn)■+點(diǎn)■=［上，則過用的橢圓的

切線方程是辮+哭=1.

crb2

22

11.若巴（飛,乂）在橢圓。+￡=1外，則過P。作橢圓

的兩條切線切點(diǎn)為Pl、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是

xx

o,yoy_i

/b2~,

22

12.AB是橢圓三+9=1的不平行于對硒由的弦，M為

b2

AB的中點(diǎn)，則心/心方=

a2

22

13.若々(%,九)在橢圓「+2=1內(nèi)，則被P。所平分

a

22

的中點(diǎn)弦的方程是考+岑=2+3,

cTb"ab“

14.若乙(%,%)在橢圓二+與=1內(nèi)，則過Po的弦中

ab

22

點(diǎn)的軌跡方程是=+2=誓+鬟.

a3ao

22

15.若PQ是橢圓二+==1(a>b>0)上對中心張直

a甘

1111

角的弦，則

b2

22

?X-

16.若橢圓+與=1(a>b>0)上中心張直角的弦L

~a2b

所在直線方程為小+為=1(48。0)，則⑴

11〃2C2=r2JZ不工商

馬+巧⑵L=

/b2

2222

17.給定橢圓G:Z>x+?y=aZ>(a>b>0),C2:

22

2222-b

bx+ay=(^則(i)對G上任意給定的點(diǎn)

a+b2

產(chǎn)(飛Jo)，它的任一直角弦必須經(jīng)過02上一定點(diǎn)

22

M^-6/一從

(ii)對。2上任一點(diǎn)尸(g',%)在G上存在唯一的點(diǎn)A/',使

得A/的直角弦都經(jīng)過P'點(diǎn).

22

18.設(shè)戶(%,%)為橢圓(或圓)C:二+J=1(a>0?b

cTb

>0)上一點(diǎn),P1P2為曲線C的動(dòng)弦，且弦PP1,PP2斜率存在,

記為ki,k2,則直線P1P2通過定點(diǎn)%)(相。1)

1+mb°

的充耍條件是乙也=

1—772a2

22

19.過橢圓三+二=1(a>0,b>0)上『點(diǎn)

ab

任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線

BC有定向且上BC=M(常數(shù))?

a乂

22

20橢圓工+二=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,

a"b"

點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)5PF]=/，則橢圓的焦點(diǎn)三角形

的面積為SA6M=從tan：,

P(±—Jc2-b2tan2—,±-tan—).

c'f2c2

21.若P為橢圓二+二=1(a>b>0)上異于長軸端點(diǎn)

ab

的任一點(diǎn),Fi,F2是焦點(diǎn)，4FE=a,N"a=/?,則

a—caB

----=tan—tan—.

a+c22

22

22.橢圓J+J=l(a>b>0)的焦半徑公式：

o

\MFV\=a+exQ,\MFz\=a-exQ(Fx[-c,0),8(c,0),

“(?Wo)).

23.若橢圓:+1=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

Fi、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)

忘時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得Ph是P到

對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).

22

24.P為橢圓乂+匚=1(a>b>0)上點(diǎn),F/2為二

aD

焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則

2“一|盟兇|+1產(chǎn)片區(qū)2?+1AF21,當(dāng)且僅當(dāng)AF2,P

三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立.

22

25.橢圓二+匚=1(a>b>0)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線/:

ab

y=k(x-x0)對稱的充要條件是與2<4一.

a+bk

26.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑

的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.

27.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),

則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.

X=67COS69

28.P是橢圓一(a>b>0)上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對

y=bsm(p

橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是/=一一.

1+sin"(p

X2y2

29.設(shè)A,B為橢圓)+—=以后>0#工1)上兩點(diǎn)，其直

ah

X2y2

線AB與橢圓二+丁=1相交于RQ,則4P=6Q.

ab

22

30.在橢圓匚+匚=1中，定長為2m(o<mwa)的弦

中點(diǎn)軌跡方程為

m1=1-+p-)J(a2cos2a+b2sin2a),其中

bx

taila=—，當(dāng)y=0時(shí)，?=90.

