中科大少創(chuàng)班初試數(shù)學(xué)試題2012020

中科大少創(chuàng)班初試試題2015年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試卷一、填空題TOC\o"1-5"\h\z.函數(shù)3的值域是 .1-I-X.sintr+sinfl=—cosa+cos/?=i則 一/）=.2i 3.若函數(shù)了一/但與5=巳工的圖像關(guān)于直線(xiàn)了—―對(duì)稱(chēng)，貝U八對(duì)—.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)Q（x”）滿(mǎn)足人:<0且1—工工了工人+3,則麗,麗的最大值是.2 2.若橢圓卷十卷=1的一條切線(xiàn)工與％軸相交二點(diǎn)（5,。），則￡與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是..設(shè)三個(gè)正整數(shù)口<b<已滿(mǎn)足u+bfc=27,abc-200.則c—..a—工+Hxf的展開(kāi)式中/的系數(shù)是..從｛L2,…,20｝中隨機(jī)選取4個(gè)不同的數(shù),并從小到大排列，則它們構(gòu)成等差數(shù)列的概率為-二、為測(cè)量遠(yuǎn)處一座山峰相對(duì)于水平地面的高度瓦測(cè)量者選取了水平地面上一點(diǎn)A：EC分別測(cè)量了直線(xiàn)犯FC與水平地面的夾角見(jiàn)氏，珞，其中?是山峰的頂點(diǎn)，已知B是AC的中點(diǎn)，=&求無(wú)（用a,%%,其表示）一三、設(shè)品eN,%是滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的數(shù)列k的,…，露的個(gè)數(shù)；①每個(gè)口：都是0或】；①）當(dāng)71之2時(shí),任意相鄰兩項(xiàng)的乘積％%+1—02015⑴求與鮑，/；⑵求短-4二）-?t=l四、⑴求了（工卜叱的單調(diào)區(qū)間和最大值；⑵設(shè)0<￡<?并且=y,求證：x+y>2e,其中e是自然對(duì)數(shù)的底.2016年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試卷一、填空題.3皿“被100除的余數(shù)是,.設(shè)復(fù)數(shù)的_.為測(cè)足以=2./=3.%+%=4,則亙=.*2.對(duì)任意實(shí)數(shù)力均有國(guó)-H十辰―叫則實(shí)數(shù)"的取值范圍是.已知△48C的三個(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足￡inA+2￡in石c.C-0：則tanA的最大?值是■.設(shè)舊4<0<兀20<t><1,則#=(sin幻也因"與丁=(Ms優(yōu)產(chǎn)士的點(diǎn)的大小關(guān)系是..記S(閨為A中所有元素之和，滿(mǎn)足S(A)被3整除但不被5整除的非空集合Au{1Z3；4,瓦色7：8}共有個(gè)..設(shè)且BC。是梯形..4E〃CD過(guò)對(duì)角線(xiàn)-4C與的交點(diǎn)片作AB的平行線(xiàn)身Q交BC于Q：過(guò)且砧5石C的交點(diǎn)鳥(niǎo)作A3的平行線(xiàn)舄。交BC■于母，如此繼續(xù)下去.^\AB\=a,\CD\=bf則只@」= ,20161.設(shè)圖是與?而最接近的整數(shù)，則y—= .黑見(jiàn)設(shè)口也c:>0滿(mǎn)足a-\-b-c-3.求證：——a,—— 6,—4一C.——3-.a+Jbeb4"出？c4--Jab2三、設(shè)M是正整數(shù)集合，求所有滿(mǎn)足以下性質(zhì)的函數(shù)/：NTfT：對(duì)于任何正整數(shù)下H7都有0</(%)-/(巧<2W-了.求方程爐-寸.丁二1的所有非負(fù)整數(shù)解(凡x點(diǎn)).2017年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試卷一F填空題.函數(shù)7=高與y=的圖像共有 個(gè)交點(diǎn)..設(shè)總是正整數(shù)方程工+僅"共有組整數(shù)解(ky)..已知映射2m4同f{1,2總4,"既是單射又是滿(mǎn)射，并且滿(mǎn)足f⑺+，/(%))=，則f(l)=..函數(shù)/(文)-g爐-+1-^2x2-\-2x-o的取值蘋(píng).圍% ..設(shè)是等邊三角形，AD-EaC,工E--9 直線(xiàn)后Q交CE于3 3點(diǎn)F,AF-xAB+3'￡C：貝!|h47一.6,設(shè)7F四棱錐F-ABCD的底面邊長(zhǎng)和高都是L點(diǎn)跳F,G分別在線(xiàn)段PB.PC,PD±,則月E十EF十FG十GA的最小值為..設(shè)奧數(shù)總滿(mǎn)足胃十1〃匚口,2],則e的實(shí)部的最小值為..從正方體的12條棱選出4條兩兩不相交的楂，共有種選法.一、設(shè)△且EC的外接圓半徑是1,角4瓦C所對(duì)的邊分別為見(jiàn)b4滿(mǎn)足b=cosA(1)證明角。是常值，并求角C;⑵求標(biāo)十占￡的取值范圍.二、設(shè)橢圓E：—+V=L4(1)求點(diǎn)處橢圓后的切線(xiàn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)F在橢圓E上,Q在雙曲線(xiàn)町」4上，證明：|FQ|:>6/5.叫設(shè)實(shí)數(shù)0113a；020rp411T滿(mǎn)足0c0fM&cl,￡=L2/017證2017明：若工他-4)>2016,則存在實(shí)數(shù)#使得a<尤<g=1,2,…,2017.t=i

