第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第一頁，共七十七頁，2022年，8月28日4.1根軌跡法的基本概念一、根軌跡定義開環(huán)傳遞函數(shù)的某個參數(shù)由0~∞時，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。例1：如圖所示二階系統(tǒng)，試繪制其根根軌跡。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)：-第二頁，共七十七頁，2022年，8月28日jw-2-112-1-2s閉環(huán)特征方程為：特征根為：[討論]：.........當K=0時，s1=0,s2=-2當K=0.125時，s1=-0.13,s2=-1.866當K=0.25時，s1=-0.29,s2=-1.707當K=0.5時，s1=-1,s2=-1當K=1時，s1=-1+j,s2=-1-j當K=2.5時，s1=-1+2j,s2=-1-2j……當K=∞時，s1=-1+j∞,s2=-1-j∞第三頁，共七十七頁，2022年，8月28日二.根軌跡與系統(tǒng)性能1.穩(wěn)定性根軌跡不會穿越虛軸進入右半s平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定，如果根軌跡越過虛軸進入s右半平面，此時根軌跡與虛軸交點處的K值，就是臨界開環(huán)增益。jw-2-112-1-2s.........2.穩(wěn)態(tài)性能由坐標原點處的極點數(shù)確定系統(tǒng)類型；若給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。第四頁，共七十七頁，2022年，8月28日3.動態(tài)性能K=0→∞時，根軌跡均在時s平面的左半部分，系統(tǒng)始終穩(wěn)定；(1)0<K<0.5時，兩個負實根，過阻尼系統(tǒng)，階躍響應為非周期過程；(2)K=0.5時，相同負實根，臨界阻尼系統(tǒng)，階躍響應仍為非周期過程；(4)K>0.5時，一對共軛復根，欠阻尼系統(tǒng)，階躍響應為阻尼振蕩過程。問題在于逐點計算工作量大，若要更有效的繪制根軌跡就必須找出繪根軌跡的規(guī)律…jw-2-112-1-2s.........第五頁，共七十七頁，2022年，8月28日三、閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關(guān)系典型閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖前向通路傳函：KG*--前向通路根軌跡增益KH*--反饋通路根軌跡增益反饋通路傳函：第六頁，共七十七頁，2022年，8月28日開環(huán)傳遞函數(shù)：K*--開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益閉環(huán)傳遞函數(shù)為：第七頁，共七十七頁，2022年，8月28日(1)閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡益。(2)閉環(huán)零點由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點和反饋通路傳遞數(shù)的極點所組成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。(3)閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點以及根軌跡增益均有關(guān)。結(jié)論第八頁，共七十七頁，2022年，8月28日四、根軌跡方程閉環(huán)特征方程：--根軌跡方程五、模值條件方程和相角條件方程第九頁，共七十七頁，2022年，8月28日模值條件：相角條件：注釋：1.根軌跡上的點應同時滿足上兩個方程；2.相角條件方程與K*無關(guān)，模值方程才與K*相關(guān)；3.模值條件用來確定對應的K*；4.相角條件是決定根軌跡的充要條件，s平面上一點s1若滿足相角條件即為根軌跡上的一點。第十頁，共七十七頁，2022年，8月28日繪制根軌跡方法：1.試探法：任選s1點看是否滿足相角條件；2.按基本規(guī)則(如下節(jié)講述)手工繪制；3.用計算機繪制。[一些約定]：

在根軌跡圖中，“×”表示開環(huán)極點，“○”表示開環(huán)有限值零點。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數(shù)增加的方向?！?”表示根軌跡上的點。第十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日4.2根軌跡繪制的基本法則一、繪制根軌跡的基本法則法則1.根軌跡的起點和終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點，若n>m，則有n-m條根軌跡終止于無窮遠處。第十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日K*=0時必有K*=∞時必有--起點--終點若n>m，那么剩余的n-m個終點在哪里？答案：在無窮遠處。n-m個無限遠零點第十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日法則2.根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點m和有限極點n中的大者相等，它們是連續(xù)的且對稱于實軸。根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)極點數(shù)n相等(n>m)，或與開環(huán)有限零點數(shù)m相等(n<m)。根軌跡連續(xù)：根軌跡增益是連續(xù)變化導致特征根也連續(xù)變化。實軸對稱：特征方程的系數(shù)為實數(shù)，特征根必為實數(shù)或共軛復數(shù)。第十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日法則3.實軸上的根軌跡如果實軸上某一區(qū)段的右邊的實數(shù)開環(huán)零點、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)段實軸必是根軌跡。[證明]1.s1點與p3、p4的向量的相角之和q

