2023年高二數(shù)學必修五

第高二數(shù)學必修五

篇一：高二數(shù)學必修5全套教案(人教版)

1．1．1正弦定理

●教學目標

知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；

會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，

引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合

情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

●教學重點

正弦定理的探索和證明及其基本應用。

●教學難點

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

●教學過程

一.課題導入

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉動。思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。

能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？CB二.講授新課

[探索研究]

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，

abc?sinA，?sinB，又sinC?1?ccc

abc則???csinAsinBsinCCabc從而在直角三角形ABC中，??sinAsinBsinC有

思考1：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1．1-3，（1）當?ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，

有CD=asinB?bsinA,則

同理可得

從而asinA?bsinB，csinC??bsinB?，AcBsinAsinBsinC

（2）當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）思考2：還有其方法嗎？

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。

abc

???????（證法二）：過點A作單位向量j?AC，由向量的加法可得AB?AC?CB

??????????????則j?AB?j?(AC?CB)

????????????????∴j?AB?j?AC?j?CB

??????????0jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即?????????ac??????abcbc同理，過點C作j?BC，可得從而???sinAsinBsinC

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即a

sinA?b

sinB?c

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，

即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

（2）a

sinAsinBsinCsinA

思考：正弦定理的基本作用是什么？?b?c等價于a?bsinB，csinC?bsinB，asinA?csinC

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?bsinA；sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，ab

C?1800?(A?B)?1800?(32.00?81.80)?66.20；

asinB42.9sin81.80

根據(jù)正弦定理，b???80.1(cm)；sin32.00

asinC42.9sin66.20

根據(jù)正弦定理，c???74.1(cm).sin32.0評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

練習：在?ABC中，已知下列條件解三角形。

（1）A?45，C?30，c?10cm，（2）A?60，B?45，c?20cm例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）。

解：根據(jù)正弦定理，

????

bsinA28sin400

sinB???0.8999.因為00＜B＜1800，所以B?640，或0B?116.

⑴當B?640時，C?108?0A(?B0?)10?800?，(4?064asinC20sin760

c???30(cm).sin400

⑵當B?1160時，C?108?0A?(B0?)01?8，0?(4?01asinC20sin240

c???13(cm).sin40

應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

課堂練習

第4頁練習第2題。

思考題：在?ABC中，a

sinAsinB三.課時小結（由學生歸納總結）

（1）定理的表示形式：?b?csinC?k(ko)，這個k與?ABC有什么關系？a?b?c?k?k?0?；sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)a?b?c?

（2）正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

四.課后作業(yè)：P10面1、2題。

1.2解三角形應用舉例第一課時

一、教學目標

1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語

2、激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并體會數(shù)學的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題意和應用轉化思想解決數(shù)學問題的能力

二、教學重點、難點

教學重點：由實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解

教學難點：根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖

三、教學設想

1、復習舊知

復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、設置情境

請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。

3、新課講授

（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解

(2)例1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點的距離(精確到

0.1m)

提問1：?ABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？

提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。

分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。

解：根據(jù)正弦定理，得AB=ACsin?ACBsin?ABC

sin?ABC55sin75?=55sin75?≈65.7(m)sin54?sin(180??51??75?)AB=ACsin?ACB=55sin?ACB=sin?ABC

答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。解略：2akm

例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得?BCA=?，

?ACD=?，?CDB=?，?BDA=?，在?ADC和?BDC中，應用正弦定理得AC=

BC=asin(???)=asin(???)sin[180??(?????)]sin(?????)asin?asin?=

sin[180??(?????)]sin(?????)

計算出AC和BC后，再在?ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離AB=AC2?BC2?2AC?BCcos?

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。

變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA=60?

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選

篇二：新人教版高二數(shù)學必修5知識點歸納

高二數(shù)學期中考知識點歸納資料

第一章解三角形

1、三角形的性質：

①.A+B+C=?,?

A?B2

?

?

2

?

C2

?sin

A?B2

?cos

C2

②.在?ABC中,a?b＞c,a?b＜c;A＞B?sinA＞sinB,

A＞B?cosA＜cosB,a＞b?A＞B

③.若?ABC為銳角?，則A?B＞

?

2

,B+C＞

?

2

,A+C＞

?

2

;

a2?b2＞c2，b2?c2＞a2，a2＋c2＞b22、正弦定理與余弦定理：①.

(2R為?ABC外接圓的直徑)

a?2Rsin

A、b?2RsinB、c?2RsinCsinA?

a2R

、

sinB?