<^y

22

31.設(shè)S為橢圓J+J=l(a>b>0)的通徑，定長線

a~b~

段L的兩端點(diǎn)A,B在橢圓上移動(dòng)，記|AB|=/，兒((X。,％)是

AB中點(diǎn)，則當(dāng)①S時(shí)，有

2j

(Xo)E=---丁=--%e=￡);當(dāng)/〈①S時(shí)，有

c2ea

X

(Q)x=M而口Go)min=O-

2b

32.橢圓二+二=1與直線否+珍+C=0有公共點(diǎn)的

ab

充要條件是力

33.橢圓任二￡■+9襲21=1與直線

ao

Ax+By+C=。有公共點(diǎn)的充要條件是

2222

A^a+Bb>{Ax0+By0+C).

22

34.設(shè)橢圓J+二=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、F3P

ab

(異于長軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在APFIF2中，記

“PF2=a,々/"；=力，4乙尸=7,則有

sinac

----------------=—=e.

sin0+sin/a

35.經(jīng)過橢圓b2x2+?2/=a2b2(a>b>0)的長軸的兩

端點(diǎn)Ai和A2的切線，與橢圓上彳壬一點(diǎn)的切線相交于Pi和

P2,則1441?124\=b2.

22

36.已知橢圓二+右=1(2>6>0),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，「、

aD

Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且。尸100.(1)

/+總■$+!；(2)|。吁網(wǎng)的最小值為

22

4a2*ab

-T-TT；(3)工。也的最小值是丁k-

67+Z7Cl+u

37.MN是經(jīng)過橢圓b2x2+a2y2=a2b'(a>b>0)焦點(diǎn)

的缶爭,若AB是經(jīng)過橢圓中心O目平行于MN的弦，

貝iJ|4B|2=2a|jVW|.

38.MN是經(jīng)過橢圓b2x2+a2y2="/(a>b>0)焦點(diǎn)

的『弦，若過橢圓中心O的半弦。尸YMN,則

2111

a\MN\|OP|2一/聲

22

39.設(shè)橢圓三+與=1(a>b>0),M(m,o)或(o,m)為

其對稱^上除中心，頂點(diǎn)外的彳A點(diǎn)，過M引一條直線與

橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線AiP、A2Q(AI,A2為對稱軸

2,2

上的兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線/:x=￡(或)，=2)上.

mm

40.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為

橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F

的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF_LNF.

41.過楠圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,Ai、

A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，AiP和A2Q交于點(diǎn)M,A2P和

AiQ交于點(diǎn)N,則MF_LNF.

42.設(shè)橢圓方程二十二=1,則斜率為k(k/0)的平行弦的

ab

中點(diǎn)必在直線/:y=區(qū)的共輾直線y=k’*上,而且

kk=——-.

a

2

x

43.設(shè)A、B、C、D為橢圓二4=1上四點(diǎn),AB、CD

ab

所在直線的傾斜角分別為勿6，直線AB與CD相交于R

EI廬4上|必|6,cos'尸+笛sin20

且P不在橢圓上，則工」=不一J——.

\PC\?\PJC\62cos2a+a?sin2a

22

44.已知橢圓、+J=1(a>b>0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)

ci-b2

Fi,F2為橢圓的焦點(diǎn)，"職的外(內(nèi))角平分線為/,

作Fi、F2分別垂直，于R、S,當(dāng)P跑遍整個(gè)橢圓時(shí)，R、S

形成的軌跡方程是

a2y2+b°x(x±c)]

x2+y2=a

a2y2+b~(x±c)~

45.設(shè)△ABC內(nèi)接于橢圓「，且AB為「的直徑，/為AB

的共輾直徑所在的直線，/分別交直線AC、BC于E和F,

又D為/上一點(diǎn)，則CD與橢圓r相切的充要條件是D為

EF的中點(diǎn).

22

46.過楠圓二+與=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交

該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)￡玄MN的垂直平分線交x軸于P,

則也二

\MN\2

22

47.設(shè)A(Xi,yi)是橢圓、+二=1(a>b>0)上任一

才b“

點(diǎn)，過A作一條斜率為-空的直線L,又設(shè)d是原點(diǎn)到

&乂

直線L的距離，;百分別是A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，則

=ab.

2222

48.已知橢圓J+A=l(a>b>0)和'+二■=%

ab"ab

(0<2<l)，一直線順次與它們相交于A、B、C、D四

點(diǎn)，則|AB|=|CD|.

22

49.已知橢圓J+二=1(a>b>0)AB、是橢圓上

ab?

