安徽省巢湖市2023年數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則此三角形（）A．無解 B．有一解 C．有兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定2．一個(gè)長方體長、寬分別為5，4，且該長方體的外接球的表面積為，則該長方體的表面積為（）A．47 B．60 C．94 D．1983．已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是，則函數(shù)的最大值為（）A．5 B．3 C． D．4．已知一組數(shù)1，1，2，3，5，8，，21，34，55，按這組數(shù)的規(guī)律，則應(yīng)為（）A．11 B．12 C．13 D．145．底面是正方形，從頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足是底面中心的四棱錐稱為正四棱錐．如圖，在正四棱錐中，底面邊長為1．側(cè)棱長為2，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與BE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則下列關(guān)于的形狀的說法正確的是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定7．設(shè)，且，則（）A． B． C． D．8．若，且，則的值是（）A． B． C． D．9．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）345.156.1264.04187.51218.01A． B． C． D．10．如圖所示的程序框圖，若執(zhí)行的運(yùn)算是，則在空白的執(zhí)行框中，應(yīng)該填入A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知斜率為的直線的傾斜角為，則________．12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則______.13．若把寫成的形式，則______.14．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)，前項(xiàng)和為，則____________．15．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)分別為90，180，160，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為_____16．中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、，已知，且，，則的面積為_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知等腰梯形中，是的中點(diǎn)，，將沿著翻折成，使平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18．東莞市公交公司為了方便廣大市民出行，科學(xué)規(guī)劃公交車輛的投放，計(jì)劃在某個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站，為了研究車輛發(fā)車的間隔時(shí)間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系，選取一天中的六個(gè)不同的時(shí)段進(jìn)行抽樣調(diào)查，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：間隔時(shí)間（分鐘）81012141618等候人數(shù)（人）161923262933調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取其中的4組數(shù)據(jù)求得線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實(shí)際等候人數(shù)的差，若兩組差值的絕對(duì)值均不超過1，則稱所求的回歸方程是“理想回歸方程”.參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式：，（1）若選取的是前4組數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）判斷（1）中的方程是否是“理想回歸方程”：（3）為了使等候的乘客不超過38人，試用（1）中方程估計(jì)間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為多少分鐘？19．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北的方向上，仰角為，行駛4km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上．（1）求此山的高度（單位：km）；（2）設(shè)汽車行駛過程中仰望山頂D的最大仰角為，求．20．在△中，所對(duì)的邊分別為，，．（1）求；（2）若，求,，．21．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列為等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

利用正弦定理求，與比較的大小，判斷B能否取相應(yīng)的銳角或鈍角.【詳解】由及正弦定理，得，，B可取銳角；當(dāng)B為鈍角時(shí)，，由正弦函數(shù)在遞減，，可取.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，解三角形中何時(shí)無解、一解、兩解的條件判斷，屬于中檔題.2、C【解析】

根據(jù)球的表面積公式求得半徑，利用等于體對(duì)角線長度的一半可構(gòu)造方程求出長方體的高，進(jìn)而根據(jù)長方體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)長方體高為，外接球半徑為，則，解得：長方體外接球半徑為其體對(duì)角線長度的一半解得：長方體表面積本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查與外接球有關(guān)的長方體的表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠明確長方體的外接球半徑為其體對(duì)角線長度的一半，從而構(gòu)造方程求出所需的棱長.3、B【解析】

函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是，可得，解得．可得函數(shù)，再利用輔助角公式、倍角公式、三角函數(shù)的有界性即可得出．【詳解】函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是，，解得．則函數(shù)當(dāng)時(shí)取等號(hào)．函數(shù)的最大值為1．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用以及利用二倍角公式和輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換．4、C【解析】

易得從第三項(xiàng)開始數(shù)列的每項(xiàng)都為前兩項(xiàng)之和,再求解即可.【詳解】易得從第三項(xiàng)開始數(shù)列的每項(xiàng)都為前兩項(xiàng)之和,故.故選：C【點(diǎn)睛】該數(shù)列為“斐波那契數(shù)列”,從第三項(xiàng)開始數(shù)列的每項(xiàng)都為前兩項(xiàng)之和,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

可采用建立空間直角坐標(biāo)系的方法來求兩條異面直線所成的夾角，【詳解】如圖所示，以正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA方向?yàn)閤軸，AB方向?yàn)閥軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，由幾何關(guān)系可求得，，，，為中點(diǎn)，,，，答案選B.【點(diǎn)睛】解決異面直線問題常用兩種基本方法：異面直線轉(zhuǎn)化成共面直線、空間向量建系法6、B【解析】

利用三角形的正、余弦定理判定．【詳解】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，由正弦定理得，得，則，為直角三角形．故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

