邏輯函數(shù)及其簡化

邏輯函數(shù)及其簡化第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日內(nèi)容提要基本邏輯概念，邏輯代數(shù)中三種基本運算（與，或，非）及其復合運算（與非，或非，與或非，同或，異或等）邏輯代數(shù)運算的基本規(guī)律（變量和常量的關(guān)系，交換律，結(jié)合律，分配律，重疊律，反演律，調(diào)換律···各種律）邏輯函數(shù)基本運算公式及三個規(guī)則（代入規(guī)則，反演規(guī)則，對偶規(guī)則）邏輯函數(shù)的表示方法（真值表法，表達式法，卡諾圖法，邏輯圖法等）邏輯函數(shù)的三種化簡方法（公式法，卡諾圖法，系統(tǒng)化簡法Q-M法）第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日重點·難點邏輯代數(shù)中的基本公式，基本定理和基本定律，常用公式邏輯函數(shù)的真值表，表達式，卡諾圖表示方法及其相互轉(zhuǎn)換最大項，最小項的概念，邏輯函數(shù)公式化簡法和卡諾圖化簡法第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日重要概念和方法數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。邏輯函數(shù)中的變量稱為邏輯變量，一般用大寫字母A、B、C、…表示，邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1。0和1稱為邏輯常量。但必須指出，這里的邏輯0和1本身并沒有數(shù)值意義，它們并不代表數(shù)量的大小，而僅僅是作為一種符號，代表事物矛盾雙方的兩種對立的狀態(tài)。邏輯函數(shù)的定義：如果輸入邏輯變量A、B、C…（自變量）的取值確定以后，輸出邏輯變量F(因變量）的值也唯一地確定了，我們就稱F是A、B、C…的邏輯函數(shù)，寫作F=f（A,B,C…）第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日基本邏輯運算“與”運算又稱“與”邏輯、“邏輯乘”：決定事件發(fā)生的各條件中，所有條件都具備，事件才會發(fā)生（成立）。我們把這種因果關(guān)系稱為與運算。“或”運算又稱“或”邏輯、“邏輯加”：決定事件發(fā)生的各條件中，有一個或一個以上的條件具備，事件就會發(fā)生（成立）。我們把這種因果關(guān)系稱為或運算“非”運算又稱“非”邏輯、“反相運算”、“邏輯否定”：決定事件發(fā)生的條件只有一個，條件不具備時事件發(fā)生（成立），條件具備時事件不發(fā)生。我們把這種因果關(guān)系稱為非運算。注意：在邏輯運算中，非1即0?。?！第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日復合邏輯運算與非或非

與或非異或同或

=A⊙B小貼士：表達式可結(jié)合集合概念加以理解記憶！第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日異或的巧妙應用

C語言中若需要交換兩個變量的值，除了通常使用的借用中間變量進行交換外，還可以利用異或，僅使用兩個變量進行交換，如：

a=a⊕b;

b=a⊕b;

a=a⊕b;這樣就完成了a與b的交換。第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日邏輯代數(shù)基本公式（布爾恒等式）小貼士：可結(jié)合數(shù)學中集合概念對公式進行記憶！第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日異或和同或邏輯運算的基本公式和基本規(guī)律調(diào)換律是同或、異或的特殊規(guī)律，它說明等式兩邊的變量是可以調(diào)換的。第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日邏輯代數(shù)的常用公式這些公式應用于公式化簡法中，可以消去多余變量和多余乘積項！第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日邏輯代數(shù)的三個規(guī)則代入規(guī)則

對任意邏輯等式，如果將式中的某一變量用其他變量或邏輯函數(shù)替換，則此等式仍然成立反演規(guī)則（德摩根定理或互補規(guī)則）

如果將任一邏輯函數(shù)式F=f(A，B，C，…)中所有的·換成+，+換成·，0換成1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量所得到的新函數(shù)就是F的反函數(shù)。運用時注意：①原運算順序不變②原式的公共非號保持不變。