的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)尸(x0,0),

成一a2-b2

則--------<x<----------.

a0a

r2V2

50.設(shè)P點(diǎn)是橢圓-r+、=l(a>b>0)上異于長軸

ab"

端點(diǎn)的任一點(diǎn),Fi、F2為其焦點(diǎn)記功時(shí)=。，則

2b2,6

(1)|^||^|=---.(2)^2=^tan-.

1+cos9122

51.設(shè)過橢圓的長軸上一點(diǎn)B(m,。)作直線與橢圓相交于

P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別

交相應(yīng)于過H點(diǎn)的直線MN:x=〃于M,N兩點(diǎn)，則

a-m_a1{n-my

ZMBN=90'=

a+mZ>2(w+tz)2

22

52.1.是經(jīng)過橢圓二+二=1(a>b>0)長軸頂點(diǎn)A且

a2b“

與長軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離心率，點(diǎn)

PeL,若&PF=a,則a是銳角且sinaWe或

a<arcsine(當(dāng)且僅當(dāng)PH|=b時(shí)取等號).

22

53.L是橢圓：+J=1(a>b>0)的準(zhǔn)線，A、B是

a2b1

橢圓的長軸兩頂點(diǎn)，點(diǎn)尸,e是離心率，ZEPF-a,

H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，則a是銳角且sina<e

或aWarcsine(當(dāng)且僅當(dāng)|戶，|=包時(shí)取等號).

C

22

54.L是橢圓二+二=1(a>b>0)的準(zhǔn)線，E、F是

兩個(gè)焦點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)尸,/EPF=a,

離心率為e,半焦距為c,則a為銳角且sina<e:或

a<47。sine2(當(dāng)且僅當(dāng)|PH|=勺及不7時(shí)取等號).

C

55.已知橢圓=+4=1(a>b>0),直線L通過其右

ab

焦點(diǎn)F2,且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與橢圓左焦

點(diǎn)Fi連結(jié)起來，則從0年41?[F]B區(qū)(2才;從廣(當(dāng)且

a

僅當(dāng)AB，x軸時(shí)右邊不等式取等號，當(dāng)且僅當(dāng)A、Fi、B

三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式取等號).

22

56.設(shè)A、B是橢圓:?+匚=1(a>b>0)的長軸兩端

a"b

點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn),ZTAB-a,

APBA=p,ABPA=/,c.e分別是橢圓的半焦距離心率,

則有⑴|PA|=2H[cosa]⑵匕口^tan=1-e2.(3)

cT一ccosa

22

Q_2abf

^PAB~j22C°t/.

b-a

22

57.設(shè)A、B是橢圓二+鼻=1(a>b>0)長軸上分別

ao

位于橢圓內(nèi)(異于原點(diǎn)\外部的兩點(diǎn)，且修、4的橫坐

標(biāo)必%=42,(1)若過A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、

Q兩點(diǎn)，則"BA=ZQBA;(2)若過B引直線與這橢圓

相交于P、Q兩點(diǎn)，則//NB+NQ1B=18O’.

22

58.設(shè)A、B是橢圓匚+二=1(a>b>0)長軸上分別

ab

位于橢圓內(nèi)(異于原點(diǎn)),外部的兩點(diǎn)，(1)若過A點(diǎn)引直

線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，(若BP交橢圓于兩點(diǎn)，則

P、Q不關(guān)于x軸對稱)，且=，則點(diǎn)A、B

的橫坐標(biāo)以、/滿足/?4=/；(2)若過B點(diǎn)引直線

與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且^PAB+NQAB=180,

則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿足xA?小=a.

59.設(shè)是橢圓1+二=1的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)是

cTb

與44'垂直的弦，則直線力。與的交點(diǎn)P的軌跡是雙

曲喏4"

60.過橢圓E+《=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)尸作互相

b”

垂直的兩條弦AB、CD則

學(xué)+區(qū)2⑷+力.

a"+b~a

x22

61.到橢圓—+v^r=l(a>b>0)兩焦點(diǎn)的距離之比等

才b2

于一(c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓

b

(x±a)2+y2=b1.

22

62.到橢圓二+二=1(a>b>0)的長軸兩端點(diǎn)的距離

a~b1

之比等于一(c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓

b

(X±與+/=(與.

ee

22

63.到橢圓二+二=1(a>b>0)的兩準(zhǔn)線和x軸的

或O

交點(diǎn)的距離之比為二（C為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊

b

妹圓（％±￡）2+/=（3）2（0為離心率）.

