三角形中的有關(guān)問(wèn)題 測(cè)模擬試題

解三角形三角形中的有關(guān)問(wèn)題【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】1．正弦定理與余弦定理．２．在解三角形中，正弦定理可解決兩類問(wèn)題：①已知兩角及任一邊，求其它邊角；②已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它的邊或角．情形②中結(jié)果可能有一解、兩解、無(wú)解，應(yīng)注意區(qū)分．余弦定理可解決兩類問(wèn)題：①已知兩邊及任一角問(wèn)題；②已知三邊問(wèn)題．３．正、余弦定理可用于邊角之間的轉(zhuǎn)化及判斷三角形的形狀.．【典型例題】［例1］(1)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則A．B．C．D．(1)B提示：利用余弦定理（2）在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是（）A. B.C. D.（2）C提示：在斜三角形中，用正弦定理求角時(shí)，若已知小角求大角，則有兩解；若已知大角求小角，則只有一解（3）在△ABC中，已知，，則的值為（）ABC或D（3）A提示:在△ABC中，由知角B為銳角（4）若鈍角三角形三邊長(zhǎng)為、、，則的取值范圍是．(4)提示：由可得（5）在△ABC中，=．（5）提示：由面積公式可求得，由余弦定理可求得［例2］在△ABC中，sinA=，判斷這個(gè)三角形的形狀.解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.［例3］在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.解：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=.BDCαBDCαβA記∠CAD=,∠ABC=.(1)．證明;（2）．若AC=DC,求的值.解：(1)．如圖，即．（2）．在中，由正弦定理得由(1)得，即．【課內(nèi)練習(xí)】1．在中，下列等式總能成立的是（）1．D2．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形2．C提示：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.3．△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為，那么b等于（）A. +C. +3．B提示：∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面積為，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b為邊長(zhǎng)，∴b=1+.4．若的內(nèi)角滿足，則()A.B．C．D．4．A提示：由得，又，所以5．在△ABC中，若∠C=60°，則=_______.5．1提示：==. （*）∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.代入（*）式得=1.6．在銳角△ABC中，邊長(zhǎng)a=1，b=2，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是_______.6．提示由得，同時(shí)也滿足任意兩邊之和大于第三邊7．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為．7．提示：由已知得，再由余弦定理可得8．中，內(nèi)角成等差數(shù)列，邊長(zhǎng)，求邊及面積．解：由成等差數(shù)列，得又，由余弦定理得：即：，解得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，9．在中，分別為角的對(duì)邊，已知的面積為，且．求的值．解：由，得，由及余弦定理得：，即：由得：，即：解方程組得，所以10．已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圓半徑為.（1）求∠C；（2）求△ABC面積的最大值.解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得2（－）=（a－b）.又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==.又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+.∴當(dāng)2A=120°，即A=60°時(shí)，Smax=.作業(yè)本A組1．在△ABC中，“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件1．C提示：2．在△ABC中，若，則△ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形2．D提示：由已知得，即：所以3．是三邊長(zhǎng)，若滿足等式，則角的大小為（）3．C提示：由余弦定理可得4．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是、、，，若，，由=．4．2提示：由正弦定理可得5．在△ABC中，，，△ABC面積，由=．5．D6．在△ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為a、b、c.證明：=.證明：由余弦定理a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB，∴a2－b2=b2－a2－2bccosA+2accosB，整理得=.依正弦定理有=，=，∴==.7．已知圓內(nèi)接四邊形的邊長(zhǎng)分別是，求四邊形的面積．解：如圖，連結(jié)BD，在△ABD中在△CBD中8．，求角B的大小并判斷得，解得：， 化簡(jiǎn)得：，所以B組1．在△ABC中，已知，則△ABC是（）A正三角形B正三角形或直角三角形C直角三角形D等腰三角形1．A提示：本題要注意２．在△ABC中，，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．B．Ｃ．Ｄ．２．Ｄ提示：利用正弦定理可得３．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是、、，且BC邊上的高為，則的最大值為（）A．BC2D43．A提示：由得所以4.在△ABC中，，則AC邊上的中線BD長(zhǎng)為．4．7提示：兩式相加可得5．則∠C的度數(shù)是_______.5．45°提示：由S=（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=.6．在解：（1）因?yàn)椋?）又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故的最大值是7．8．如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)△ABC的