第六節(jié)微分中值定理

第六節(jié)微分中值定理第一頁，共五十頁，2022年，8月28日第六節(jié)微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第二頁，共五十頁，2022年，8月28日一、羅爾(Rolle)定理1.引理（費馬(Fermat)定理）

(或稱為臨界點，穩(wěn)定點)第三頁，共五十頁，2022年，8月28日證明:第四頁，共五十頁，2022年，8月28日2.羅爾（Rolle）定理則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使f()=0.設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).3)f(a)=f(b)第五頁，共五十頁，2022年，8月28日證第六頁，共五十頁，2022年，8月28日2.羅爾（Rolle）定理則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使f()=0.設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).3)f(a)=f(b)第七頁，共五十頁，2022年，8月28日物理解釋:變速直線運動在折返點處,瞬時速度等于零.幾何解釋:第八頁，共五十頁，2022年，8月28日3、羅爾定理還指出了這樣的一個事實：若f(x)可導(dǎo)，則f(x)=0的任何兩個實根之間，至少有f(x)=0的一個實根.例2不求導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)f(x)=(x1)(x2)(x3)的導(dǎo)數(shù)f(x)有幾個零點及這些零點所在的范圍.第九頁，共五十頁，2022年，8月28日4.注意1)若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如第十頁，共五十頁，2022年，8月28日2)羅爾定理的三個條件是充分不必要的,即若有一個不滿足,其結(jié)論也可能成立.例如,第十一頁，共五十頁，2022年，8月28日羅爾定理的主要應(yīng)用——證明中值的存在.

例3例4說明:證明

在

內(nèi)有根用零點定理.證明

在

內(nèi)有根用羅爾定理.第十二頁，共五十頁，2022年，8月28日例4證由Rolle定理知說明:證明

在

內(nèi)有根用零點定理.證明

在

內(nèi)有根用羅爾定理.第十三頁，共五十頁，2022年，8月28日關(guān)鍵技巧:根據(jù)題意會知道如何構(gòu)造輔助函數(shù).若希望用Rolle定理證明方程f(x)=0根的存在性，則構(gòu)造的輔助函數(shù)F(x)應(yīng)滿足關(guān)系式F(x)=f(x)及Rolle定理條件.例5第十四頁，共五十頁，2022年，8月28日例6第十五頁，共五十頁，2022年，8月28日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使

f(b)f(a)=f'()(ba)((a,b)).Lagrange中值定理設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).第十六頁，共五十頁，2022年，8月28日作輔助函數(shù)證明：拉格朗日中值公式注意拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.第十七頁，共五十頁，2022年，8月28日幾何解釋:例1第十八頁，共五十頁，2022年，8月28日增量

y的精確表達式拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值定理也稱為微分中值定理第十九頁，共五十頁，2022年，8月28日兩個結(jié)論:(1)設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f

(x)=0，則在(a,b)內(nèi)f(x)=C.(2)設(shè)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f

(x)=g(x)，則f(x)=g(x)

C.(1')設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f

(x)=0，則在[a,b]上f(x)=C.第二十頁，共五十頁，2022年，8月28日拉格朗日中值定理的應(yīng)用:1、用Lagrange中值定理證明等式：說明欲證時,只需證在I

上練習(xí)：例2第二十一頁，共五十頁，2022年，8月28日2、用Lagrange中值定理證明不等式：Step1找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f(x)及區(qū)間,Step2驗證f(x)滿足Lagrange中值定理條件,Step3對f()作適當(dāng)放大或縮小，推出所要證的結(jié)果.例4例3第二十二頁，共五十頁，2022年，8月28日例4證由上式得第二十三頁，共五十頁，2022年，8月28日三、柯西(Cauchy)中值定理則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使

Cauchy中值定理設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足條件：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且

g(x)

0.第二十四頁，共五十頁，2022年，8月28日證作輔助函數(shù)第二十五頁，共五十頁，2022年，8月28日Lagrange中值定理是Cauchy中值定理的特例.第二十六頁，共五十頁，2022年，8月28日思考:柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結(jié)論.第二十七頁，共五十頁，2022年，8月28日例分析:結(jié)論可變形為第二十八頁，共五十頁，2022年，8月28日例1證第二十九頁，共五十頁，2022年，8月28日第三十頁，共五十頁，2022年，8月28日四、小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理費馬引理中值定理的數(shù)學(xué)符號簡潔表述:P125第三十一頁，共五十頁，2022年，8月28日2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)第三十二頁，共五十頁，2022年，8月28日中值定理的數(shù)學(xué)符號簡潔表述:P125第三十三頁，共五十頁，2022年，8月28日費馬(1601–1665)法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻.他特別愛好數(shù)論,他提出的費馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.第三十四頁，共五十頁，2022年，8月28日拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.第三十五頁，共五十頁，2022年，8月28日柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠.對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠基人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,第三十六頁，共五十頁，2022年，8月28日1.填空題思考與練習(xí)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,則中值第三十七頁，共五十頁，2022年，8月28日第三十八頁，共五十頁，2022年，8月28日練習(xí)：試證至少存在一點，使解令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在第三十九頁，共五十頁，2022年，8月28日提示:由結(jié)論可知,只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點使2.設(shè)第四十頁，共五十頁，2022年，8月28日證：設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理條件,因此至少存在使得求證存在使3.設(shè)f(x)在[0,1]連續(xù),在(0,1)可導(dǎo),且即第四十一頁，共五十頁，2022年，8月28日證：不妨設(shè)有4.設(shè),證明對任意第四十二頁，共五十頁，2022年，8月28日5.試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.解不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；且不滿足在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的條件；以上兩個都可說明問題.第四十三頁，共五十頁，2022年，8月28日練習(xí)題第四十四頁，共五十頁，2022年，8月28日第四十五頁，共五十頁，2022年，8月28日第四十六頁，共五十頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第四十七頁，共五十頁，2022年，8月28日費馬(1601–1665)法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻.他特別愛好數(shù)論,他提出的費馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.第四十八頁，共五十頁，2022年，8月28日拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.第四十九頁，共五十頁，2022年，8月