22

64.已知P是桶圓二+二=1（a>b>0）上f動(dòng)點(diǎn)，

CTD

是它長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且/Q_L",40J_4P，則

X262V2

Q點(diǎn)的軌跡方程是:?+=1.

aa

65.橢圓的一條直徑（過中心的弦）的長，為通過一個(gè)焦點(diǎn)且

與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項(xiàng).

22

66.設(shè)橢圓三+二=1（a>b>0）長軸的端點(diǎn)為

ab

A,A,P（xx,yx）是橢圓上的點(diǎn)過P作斜率為--的直線

a乂

I,過44分別作垂直于長軸的直線交，于八/廁（1）

14U||/A,|=/.（2）四邊形'陽’”面積的最小值是

2ab.

67.已知橢圓二+三=1（a>b>0）的右準(zhǔn)線/與x軸

a2b2

相交于點(diǎn)E,過橢圓右焦點(diǎn)產(chǎn)的直線與橢圓相交于A、B

兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線/上，且BC//x軸，則直線AC經(jīng)過線

段EF的中點(diǎn).

68.OA.OB是橢圓任衛(wèi)?+[=1（a>0,b>0）的

ab

兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必經(jīng)

0人2

過一T定點(diǎn)（f2TT，。）。）以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的

a+b

另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是（“瑞=2(/0).

69.P（〃z,g是橢圓（a>b>0）上一個(gè)

ab

定點(diǎn)，PA、PB是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過

一個(gè)定點(diǎn)（2加+呼―N））（2）以PA、P

a+ba+b

B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是

_濟(jì)+/人2,zv_、2_a訶

（az+b2）G7TF）-~（/+/y

（xW/M且y。〃）.

70.如果一個(gè)橢圓短半軸長為b,焦點(diǎn)Fi、F2到直線乙的

距離分別為山、d2,那么（1）44=/，且臼、F2在上同

側(cè)。酸L和橢圓相切.（2）4%>從，目Fi、F2在L

同側(cè)o直線上和橢圓相離，（3）<〃，或Fi、F2

在L異側(cè)=直線L和橢圓相交.

71.AB是橢圓:+二=1（a>b>0）的長軸，N是橢

ab

圓上的動(dòng)點(diǎn)，過N的切線與過A、B的切線交于C、。兩

點(diǎn)，則梯形ABDC的對角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是

￡+冬=幻".

22

72.設(shè)點(diǎn)P（x。,%）為橢圓、+與=1（a>b>0）的內(nèi)

ab

部一定點(diǎn)，AB是橢圓=+>=1過定點(diǎn)產(chǎn)（%,比）的

ab

弦，當(dāng)弦AB平行（或重合）于橢圓長軸所在直線時(shí)

（1^1-1尸為）max="I"yC?當(dāng)弦AB垂直

b

于長軸所在直線時(shí)，

（E?I%l）mta=一心”+E.

a

73.橢圓焦三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸

為直徑的圓相內(nèi)切.

74.橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長

軸端點(diǎn).

75.橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值

a+c與a-c.

76.橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長為定值

a-c.

77.橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端

點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注:在橢圓焦三角形中，

非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）

78.橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定

比e.

79.橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比

例中項(xiàng).

80.橢圓焦三角形中，橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)

焦點(diǎn)的距離、半焦是吸外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.

81.橢圓焦三角形中，半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)

點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.

82.橢圓焦三角形中，過『焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線

引垂線，則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平

行.

83.橢圓焦三角形中，過焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線

引垂線，則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的長.

84.橢圓焦三角形中，過彳A焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線

引垂線，垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長軸為

直徑的圓的切點(diǎn).

85.橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長

軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.

86.橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平

分線.

87.橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平

分線.

88.橢圓焦三角形中，過非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長軸兩端點(diǎn)

處的切線相交，則以兩交點(diǎn)為直徑的圓必過兩焦點(diǎn).

89.已知橢圓二+《=l(a>02>0)(包括圓在內(nèi))上有

ab

一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作直線歹=及夕=-的平行線，

aa

與x軸于，與y軸交于凡。.。為原點(diǎn)，則：(1)

\OM\2+\ON^=2a2;(2)\OQ\2+\OR^=2b2.