利用反演規(guī)則可以很方便地求出反函數(shù)。對偶規(guī)則如果將任一邏輯函數(shù)式F=f(A，B，C，…)中所有的·換成+，+換成·，0換成1，1換成0所得到的新函數(shù)Fˊ就是F的對偶式。運用時注意：①原運算順序不變②原式的長短非號保持不變。 F與互為對偶，（Fˊ）ˊ=F。注意：對偶關(guān)系不是相等的關(guān)系，即Fˊ≠F。運用對偶規(guī)則可以使要記憶的公式減少一半。等式的對偶式也是等式。第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日邏輯函數(shù)的標準形式邏輯變量的邏輯與運算叫做與項，與項的邏輯或運算構(gòu)成了邏輯函數(shù)的與或式，也叫做積之和式(SPform)。邏輯變量的邏輯或運算叫做或項，或項的邏輯與運算構(gòu)成了邏輯函數(shù)的或與式，也叫做和之積式(PSform)。最小項：對于n個變量的邏輯函數(shù)而言，它的與項如果包含全部變量，且每個變量都只能以原變量（1）或反變量（0）的形式出現(xiàn)一次且只出現(xiàn)一次，那么這個與項就稱為該邏輯函數(shù)的最小項。簡單地說：最小項就是n個變量的積，原變量為1，反變量為0。提及最小項一定要說明變量的數(shù)目。N個變量共有2^n個最小項。第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日性質(zhì)①最小項都對應了一組變量取值。對變量的任意一組取值，只有一個最小項為1，其余最小項全為0。②任意兩個不同最小項之積恒為0；③全體最小項的邏輯和恒為1；④兩個邏輯相鄰的最小項（只有一個因子不同，其余因子都相同）可以合并為一項，從而消去一個因子最小項的編號：三變量A、B、C的八組取值000、001、……111能分別使八個最小項的值為1，又與十進制數(shù)0，1……7的二進制數(shù)表示相同。用0～7編號八個最小項，記為：m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7

在n個變量的邏輯系統(tǒng)中，如果Y為i個最小項之和，則Y非必為余下的（n－i）個最小項之和。第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日最小項標準表達式（標準與或式·唯一）由一般式→標準與或式的變換方法：1.書上例題方法--用公式把一般式化為一般與或式：若式中的某一項缺少某個變量，就用該變量的原變量和反變量之和去乘這一項，然后拆成兩項，直到補齊所缺變量為止2.老師介紹方法--卡諾圖法（后面再介紹）3.列出真值表，直接寫出標準最小項，再寫出標準與或式第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日最大項：對于n個變量的邏輯函數(shù)而言，它的或項如果包含全部變量，且每個變量以原變量（0）或反變量（1）的形式出現(xiàn)一次且只出現(xiàn)一次，那么這個或項就稱為該邏輯函數(shù)的最大項。性質(zhì)：①在輸入變量的任何一組取值下，必有一個最大項，而且只有一個最大項的值為0。②全體最大項之積為0。③任意兩個最大項之和為1。最大項編號：類比最小項編號規(guī)則，將m換成M。第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日最大項表達式（標準或與式·唯一）概念：全部由最大項組成的邏輯表達式為標準或–與表達式如何求最大項表達式：1.真值表法：將真值表中輸出為0的一組輸入變量組合狀態(tài)（用原變量表示變量取值0，用反變量表示變量取值1）用邏輯加形式表示，再將所有的邏輯加進行邏輯乘，就得到標準或–與表達式。2.利用A=(A+B)(A+B)，將每個或項所缺變量逐步補齊，然后展開成最大項表達式。第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日最小項表達式與最大項表達式的關(guān)系如果有一個函數(shù)的最小項表達式為則其最大項表達式為j≠i，j為2^n個編號中除去i以外的號碼根據(jù)邏輯函數(shù)的特點，這種表示方法①便于轉(zhuǎn)換成卡諾圖；②便于寫出反函數(shù)。比如F=∑m（0，2，3，4）的反函數(shù)=∑m（1，5，6，7）。第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日異或，同或標準形式由邏輯函數(shù)的基本表達式還可以導出邏輯函數(shù)的同或，異或表達式設邏輯函數(shù)的最小項表達式為其中具體證明過程見課本p31

第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日關(guān)于邏輯函數(shù)化簡的幾個問題化簡的意義：對于一個邏輯函數(shù)來說，如果表達式比較簡單，那么實現(xiàn)這個邏輯函數(shù)所需要的元件（門電路）就比較少。所以化簡的意義是：節(jié)約器材、降低成本、提高可靠性。什么是最簡與或式

