直線與圓錐曲線的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案

長(zhǎng)嶺三中高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料主編：劉亞艷審核：劉香華打印：徐艷翠直線與圓錐曲線的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法：借助坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法．解析幾何就是用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)，因此說(shuō)，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科．平面解析幾何研究的主要問(wèn)題是：根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì)．對(duì)解析幾何問(wèn)題，要把“形”等價(jià)“翻譯”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，幾何問(wèn)題代數(shù)化（也就是方程化），數(shù)形結(jié)合，這是解析幾何的靈魂．曲線和方程（1）概念在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和二元方程f(x,y)=0有如下關(guān)系：曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線．曲線的方程是曲線的代數(shù)刻畫(huà)；方程的曲線是方程的幾何表示．“數(shù)”與“形”角度不同，但二者是“等價(jià)”的．若曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點(diǎn)Po(xo,yo)在曲線C上的充要條件是f(xo,yo)=0．（2）求曲線的方程求曲線的方程，就是把曲線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用代數(shù)方程表示出來(lái)，也就是求動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系式，即方程，而不是求x,y.要知道，x,y不是要被消滅的，而恰是我們要保留的．這點(diǎn)尤要注意．求曲線方程的一般步驟①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（例如設(shè)M(x,y)）②寫出適合條件p的M的集合P={M│p(M)}；③用坐標(biāo)表示p(M)，列出方程f(x,y)=0;④整理化簡(jiǎn)方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；⑤證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．一般情況下，化簡(jiǎn)前后的方程解集相同，步驟⑤可以省略，特殊情況，可適當(dāng)予以說(shuō)明．求曲線方程的基本方法主要有兩類基本方法：待定系數(shù)法和代入法．第1頁(yè)(共6頁(yè))①第1頁(yè)(共6頁(yè))這類問(wèn)題，求方程變成了求參量，因?yàn)榉匠獭笆裁礃印币呀?jīng)知道．想一想，求直線的方程基本上都是待定系數(shù)法．②代入法：根據(jù)己知條件，無(wú)法判斷曲線類型和方程形式，這類問(wèn)題一般用代入法．常用的代入法有：①直接代入②相關(guān)點(diǎn)代入③消參代入．一般地說(shuō)，如果除動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，y外，有n個(gè)參量a1，a2，….，an,,題中的條件應(yīng)能”翻譯成”關(guān)于x,y及參量a1，a2，…，an，的n＋1個(gè)代數(shù)式,其中n個(gè)式子用于解a1，a2，….，an,剩下的一個(gè)留作代入．應(yīng)特別指出：在代入法中，把x，y當(dāng)已知（設(shè)了以后當(dāng)已知，才是“代數(shù)”）。一般情況下，這n＋1個(gè)式子，復(fù)雜的一個(gè)留作代入，其它n個(gè)用作解出a1，a2，….，an（可用x，y表示）．曲型例題：1.已知兩點(diǎn)，且點(diǎn)使成公差小于零的等差數(shù)列，求點(diǎn)的軌跡方程。2.如圖，已知圓，定點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足,點(diǎn)的軌跡為曲線.求曲線的方程.3．設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，上的動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.4．已知圓的方程為.⑴直線過(guò)點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)，若,求直線的方程.⑵過(guò)圓上一動(dòng)點(diǎn)（不在軸上）作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，若向量,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明此軌跡是什么曲線.第2頁(yè)(共第2頁(yè)(共6頁(yè))練習(xí)：1.等腰三角形的頂點(diǎn)是，底邊一個(gè)端點(diǎn)是，求另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么.2.如圖，設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是在上的投影，為上一點(diǎn)，且.⑴當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；⑵求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線被所截線段的長(zhǎng)度..3.（選做題）如圖，拋物線.點(diǎn)在拋物線上，過(guò)作的切線，切點(diǎn)為（）,當(dāng)時(shí)，切線的斜率為.⑴求的值；⑵當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.（重合于時(shí)，中點(diǎn)為）.練習(xí)題：高考數(shù)學(xué)24題：第1題組.2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系⑴從幾何角度看，直線和圓錐曲線有三種位置關(guān)系：相離、相切、相交.①相離：直線與圓錐曲線沒(méi)有公共點(diǎn);②相切：2直線與圓錐曲線有唯一公共點(diǎn);③相交：直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn);特別注意：直線與雙曲線、拋物線有唯一公共點(diǎn)時(shí)，并不一定相切.①直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，與雙曲線有唯一公共點(diǎn)，但這時(shí)直線與雙曲線相交.