90.過平面上的尸點(diǎn)作直線4:y=2x及4：y=的

aa

平行線,分別交x軸于河,N,交y軸于分Q.(1)若

|QWT+|OV|2=2a2,則尸的軌跡方建

22

工+匚=1(4>0,6>0).(2)若［0。|2+|0勾2=2/,則

a"b"

22

尸的軌跡方程是J+匚=1(。>0,6>0).

a"b

21產(chǎn)

91.點(diǎn)P為橢圓=x+J=1(?>0*>0)(包括圓在內(nèi))在

ab

第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過P弓lx軸、》軸的平行線,

交歹軸、x軸于，交直線y=于，記

a

△awe與△。八火的面積為E，邑，則：^+^=—.

22

92.點(diǎn)P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過產(chǎn)弓|x軸、y軸的平行線,

交歹軸、x軸于此N，交直線y=-2丫于。,R，記

a

A0WO與AON及的面積為岳5,已知Si+Sz=^，則

22

P的軌跡方程是■+與=1(〃>0,6>0).

橢圓二級結(jié)論證明

1.橢圓第一定義。2.由定義即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。3.橢圓第

二定義。

4.如圖，設(shè)尸（x0,乂），切線PT（即/）的斜率為k,PF、

所在直線4斜率為匕，陰所在直線乙斜率為左2。

b、o1%

tan,=|左一&|=/J?/-c=

|1+減2I]b"o%/-"義工00_%

a'oXo-c

,.?a,￡G(0,g]，a=/?同理可證其它情況。故切線

PT平分點(diǎn)P處的外角。

5.如圖，延長FF至A,使PA=PF2,則火倏是等腰三

角形，AF2中點(diǎn)即為射影H2。則。日？=*=。，同理可

得。氏=a，所以射影Hi,H2的軌跡是以長軸為直徑的圓

除去兩端點(diǎn)。

6.設(shè)P,Q兩點(diǎn)到與焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離分別為4,4,

以PQ中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d,以PQ為直徑的圓的半徑

為r,貝1Jd=1土蟲=絲土絲=2＞尸，故以PQ為直

22ee

徑的圓與對應(yīng)準(zhǔn)線相離。

7圖

圓內(nèi)切。

8.如圖，由切線長定理：

/S|+/T卜附|+隨|+/勾=2a+2c,

I明=|中|"+c

而陽4=4+°=舊聞"與應(yīng)重合，故旁切圓與X軸切

于右頂點(diǎn)，同理可證P在其他位置情況。

9.

易會(huì)喝(一以,0)4(a,o),期(%,%),1(%,-%)，則+

4”=」_(x+a)，4g:y=-^-(x-a)

a+%a-%

2%[.222222

y

則號=幺nPxPyp=aa0=a,

一—2ri~r-

Xx

工0<X0Q)ab0bxQ

2222

10.?.?兄(叫,％)在橢圓?+2=1上.?.§+萼=1,對

abab

W+4=l求導(dǎo)得：至+等=0二，=一空

crbab~ayQ

2

bx

「?切線方程為卜-加=--^"-x0)即

a%

XoXJoJ，」；）/：

J--1"―.I

a2bi2a2bi2

11.設(shè)召（天,弘）,鳥（項(xiàng),％），由10得:

警+警=1,華+普=1,因?yàn)辄c(diǎn)月,巴在直線

abab

利上，且同時(shí)滿足方程浮+岑=1,所以

ab

P上牛第=1

ab

12.設(shè)4（不必）,6（芍,％），+"（%，％）

則有￥+圣=1,與+叁=1作差得：

ab“ab

2222

a2b1

（x1-x2）（x1+x2）（%-%乂乂+%）_八

=~?*后=°

二心」1一心一加（占+芍）.除一H

X\f/（乂+%）口為0a%0M

13.fi12可得:

少產(chǎn)荒（I。）

2

n^y.y-4%；+bxQx-〃片=0

2

=bxQx+=/片+?。?與+鬟=之+普

abab

14..S12可得:

22222

-——-—==>cfy-ayoy+bx-bxQx=0

x-x0xa^

22

222222

=bx+ay=bx0x+ayy=J+4=羊+

,°小公b2a2b2

15.設(shè)尸（4cos/,/>sin，）,0（acos/,Z>sin，）,則

,,bsmtbsint,，cC

k-k；—-----------------r=—1「.tant-tant——-

op&二47COSZ47COS/b

1i1+々2a1(cos21+cos2/)+bz(sin21+sin

2r：(^a2cos2t+b2sin2^)(?2cos21+b2,si

(11)a(tan，’tan21、

2—+—+6—2~+~—

VCOStCOSt)ICOStCOSt)a(2+tan

(a1+bztan2+b2tan，')