1+q

2=0°2.s1點與z1、z2的向量的相角之和q

3+q4=0°3.s1點與p2的向量的相角為0°4.s1點與p1的向量的相角為180°s1點滿足根軌跡相角條件，因此[p2,p1]為實軸上的根軌跡。s2、s3：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點。試驗點s1點第十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日例1.設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求實軸上的根軌跡。解：零極點分布如下：p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2實軸上根軌跡為：[-1，0]、[-3，-2]和(-∞，-4]jwsoo第十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日法則4.根軌跡的漸近線n>m時：n-m條根軌跡沿著漸近線趨向無窮遠處。與實軸的交點：與實軸的夾角：0000第十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日例2.系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試確定根軌跡分支數(shù)、起點和終點。若終點在無窮遠處，求漸近線與實軸的交點和夾角。解：根軌跡有3條；起點為開環(huán)極點：p1=0，p2=-1，p3=-5；因無有限值零點，所以3條根軌跡都趨向無窮遠。與實軸的交點：與實軸的夾角：零極點分布和漸近線如圖所示：第十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日法則5.根軌跡的分離點與分離角若干根軌跡在復平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。分離點在兩極點之間，會合點在兩零點之間。閉環(huán)特征方程有重根。jw-2-112-1-2s分離點A--分離點B--會合點分離角：l--根軌跡分支數(shù)第十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日求取分離點的方法(1)用試探法求解：若系統(tǒng)無有限零點：例3[例4-1].系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。1.開環(huán)零極點：解：第二十頁，共七十七頁，2022年，8月28日3.漸近線：2.實軸上的根軌跡：[-3,-2][-1,0]4.分離點：實軸區(qū)域[-2,-3]必有一個根軌跡的分離點d，d滿足分離點方程：解得：第二十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日(2)極值法第二十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日(3)牛頓余數(shù)定理法步驟：(1)求出；(2)設(shè)；(3)在其分離點可能出現(xiàn)的實軸坐標附近找一試探點s1；(4)用(s-s1)去除P(s)，得到商Q(s)、余數(shù)R1；(5)用(s-s1)去除Q(s)，得到余數(shù)R2；(6)計算s2=s1-R1/R2；(7)將s2作為新的試探點重復步驟(4)~(6)。第二十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日例4.試用牛頓余數(shù)定理法確定例3的分離點。解：因[-3,-2]內(nèi)必有分離點，所以選s1=-2.5。第二十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日所以，分離點為-2.47。第二十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日例5.單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實軸上根軌跡的分離點。解：實軸上根軌跡區(qū)間是：(-∞,-5][-1,0]顯然，分離點為-0.4725，而-3.5275不是分離點。閉環(huán)特征方程為：(舍去)(1)極值法第二十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日因[-1,0]內(nèi)必有分離點，所以選s1=-0.5。所以，分離點為-0.472。(2)牛頓余數(shù)定理法第二十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日法則6.根軌跡的起始角和終止角起始(出射)角θpi

：起始于開環(huán)極點的根軌跡在起點處的切線與正實軸的夾角。第二十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日終止(入射)角jzi：終止于開環(huán)零點的根軌跡在終點處的切線與正實軸的夾角。第二十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日例6.如圖，試確定根軌跡離開復數(shù)共軛極點的起始角。p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-2根據(jù)對稱性，可知p2點的出射角為：注意：相角要注意符號：逆時針為正，順時針為負；注意矢量的方向。解：tanj1=1j1=45°θ2=90°θ3=135°tanθ4=0.5θ4=26.6°取k=0(考慮到周期性)：θp1=-26.6°θp2=

-θp1=26.6°第三十頁，共七十七頁，2022年，8月28日例7[例4-3].系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。3.漸近線：解：2.實軸上的根軌跡：1.開環(huán)零極點：n-m=1，只有一條180o漸進線。4.分離點：無分離點。(－∞，-2.5][-1.5，0]第三十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日-1-2108.5°90°59°37°19°56.5°起始角：5.起始角和終止角：第三十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日90°121°153°199°63.5°117°終止角：第三十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日概略根軌跡圖第三十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日法則7.根軌跡與虛軸的交點根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根，這時的增益稱為臨界根軌跡增益。交點和臨界根軌跡增益的求法：(1)由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解；(2)令s=jw，代入閉環(huán)特征方程中，使實、虛部分別為零，求出w和K*。第三十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日解：方法一例8.，試求根軌跡與虛軸的交點。K*=0

w=0

舍去(根軌跡的起點)