理論分析原則：在與或表達式中，若與項個數(shù)最少，且每個與項中變量的個數(shù)也最少，則該式就是最簡與或式。表達式最簡，不一定就節(jié)約了器材，還有個利用率的問題（經(jīng)濟問題）、可靠性問題、工作速度問題、消除競爭冒險問題等等。 第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法公式化簡法：利用基本公式和常用公式進行推演 1．并項法：利用A+A=1，將兩項合并為一項，消去一個變量。(或者利用全體最小項之和恒為“1”的概念，把2n項合并為一項，消去n個變量。)2．吸收法：利用A+AB=A吸收多余項。 3．消去法：利用A+AB=A+B消去多余的因子。 4．消項法：利用AB+AC+BC=AB+AC消去多余的項。

消項法與吸收法類似，都是消去一個多余的項。只是前者運用冗余定理，后者利用吸收律(?)。第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日

5．配項法：利用A=AB+AB將一項變?yōu)閮身?，或者利用冗余定理增加冗余項，然后（配項目的）尋找新的組合關(guān)系進行化簡。

公式法化簡的優(yōu)點是沒有任何局限性；缺點是化簡結(jié)果是否最簡不易看出。

當遇到或與式的時候，可以利用對偶規(guī)則，將或與式轉(zhuǎn)換為與或式?；癁樽詈喪胶螅倮脤ε家?guī)則換回或與式（原函數(shù)的最簡式）。第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日卡諾圖化簡用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法:

所謂卡諾圖就是將n變量的全部最小項各用一個小方格表示，最小項按循環(huán)碼（即相鄰兩組之間只有一個變量0或1取值不同的編碼）規(guī)則排列組成的方格圖

真值表-->方格圖第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日1.n變量的卡諾圖可以表示n變量的邏輯函數(shù)，若，則在卡諾圖對應的mi最小項的方格中填1，其余填0。2.卡諾圖合并最小項規(guī)律將2i個相鄰的1格進行合并（卡諾圖中加圈表示），合并成一項，該乘積項由（n–i）個變量組成。3.卡諾圖化簡的基本步驟用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時，一般按如下步驟進行：（1）作出描述邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）圈出沒有相鄰的1格（獨立方格）。（3）找出只有一種合并可能的1格，從它出發(fā)，把含有2i個相鄰1格圈在一起，構(gòu)成一個合并乘積項。（4）余下沒有被包含的1格有兩種或兩種以上合并可能，選擇既能包含全部1格又使圈數(shù)最少的合并方法，使卡諾圖中全部1格均被覆蓋。第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日卡諾圖化簡函數(shù)的依據(jù)

邏輯相鄰的2n個最小項相加，能消去n個變量。 邏輯相鄰：相同變量的兩個最小項只有一個因子不同，則他們在邏輯上相鄰。在卡諾圖中合并最小項的規(guī)律（以四個變量為例） ①相鄰的兩個最小項可以合并為一項，消去一個變量（挨著，一行兩端，一列兩端）。 ②相鄰的四個最小項可以合并為一項，消去兩個變量（組成方塊，一行，一列，兩行末端，兩列末端，四角）。 ③相鄰的八個最小項合并為一項，消去三個變量（兩行，兩列，兩邊的兩行或者兩列）。第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日卡諾圖化簡注意事項所有為1的最小項必須在某一個包圍圈中，且圈中1的個數(shù)必須是2^n個；包圍圈中1的個數(shù)越多越好（變量少），而包圍圈的個數(shù)越少越好（乘積項少）；卡諾圖中的1可以重復使用（重疊律），但每個包圍圈中應至少含一個新1！否則，該乘積項就是多余的；圈1得原函數(shù)，圈0得反函數(shù)。第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日表達式→卡諾圖求函數(shù)的標準與或式，并編號；畫卡諾圖；在圖中找到與函數(shù)所對應的最小項方格并填“1”，其余的添“0”。例：將F=填入卡諾圖。解：F=

=∑m(0，2，4，6)

第二十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日運用卡諾圖的好處方便地求反函數(shù)。如本例F的反函數(shù)為=∑