(，+.2)(tan，+tan，)+2a2，

2

2a4+a2b2(tan。t+tan2/)-a

2F+

16.將直線AB代入橢圓方程中得：

(A2a2+B2b2)x2-2Aa2x+"(1_B2b2)=0

A=4a2B2b~^A2a2+B2b2-1),

,、,、1Aa

設(shè)”(須，必)I(電，必)則M+電=RTTT7市，

Aa+Do

a2—Bzbz\b2(1-A2a2}

=-；-；---；—r,兒\=—；-；----r~r'?*OA_LOB

-A2a2+B2b22A2a2+B2b2

2222,

XjX2+y^y2=0=>a+b~=ab{A+3，)n+8'=

|孫某穿由加二2^(a2+b2)(A2c

A2a2+1

+B,b，+a'b'(彳+笈)-(/+/)2,A2a4

A2a2+B2b2A2a2+.

17.(1)設(shè)橢圓內(nèi)直角弦AB的方程為：y-利=川工-〃)即

y=kx+m-kua

當(dāng)斜率k存在時(shí)，代入橢圓G方程中得：

2

(a嘖2+6?卜2+2(fk(m-hi]x+cr-b=0

2a%（〃z—如）

設(shè)Z(不必)，3(蒼,%)得芯+W=

a2k2+b2

x.x=,,_

12“a2k2+b2

則尸4尸8=（$一%）（/-4）+（%一乂）（％-%）

z

=（42+1）玉工2-[kn+kyQ+/_”虎）（王+毛）+x；+[盟-

=>a2（左*+1）[（小一上力）2—52]+（左2々+機(jī)+/—mk^2alk

na1（無2-<72（左2+]）g2+^a2k1+占2）X；+（，

zlzz222

—2yQ^m—kn^[ak+b^—2ak{in-kii.）+2akxQ（m—

=a2{^m—kny—a1[k1+l）b?-V^k1+Z）2jx04-b

=（a2左2+9）（片+），；）+（</+Z），（"2—左"J（后2+]

=々%（4+尤）+從1；+?；）+62+/"。+（儲+62）

zz22z

+2makxQ—2mbyQ—2knax0+2hzbyQ=0

2

，x：+（/+/）/_/x；_2naxQ=0b2-a2

?；I爐及

2222

=>max0+nby0-mn^a+bj=>5

a2-b2

+b2^m2-a2yl-2mty1yo=0n=V^X°

（a2-b2b2-a2

---------X---------

即直線AB過定點(diǎn)[a2+b20，a2+b2，此點(diǎn)在C2上。

7

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線AB也過C2上的定點(diǎn)。

（II）由上可知G和C2上點(diǎn)由此建立起一種——對應(yīng)的關(guān)

系,即證。

f

18.必要性：設(shè)P1P2:y+niy0=k（x-nixQ）ok存在時(shí)，

代入橢圓方程中得：

[cTk~-2（Tkni^yQ+kxQ^x+cTnr（%+/）~一小

設(shè)不（4y1），巴（/，必）得片+力=2々？（"產(chǎn)。）

aK+0

a%，（%+辰0）2—a2b~

*

.k_(%一切乂％一%)_后勺工2—乂即0+mkXs+乂)(

12

(x0-x1)(x0-x2)xxx2-xQ^

22w+1

b(m+\^2kmxQyQ+^xJ(w-l)+^()]_"(a

21

a{rn-\^2kmxQyQ+后父(雁一1)+刀：(加+l)]a{rn

k不存在時(shí),P1P2:x=mxo則y=±人Ja)_7〃%；,

x；(l—相

必要性得證。

充分性：設(shè)P1P2過定點(diǎn)(q,p)，則P1P2:y=kx+p-kqa

代入橢圓方程得：

[cfk1+Z>2j,x2+2a2k[p-kq^x-^-az(^p-kq)"-a2b2=0

2c『k(p—kq)

設(shè)為（小到），2（%%）得演+電=

--a2k2+b2'

o,(p—kqX—a2b2

/=”+護(hù)