利用兩角和差正切公式可求得；根據(jù)范圍可求得；利用兩角和差公式計(jì)算出；利用兩角和差余弦公式計(jì)算出結(jié)果.【詳解】，又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換中的兩角和差的正余弦和正切公式求解三角函數(shù)值的問題，涉及到同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用兩角和差公式進(jìn)行配湊，求得所需的三角函數(shù)值.8、A【解析】

對(duì)兩邊平方，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，可知，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由表中的數(shù)據(jù)分析得：自變量基本上是等速增加，相應(yīng)的函數(shù)值增加的速度越來越快，結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)在是單調(diào)遞增，且函數(shù)值增加速度越來越快，將自變量代入，相應(yīng)的函數(shù)值，比較接近，符合題意，所以正確；對(duì)于B：函數(shù)值隨著自變量增加是等速的，不合題意；對(duì)于C：函數(shù)值隨著自變量的增加比線性函數(shù)還緩慢，不合題意；選項(xiàng)D：函數(shù)值隨著自變量增加反而減少，不合題意.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選擇和應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是掌握各種基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】試題分析：解：運(yùn)行第一次：，不成立；運(yùn)行第二次：，不成立；運(yùn)行第三次：，不成立；運(yùn)行第四次：，不成立；運(yùn)行第四次：，成立；輸出所以應(yīng)選D.考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由直線的斜率公式可得＝，分析可得，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，直線的傾斜角為，其斜率為，則有＝，則，必有，即，平方有：，得，故，解得或（舍）．故答案為﹣【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行整理，再求其前項(xiàng)和，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)則，可得到，從而求出，得到答案.【詳解】所以所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，由數(shù)列的通項(xiàng)求前項(xiàng)和，數(shù)列的極限，屬于中檔題.13、【解析】

將角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查弧度與角度的互化，象限角的表示，屬于基礎(chǔ)題．14、7【解析】

根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得數(shù)列的周期為4，利用規(guī)律計(jì)算，即可求解．【詳解】由題意，數(shù)列的通項(xiàng)，可得，，得到數(shù)列是以4項(xiàng)為周期的形式，所以=．故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的求和問題，其中解答中根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的周期，以及各項(xiàng)的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了．15、【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系，即可得到答案?！驹斀狻吭O(shè)抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為，學(xué)校所有的中老年教師人數(shù)為270人由分層抽樣的定義可知：，解得：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。16、【解析】

由正弦定理邊角互化思想結(jié)合兩角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.【詳解】，由邊角互化思想得，即，，由余弦定理得，，所以，，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面積公式的應(yīng)用，解題時(shí)要結(jié)合三角形已知元素類型合理選擇正弦、余弦定理解三角形，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為；（Ⅲ）存在點(diǎn)P，使得平面，且．【解析】

試題分析：（I）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，需證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線．由題意易得四邊形是菱形，所以，從而，即，進(jìn)而證得平面．（Ⅱ）由（I）可知，、、兩兩互相垂直，故可以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根據(jù)直線與平面平行的判定定理，只要能找到一點(diǎn)P使得PM平行平面內(nèi)的一條直線即可．由于，故可取線段中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連結(jié)．則，且．由此即可得四邊形是平行四邊形，從而問題得證．試題解析：（I）由題意可知四邊形是平行四邊形，所以，故．又因?yàn)?，M為AE的中點(diǎn)所以，即又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形．所以故．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面所以平面．因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)?，、平面，所以平面．（Ⅱ）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．平面的法向量為．設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，，令得，．所以，因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為．（Ⅲ）存在點(diǎn)P，使得平面．法一:取線段中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連結(jié)．則，且．又因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則．所以四邊形是平行四邊形，則．又因?yàn)槠矫?，所以平面．所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面，．法二：設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，（），，因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫妫?，所以，解得，又因?yàn)槠矫?，所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面，．考點(diǎn)：1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、二面角．18、（1）（2）是“理想回歸方程”（3）估計(jì)間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為21分鐘【解析】

（1）根據(jù)所給公式計(jì)算可得回歸方程；（2）由理想回歸方程的定義驗(yàn)證；（3）直接解不等式即可．【詳解】（1），（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以判斷（1）中的方程是“理想回歸方程”（3）由，得估計(jì)間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為21分鐘【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程，解題時(shí)直接根據(jù)所給公式計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．19、（1）km．（2）【解析】

(1)設(shè)此山高,再根據(jù)三角形中三角函數(shù)的關(guān)系以及正弦定理求解即可.(2)由題意可知,當(dāng)點(diǎn)C到公路距離最小時(shí),仰望山頂D的仰角達(dá)到最大,再計(jì)算到直線的距離即可.【詳解】解：（1）設(shè)此山高,則,在中,,,．根據(jù)正弦定理得,即,解得（km）．（2）由題意可知,當(dāng)點(diǎn)C到公路距離最小時(shí),仰望山頂D的仰角達(dá)到最大,所以過C作,垂足為E,連接DE．則,,,所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查