②直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合時(shí)，與拋物線有唯一的公共點(diǎn)，但這時(shí)直線與拋物線相交.⑵從代數(shù)角度看，可以根據(jù)直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組的解和個(gè)數(shù)來(lái)確定位置關(guān)系.設(shè)直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立后消去可以得到方程.①若，當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行或重合；當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合.②若，設(shè).當(dāng)時(shí)，直線與圓錐曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，相交；當(dāng)時(shí)，直線與圓錐曲線相切于一點(diǎn)，相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓錐曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，相離.⑶．曲線的交點(diǎn)問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題兩個(gè)曲線C1：f1（x，y）=0和C2：：f2（x，y）=0的交點(diǎn)問(wèn)題，就是方程組的解的問(wèn)題．交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解；方程組的解是交點(diǎn)坐標(biāo)．曲線上兩點(diǎn)所連線段通常稱為曲線的弦，弦長(zhǎng)問(wèn)題實(shí)際上是兩點(diǎn)間距離問(wèn)題，直線與曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，而不是什么新問(wèn)題．設(shè)曲線C的方程為f（x，y）=0，曲線上A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)所在直線為y=kx+b（直線y=kx+b與C交于A、B兩點(diǎn)）則第3頁(yè)(共第3頁(yè)(共6頁(yè))而是將方程①代入方程②得到的新方程即方程③的兩根，若設(shè)方程③的判別式為△，，則故有，這就是所謂的弦長(zhǎng)公式，同學(xué)們不必記憶，知道推導(dǎo)即可．當(dāng)直線的斜率存在且非零時(shí)，弦長(zhǎng)其中是交點(diǎn)坐標(biāo)，經(jīng)常用設(shè)而不求的技巧，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系整體代入求解.3．直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用（1）定義問(wèn)題涉及焦點(diǎn)的問(wèn)題，要考慮定義（2）離心率問(wèn)題對(duì)橢圓和雙曲線而言，一般說(shuō)，一個(gè)條件即可求離心率．之間已經(jīng)有一個(gè)關(guān)系，只要再找它們之間的一個(gè)關(guān)系就可求（3）中點(diǎn)問(wèn)題一般可使用韋達(dá)定理或點(diǎn)差法（4）垂直問(wèn)題用斜率或向量的數(shù)量積解決（5）平行、共線與定比問(wèn)題平行用斜率刻畫(huà)．共線與定比用直線方程及橫坐標(biāo)關(guān)系（或縱坐標(biāo)關(guān)系，但橫與縱只用其一）刻畫(huà)（6）弦長(zhǎng)問(wèn)題用“弦長(zhǎng)公式”解決．貌似麻煩，實(shí)則簡(jiǎn)單．（7）與函數(shù)知識(shí)結(jié)合的綜合問(wèn)題（如最值取值范圍等）注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)思想，均值不等式，導(dǎo)數(shù)，等價(jià)性（8）探索性、存在性問(wèn)題會(huì)執(zhí)果索因，等價(jià)轉(zhuǎn)化，倒推思想．曲型例題：1.（弦長(zhǎng)問(wèn)題）已知橢圓.過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且等于橢圓短軸長(zhǎng).求的斜率.2.（中點(diǎn)弦問(wèn)題）已知雙曲線C：和過(guò)點(diǎn)的直線，與C相交于A、B兩點(diǎn)。（1）當(dāng)繞M變化時(shí),求AB中點(diǎn)Q的軌跡方程.（2）是否存在這樣的直線,使M是AB的中點(diǎn)?若存在,求出的方程;若不存在,說(shuō)明理由.第4頁(yè)(共第4頁(yè)(共6頁(yè))3.（垂直問(wèn)題）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).4.（共線問(wèn)題）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和.⑴求的取值范圍；⑵設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為,是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5.（離心率問(wèn)題）設(shè)雙曲線與直線相交于不同的兩個(gè)點(diǎn).（1）求雙曲線的離心率的取值范圍；（2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，且，求的值.練習(xí);1.如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，上頂點(diǎn)為，左，右焦點(diǎn)分別為,線段的中點(diǎn)分別為,且是面積為的直角三角形.⑴求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，使,求直線的方程.第5頁(yè)(共6頁(yè))第5頁(yè)(共6頁(yè))2.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得弦的長(zhǎng)為.⑴求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；⑵已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，若軸是的角平分線，證明直線過(guò)定點(diǎn).3.拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn).⑴若,求直線的斜率⑵設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值.6.（定點(diǎn)與定值問(wèn)題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知點(diǎn)和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程