則

,,_(%一%)(%一%)_甘%X?+后(夕一初一九)(二+,

*1?用2一一

一》（玉；

演一飛）（馬一演）XjX20+x

1LL1

a'k(p-左,J—ci'bk-la'k(p—k<j)^p—kq—y0)+

2122

a1p-kqj—ab+2akx0(p—kq)+x；

助+-左

b2[(0-⑹2-2%(p-(y；2%]/"+]bi

2

a[(P-%丫+24(0_3+(左晨；一斕]m-la

=(°一為丫一2乂(尸一句)+(就一左2/)_功+1

(。一初丫+2包(0-初)+(左七一%m-1

11

=k+q—mqx0—qxQ1+^(mpx0+px0—mqy0+qy\

（夕一飛）（9—力

mx：+q—mqx0—qxQ=0

?（）

mp%+px0-mqy0+qy。-2pq=0=>P%"2+l+q

2、（一乂）（沖。.

mpy0-py0+p-my^=00

注MSI解（1）（3）得夕=-niy>0,q=zn%,代入（2）

式，成立。

驗(yàn)證k不存在的情況，也得到此結(jié)論。故/過定點(diǎn)

（,-W7>0乂772W1）,充分性得證。

19.設(shè)AB:丁一%=無（方一七）即^=左x+盟一去%

\y=kx+yQ-kxQ

2222

xy=>+(^^x+2ak(^y0—kx0)x+tz

V=1

a2

l212

2a2Mbe一%)akx-2aky-bx

—SV-4-1*-''—SY00

0s-a2k2+b2Ba2k2+b2

2222222

'akx0+2ak)^-bx0by0-aky0+2b。kx。、

,a2k2+b2'a2k2+b2.

20.由余弦定理：

陷「十|質(zhì)「-2附;||%|COS/=（2C）2=（阿|+|母;|）

2b

2

=>4a2=4C+2|"||/VW(cosy+1)=\PFX\\PF2\=--

1

12bsin—cos—

SA^PF?=；|阿||/|siny=bsin/2

cosy+12cos2—

^>|yp|=-tan^,|x?|=

cZ

21.由34:

a-c_1-e_sin/3+sina-sin/_sin/?+sina-sin(a

a+c1+esin/?+sina+sin/sin/?+sina+sin(cz

sinP+sina—sinacosP-sin/?cosa_sin乃(l-cosc

sin￡+sina+sinacos0+sin0cosasin/?(1+cosc

2sin—cos—-2sin2—+2sin—cos—?2sin2—sin-

222222二;

-?尸Be2a6.aa-zPi

2sin—cos--2cos——F2sin—cos—?2cos—cos-

222222

.a.B

sin—sin—

22a

-----A------=tan—tanp_

Ba22

cos—cos—

22

22.由第二定義得：

，

=ex0+—=a+eXo|A^|=ex0=a-ex0

23.

PFpF

=e=PF2=e-PF1=a-ex0=e(a+ex0)=:

2

?/x0e(0,47]/.<1=>e+2e-\>0=>e>V2-l^e

e+e

24.在A4Pg中，有尸￡-AFZ<PA<PFZ^AFZ

:.PFl+PA<PFx+PFz+AF1=2a+AFz,PFx+PA>PFx

都當(dāng)且僅當(dāng)4P、用三點(diǎn)共線時(shí)取等號。

25設(shè)橢圓上的點(diǎn)/&,乂),3(%%)關(guān)于="+加

對稱，A/(x0,jv0')o

由12得：

b\_a*_a'?+利)

=>x

AB2b220

aX)x0bx0

又,??W在橢圓內(nèi)，

“2/加2az+陽冽2

C4k2

<1=蘇<

/+丁=-a2+b2k2

若m=-kx貝叱而

0a2+bzk2

26.由5即可得證。

27.設(shè)P(“cos*,6sinR)，則切線/:+=1,

ab

:.FPFA=(acos^-cZ>sin^)--,-■1-^C°S-

Icsin°Ic力

28.

設(shè)/^acoso,bsin。),由射影定理有:bzsin2<p=(c-aco,.

=>c?=a?cos，夕+(&2-casin'1Q=e?=cos2^?+(l-e2

=(l+sin，“)e。=sin2(D+cos2<z>=1=>e2=---二一

')l+sin>

29.設(shè)

2222

q：=+5=LG：=+[=A“->i)，M(/)：^+3y+

aocCo

o聯(lián)立q,/得：

(A2a2+B2b2)xi+2Aa2Cx+a2C2-a2b2