2018年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試卷一、填空題/L\201SL -設(shè)sin2￡/設(shè)sin2￡/=3/3,則tan(<z+15c)

tan-15°).設(shè)x＞—172一則，（上）=工2+\+—--的最小值是- 2x-1.設(shè)S={1*總生可，滿(mǎn)足/（f（T）”K的映射廣StS的個(gè)數(shù)是.設(shè)乩是復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位：關(guān)于#的方程/+--i一o有實(shí)根，貝川m的取值范圍是..設(shè)定義在（0.十沖上的函數(shù)“可是單射.對(duì)任意的工＞0.有貨（切＞1,=Z則f（2）=..在四面體ABCD中，是斜邊長(zhǎng)AB—2的等腰直角二角形，△是以"）為斜邊的等腰直角三角形，已知8=灰,點(diǎn)兄Q分別在線(xiàn)段AB..CD上，則PQ的最小值為 .&點(diǎn)F在圓：（工-2『+（y--1上運(yùn)動(dòng)：向量而（其中。為原點(diǎn)）繞F點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得麗：則Q點(diǎn)的軌跡方程為..過(guò)點(diǎn)（T0）的直線(xiàn)正與拋物線(xiàn)第=必相交于A(yíng)A若AA。6的面積為3（其中。為原點(diǎn)），求直線(xiàn)加■的方程..求所有的一次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式〃到二/十如+也使得打封|/（一）..設(shè)4=iq+L="一"也了（凡+4）（孔已用工）./n-1-|、 n求證：（D^=n31+Xtv； （2）+\k=l左J ft=l2019年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新試點(diǎn)班考試數(shù)學(xué)一、填空題(每小題3分，共40分，結(jié)果須簡(jiǎn)化).1,平面區(qū)域2?上日尤一4?v耳的面積是..方程立n"4(?口￡3氏=。,北匚0,2兀|的所有根之和為..設(shè)點(diǎn)且(L0),B(0J)..Cb-hG),l/4M%M4,則△ABC面積的最小值為-TOC\o"1-5"\h\z.設(shè)非一3+cce?-n/3卜y=44(?CJS?+兀/6)"是參數(shù)，則d+丁的最大值為 ..平面直角坐標(biāo)系『以制中，乙(1.0).把向量誣繞。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)定角9得西，Q.關(guān)于丁軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為耳口i-OJ5，則鳥(niǎo)皿的坐標(biāo)為里 201。6,若修一"2,4「一; M之1).則2理一 -.設(shè)守是復(fù)數(shù)三1是純虛數(shù)，則/+#-3的最小值是.Il.匕知修，的，勒，應(yīng)匚阿\且,產(chǎn)9/1W，<j<&M41={18,36,54},則二,(20分)設(shè)四面體ABCD內(nèi)由△DQWm沿各邊中點(diǎn)連線(xiàn)折起來(lái)圍成.@141=12|耳4=10,|nnj=s.求四面體/bc□的體積，三、@0分)設(shè)打是正整數(shù)，證明二-o是方程6工-之工的唯一解.fe=o卜四、(20分)設(shè)4是正整數(shù).⑴證明：存在多項(xiàng)式2@)：使得饃“幾陽(yáng)-rJcowJ);(2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)完全因式分解r(x).2020年中科大創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試卷.若花十之二1,則上十1|—B一i|的取值范圍是 ..若辰+6?|+際+113,歸1,則包圍圖形的面積S=,3.%=1：Q2=3,%=二■十&T，則4=an-2--產(chǎn)=4p2,￡.)，為正整數(shù)，〃為素?cái)?shù)，則爐->/=.a=2O2O2020,6^^20192021-20212019,c=-(20192O21+20212019),則2a,b.c大小順序是./(x)=(x-l)2+fe2,且q,Ace[0,1],f(a),f(b),f⑹為三角形的三邊,則々的取值范圍是.…為1,2,??,刀的排列,若ivjja%〈%則他嗎)為“順序?qū)?設(shè)X為％，生,…,％的順序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)，則E(X)