與虛軸的交點:閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：s=jw第三十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日方法二：用勞思穩(wěn)定判據(jù)確定交點的值。勞思表為：s2的輔助方程：K*

=30當s1行等于0時，特征方程可能出現(xiàn)純虛根。即第三十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日法則8.根之和當n-m≥2時：對于任意的K*閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和為常數(shù)。表明：當K*變化時，部分閉環(huán)極點在復平面上向右移動(變大)，則另一些極點必然向左移動(變小)。該規(guī)則的作用：(1)定性判斷根軌跡的走向；(2)已知幾個閉環(huán)根可以求出其他一個或兩個根。第三十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日小結(jié)需掌握繪制根軌跡的8個準則根軌跡的起點和終點；根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性；實軸上根軌跡；根軌跡的漸近線；根軌跡的分離點與分離角；根軌跡的起始角和終止角；根軌跡與虛軸的交點；根之和。第三十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日1.標注開環(huán)極點和零點(縱、橫坐標用相同的比例尺)；2.實軸上的根軌跡；3.n-m條漸近線；4.根軌跡的起始角和終止角；5.根軌跡與虛軸的交點；6.根軌跡的分離點；結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的分支數(shù)、起始點和終點、根之和等性質(zhì)畫出根軌跡。根軌跡作圖步驟第四十頁，共七十七頁，2022年，8月28日例9[例4-4]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。3.漸近線：4.起始角：1.開環(huán)零極點：2.實軸上的根軌跡：解：[-3，0]第四十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日5.分離點：6.與虛軸的交點：勞思表為：第四十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日當s1行等于0時，特征方程可能出現(xiàn)純虛根。即K*

=8.16s2的輔助方程：概略根軌跡圖第四十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日3.漸近線：例10.開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試繪制該系統(tǒng)概略根軌跡。4.起始角：1.開環(huán)零極點：2.實軸上的根軌跡：解：(－∞，0]第四十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日5.與虛軸的交點：特征方程：s=jω---舍去(起點)第四十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日6.分離點：由圖可知這兩點并不在根軌跡上，所以并非分離點。特征方程：概略根軌跡圖第四十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日開環(huán)極點、零點分布及其相應的根軌跡第四十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日二、閉環(huán)極點的確定上面繪制根軌跡的基本原則，可以簡便地繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。為了得到準確的根軌跡曲線，必要時可以選取若干個試驗點，用相角條件去檢驗。方法：根據(jù)模值條件先用試探法確定實數(shù)閉環(huán)極點的數(shù)值；用綜合除法得到其余閉環(huán)極點。第四十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日4.3廣義根軌跡--以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡一、參數(shù)根軌跡在控制系統(tǒng)中，除根軌跡增益K*以外，其它情形下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。閉環(huán)特征方程：變換當系統(tǒng)有兩個參數(shù)變化時，所繪出的根軌跡稱謂根軌跡簇。等效開環(huán)傳遞函數(shù)：利用此式畫出的根軌跡，就是以參數(shù)A為變量的參數(shù)根軌跡。第四十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日列出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程；以特征方程中不含參變量的各項除特征方程，得等效的系統(tǒng)根軌跡方程。該參數(shù)稱為等效系統(tǒng)的根軌跡增益；用已知的方法繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。繪制參數(shù)根軌跡的步驟第五十頁，共七十七頁，2022年，8月28日-[解]：例1：繪制如下系統(tǒng)以a為參數(shù)的根軌跡。閉環(huán)特征方程為：等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為：1.開環(huán)零極點：2.實軸上的根軌跡：(－∞，0]第五十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日3.漸近線：4.初始角：5.分離點：-2-10-2-1012第五十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日例2[例4-7]設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，其中開環(huán)增益可自行選定。試分析時間常數(shù)Ta對系統(tǒng)性能的影響。[解]：閉環(huán)特征方程為：第五十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日等效開環(huán)極點：選定不同K值，然后將G1(s)的零、極點畫在s平面上，再令Ta=0?