12

b2R

、sinC?

12

c2R

12

acsinB

2

2

2

面積公式：S?ABC?

2

2

2

absinC?

2

bcsinA?

2

2

②.余弦定理：a?b?c?2bccosA、b?a?c?2accosB、c?a?b?2abcosC

b?c?a

2bc

2

2

2

cosA?、cosB?

a?c

?b

2ac

222

、cosC?

a?b?c

2ab

222

3第二章數(shù)列

1、數(shù)列的定義及數(shù)列的通項公式：

①.an?f(n)，數(shù)列是定義域為N

的函數(shù)f(n)，當n依次取1，2，???時的一列函數(shù)值②i.歸納法

若S0?0，則an不分段；若S0?0，則an分段

iii.若an?1?pan?q，則可設an?1?m?p(an?m)解得m,得等比數(shù)列?an?m?

?Sn?f(an)

iv.若Sn?f(an

)，先求a1?得到關于an?1和an的遞推關系式

?Sn?1?f(an?1)?Sn?2an?1

例如：Sn?2an?1先求a1，再構造方程組：??（下減上）an?1?2an?1?2an

?Sn?1?2an?1?1

2.等差數(shù)列：

①定義：an?1?an=d（常數(shù)）,證明數(shù)列是等差數(shù)列的重要工具。②通項d?0時，an為關于n的一次函數(shù)；

d＞0時，a

n為單調遞增數(shù)列；d＜0時，an為單調遞減數(shù)列。

n(n?1)2

③前n?na1?

d，

d?0時，Sn是關于n的不含常數(shù)項的一元二次函數(shù)，反之也成立。

④性質：ii.若?an?為等差數(shù)列，則am，am?k，am?2k，…仍為等差數(shù)列。iii.若?an?為等差數(shù)列，則Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，…仍為等差數(shù)列。iv若A為a,b的等差中項，則有A

?3.等比數(shù)列：①定義：

an?1an

?q（常數(shù)），是證明數(shù)列是等比數(shù)列的重要工具。

a?b2

。

②通項時為常數(shù)列)。

③.前n項和

需特別注意,公比為字母時要討論.

④.性質：

ii.?an?為等比數(shù)列,則am,am?k,am?2k,?仍為等比數(shù)列

，公比為qk。

iii.?an?為等比數(shù)列,則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,K仍為等比數(shù)列，公比為qn。iv.G為a,b的等比中項,G??ab4.數(shù)列求和的常用方法:

①.公式法:如an?2n?3,an?3n?1

nn?1

?2n?5，可分別求出?3n?，?2n?1?和?2n?5?的和，然后把②.分組求和法:如an?3?2

三部分加起來即可。

?1?

③

如an??3n?2????，

?2??1??1??1??1?

Sn?5???7???9???????(3n?1)??

?2??2??2??2?

1

2

3

4

2

3

n?1

n

?1?

??3n?2???

?2?

n

n?1

n

?1??1??1??1??1?

Sn?5???7???9???…＋?3n?1?????3n?2???2?2??2??2??2??2?

1

2

3

n

n?1

?1??1??1??1??1?兩式相減得：Sn?5???2???2???????2????3n?2???

2?2??2??2??2??2?

，以下略。

④

如an?

1n?n?1?

1

?

1n

?

1n?1

;an?

1n?1?

n

?n?1?n，

an?

?2n?1??2n?1?

?

1?11?

???等。

2?2n?12n?1?

⑤.倒序相加法.例：在1與2之間插入n個數(shù)a1,a2,a3,???,an，使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列，求：Sn?a1?a2?????an，（答案：Sn?

32n）

第三章不等式

1.不等式的性質:

①

a?b,b?c?a?c

a?b?

??a?c?b?dc?d?

②

a?b,c?R?a?c?b?c,推論:

③

a

?b?a?b?a?b?0?

?ac?bc;?ac?bc;????ac?bd?0

c?0?c?0?c?d?0?

④a?b?0?an?bn?0;a?b?0?2.一元二次不等式及其解法:

a?

b?0

①.ax2?bx?c?0,ax2?bx?c?0,f?x??ax2?bx?c注重三者之間的密切聯(lián)系。如：ax2?bx?c＞0的解為：?＜x＜?,則ax2?bx?c＝0的解為x1??,x2??；函數(shù)f?x??ax?bx?c的圖像開口向下，且與x軸交于點??,0?，??,0?。

2

對于函數(shù)f?x??ax2?bx?c，一看開口方向,二看對稱軸，從而確定其單調區(qū)間等。②.注意二次函數(shù)根的分布及其應用.