￥繪制出Ta變化時的參數(shù)根軌跡。等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為：第五十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日參數(shù)根軌跡簇第五十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日二、附加開環(huán)零、極點的作用根軌跡的形狀、位置完全取決于系統(tǒng)的開環(huán)零、極點，因此可以通過增加開環(huán)零、極點來改造根軌跡，從而實現(xiàn)改善系統(tǒng)的目的。1.增加開環(huán)極點一般說，在s左半平面增加極點，對根軌跡的影響：(1)改變根軌跡在實軸上的分布；(2)改變根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角；(3)改變根軌跡的分支數(shù)；(4)促使根軌跡右移，降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。第五十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日實例(1)增加一個實數(shù)極點軌跡向右彎曲，極點對系統(tǒng)穩(wěn)定不利，極點越靠近虛軸影響越大。穩(wěn)定K*小時穩(wěn)定K*大時可能不穩(wěn)定第五十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日(2)增加一對共軛復數(shù)極點第五十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日2.增加開環(huán)零點增加開環(huán)零點對根軌跡的影響：(1)改變根軌跡在實軸上的分布；(2)改變根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角；(3)若增加的開環(huán)零點和某個極點重合或距離很近，構(gòu)成開環(huán)偶極子，則兩者相互抵消(因此，可加入一個零點來抵消有損于系統(tǒng)性能的極點)；(4)促使根軌跡左移，系統(tǒng)的穩(wěn)定性增強。第五十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日(1)增加一個實數(shù)零點增加的零點使根軌跡左偏，對系統(tǒng)穩(wěn)定有利，越靠近虛軸影響越大。實例第六十頁，共七十七頁，2022年，8月28日(2)增加一對軛復數(shù)零點第六十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日三、零度根軌跡常規(guī)根軌跡的相角條件：(2k+1)p=180o+2kp--180o根軌跡零度根軌跡的相角條件：2kp=0o+2kp零度根軌跡的來源：1.非最小相位系統(tǒng)(系統(tǒng)在s平面的右半側(cè)有開環(huán)零極點)中包含s最高次冪的系數(shù)為負的因子；2.控制系統(tǒng)中包含有正反饋內(nèi)回路。負反饋系統(tǒng)根軌跡稱為180o根軌跡或簡稱為根軌跡；正反饋系統(tǒng)根軌跡稱為0o根軌跡。因此：第六十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日零度根軌跡的繪制+閉環(huán)傳遞函數(shù)：根軌跡方程：模值條件：相角條件：第六十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日繪制0度根軌跡的準則(修改的準則)法則3.實軸上的根軌跡：法則4.漸近線的夾角：法則6.初始角和終止角：初始角：終止角：其右側(cè)實軸上的開環(huán)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)(包括0)的區(qū)域。第六十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日例1：設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試繪制系統(tǒng)的根軌跡。1.開環(huán)零極點：[解]：2.實軸上：3.漸近線：p1=0p2=-1p3=-5[-5，-1][0，+∞)第六十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日4.分離點：根軌跡圖第六十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日例2[例4-8]設(shè)具有正反饋回路系統(tǒng)的內(nèi)回路傳遞函數(shù)分別如下，試繪制該回路的根軌跡圖。1.開環(huán)零極點：[解]：2.實軸上：3.漸近線：(-，-3]，[-2，+)第六十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日4.分離點：經(jīng)整理：

5.起始角：根軌跡圖6.確定臨界開環(huán)增益：s=0時第六十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日比較正負反饋的根軌跡方程：若開環(huán)傳遞函數(shù)為：則正負反饋的根軌跡方程分別為：可見，正反饋根軌跡相當于負反饋根軌跡的K*從0→-∞時的根軌跡。所以，可將正負反饋系統(tǒng)的根軌跡合并，得-∞<K*<+∞時的整個區(qū)間的根軌跡。第六十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日正反饋(0度)根軌跡圖將例1給出的開環(huán)傳遞函數(shù)分別繪制正負根軌跡圖如下：負反饋(180度)根軌跡圖第七十頁，共七十七頁，2022年，8月28日4.4系統(tǒng)性能的分析一、穩(wěn)定性如果閉環(huán)極點全部位于s左半平面，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，即穩(wěn)定只與閉環(huán)極點位置有關(guān)，而與閉環(huán)零點位置無關(guān)。二、運動形式如果閉環(huán)系統(tǒng)無零點，且閉環(huán)極點均為實數(shù)極點，則時間響應一定是單調(diào)的；如果閉環(huán)極點均為復數(shù)極點，則時間響應一般是振蕩的。第七十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日三、超調(diào)量四、調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間主要取決于最靠近虛軸的閉環(huán)復數(shù)極點的實數(shù)絕對值s1=zwn，如果實數(shù)極點距虛軸最近，并且它附近沒有實數(shù)零點，則調(diào)節(jié)時間主要取決于該實數(shù)極點的模值。超調(diào)量主要取決于閉環(huán)復數(shù)主導極點的衰減率