如：若方程x2?2ax?8?0的一個根在（0，1）上，另一個根在（4,5）上，則有

f(0)＞0且f(1)＜0且f(4)＜0且f(5)＞0

3.不等式的應用：

①基本不等式：

當a＞0,b＞0且ab是定值時，a+b有最小值；當a＞0,b＞0且a+b為定值時，

ab有最大值。②簡單的線性規(guī)劃:

Ax?By?C?0?A?0?表示直線Ax?By?C?0的右方區(qū)域.Ax?By?C?0?A?0?表示直線Ax?By?C?0的左方區(qū)域

①.找出所有的線性約束條件。

②.確立目標函數(shù)。

③.畫可行域，找最優(yōu)點，得最優(yōu)解。

需要注意的是，在目標函數(shù)中，x的系數(shù)的符號，

當A＞0時，越向右移，函數(shù)值越大，當A＜0時，越向左移，函數(shù)值越大。

篇三：高二數(shù)學必修5知識點歸納

●高二數(shù)學期中考知識點歸納資料

第一章解三角形

1、三角形的性質：

①.A+B+C=?,?

A?B2

?

?

2

?

C2

?sin

A?B2

?cos

C2

②.在?ABC中,a?b＞c,a?b＜c;A＞B?sinA＞sinB,

A＞B?cosA＜cosB,a＞b?A＞B

③.若?ABC為銳角?，則A?B＞

?

2

,B+C＞

?

2

,A+C＞

?

2

;

a2?b2＞c2，b2?c2＞a2，a2＋c2＞b22、正弦定理與余弦定理：①.

(2R為?ABC外接圓的直徑)

a?2Rsin

A、b?2RsinB、c?2RsinCsinA?

a2R

、

sinB?

12

b2R

、sinC?

12

c2R

12

acsinB

2

2

2

面積公式：S?ABC?

2

2

2

absinC?

2

bcsinA?

2

2

②.余弦定理：a?b?c?2bccosA、b?a?c?2accosB、c?a?b?2abcosC

b?c?a

2bc

2

2

2

cosA?、cosB?

a?c

?b

2ac

222

、cosC?

a?b?c

2ab

222

3第二章數(shù)列

1、數(shù)列的定義及數(shù)列的通項公式：

①.an?f(n)，數(shù)列是定義域為N

的函數(shù)f(n)，當n依次取1，2，???時的一列函數(shù)值②i.歸納法

若S0?0，則an不分段；若S0?0，則an分段

iii.若an?1?pan?q，則可設an?1?m?p(an?m)解得m,得等比數(shù)列?an?m?

?Sn?f(an)

iv.若Sn?f(an)，先求a

1?得到關于an?1和an的遞推關系式

S?f(a)n?1?n?1?Sn?2an?1

例如：Sn?2an?1先求a1，再構造方程組：??（下減上）an?1?2an?1?2an

?Sn?1?2an?1?1

2.等差數(shù)列：

①定義：a

n?1?an=d（常數(shù)）,證明數(shù)列是等差數(shù)列的重要工具。②通項d?0時，an為關于n的一次函數(shù)；

d＞0時，an為單調遞增數(shù)列；d＜0時，a

n為單調遞減數(shù)列。

n(n?1)2

③前n?na1?

d，

d?0時，Sn是關于n的不含常數(shù)項的一元二次函數(shù)，反之也成立。

④性質：ii.若?an?為等差數(shù)列，則am，am?k，am?2k，…仍為等差數(shù)列。iii.若?an?為等差數(shù)列，則Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，…仍為等差數(shù)列。iv若A為a,b的等差中項，則有A?3.等比數(shù)列：

①定義：

an?1an

?q（常數(shù)），是證明數(shù)列是等比數(shù)列的重要工具。

a?b2

。

②通項時為常數(shù)列)。

③.前n項和

需特別注意,公比為字母時要討論.

④.性質：

ii.?an?為等比數(shù)列,則am,am?k,am?2k,?仍為等比數(shù)列

，公比為qk。

iii.?an?為等比數(shù)列,則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,K仍為等比數(shù)列，公比為qn。iv.G為a,b的等比中項,G??ab4.數(shù)列求和的常用方法:

①.公式法:如an?2n?3,an?3n?1

②.分組