含時(shí)微擾與量子躍遷

第1頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§11.1

量子態(tài)隨時(shí)間的演化含時(shí)薛定諤方程的一般討論：在量子力學(xué)中與時(shí)間相關(guān)的問題可分為兩類：(1)

系統(tǒng)的Hamilton量不依賴時(shí)間如散射問題或行進(jìn)問題初始條件或邊界條件的變化使問題與時(shí)間相關(guān)(2)

系統(tǒng)的Hamilton量依賴時(shí)間如：頻率調(diào)制的諧振子問題、與時(shí)間相關(guān)的受迫諧振子問題、交變外電磁場(chǎng)下原子中電子的狀態(tài)躍遷問題。第2頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四11.1.1Hamilton量不含時(shí)的體系此時(shí)含時(shí)薛定諤方程的解是是描述量子態(tài)隨時(shí)間演化的算符。若初態(tài)可表示成其中則t時(shí)刻的波函數(shù)是第3頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題1

設(shè)一定域電子處于沿x軸方向的均勻磁場(chǎng)B中(不考慮電子的軌道運(yùn)動(dòng))，電子的內(nèi)稟磁矩與外磁場(chǎng)的相互作用是設(shè)初始時(shí)刻電子的自旋態(tài)為sz的本征態(tài)，sz=?/2求t時(shí)刻電子的自旋波函數(shù)第4頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解法一：設(shè)t時(shí)刻電子的波函數(shù)是代入薛定諤方程得初始條件：a(0)=1,b(0)=0則兩式相加、減得積分得第5頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上兩式相加減得或解法二：體系的能量本征態(tài)和本征值分別為第6頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四電子的自旋初態(tài)為則t時(shí)刻的波函數(shù)是第7頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四11.1.2Hamilton量含時(shí)體系的量子遷移的微擾理論量子態(tài)隨時(shí)間的演化更有意思的興趣：在外界作用下體系在定態(tài)間躍遷的概率？編時(shí)算符第8頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)無外界作用時(shí)，體系的Hamilton量為H0(不含時(shí)間)，包括H0在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集F的共同本征態(tài)是{|ψn>}，設(shè)體系初始時(shí)刻處于某一能量本征態(tài)|ψk>加入微擾后體系的哈密頓是由于并非力學(xué)量完全集中所有的量都是守恒量，因此體系不能保持在本征態(tài)，而是處于本征態(tài)的線性疊加在初態(tài)條件下求解薛定諤方程即第9頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四將(19)代入(20)得上式左乘<ψk′|，并利用本征函數(shù)的歸一性得其中初始條件在t時(shí)刻測(cè)量力學(xué)量F得到Fn值的概率是第10頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四即體系從初態(tài)ψk在t時(shí)刻躍遷到ψn態(tài)的概率是Pnk(t)單位時(shí)間內(nèi)的躍遷概率（躍遷速率）為如何求?第11頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四用微擾法近似求解零級(jí)近似：忽略H′的影響，按照(22)式有則根據(jù)式(24)有一級(jí)近似：在式(22)右邊，令由此得出一級(jí)近似解且隨時(shí)間緩慢變化，體系仍有很大的概率停留在原來的態(tài)。第12頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四積分得因此在準(zhǔn)確到微擾一級(jí)近似下有對(duì)k′≠k(初態(tài)不同于末態(tài))則上式是微擾一級(jí)近似下的躍遷概率公式。第13頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上述公式成立的條件是即躍遷概率很小，體系有很大的概率仍停留在初始狀態(tài)。選擇定則：若H具有某種對(duì)稱性使得H′k′k=0,則Pk′k=0，即在一級(jí)近似下，不能從初態(tài)k躍遷到末態(tài)k′,或者說從

k態(tài)躍遷到k′態(tài)是禁戒的，就相應(yīng)某種選擇定則。注:

(1)(2)如果初態(tài)和末態(tài)有簡(jiǎn)并，求躍遷概率時(shí)，應(yīng)對(duì)初始能級(jí)諸簡(jiǎn)并態(tài)求平均，對(duì)終止能級(jí)諸簡(jiǎn)并態(tài)求和第14頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如在中心力場(chǎng)中是從nlm態(tài)到n′l′m′態(tài)的躍遷概率(3)

量子躍遷并不意味著末態(tài)能量與初態(tài)能量不同，也可在同能級(jí)間躍遷，如彈性散射，此時(shí)此時(shí)躍遷概率為第15頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題2

設(shè)在時(shí)，一維諧振子處于基態(tài)，問經(jīng)過微擾時(shí)，處在第n個(gè)本征態(tài)|n>的概率。解：利用公式及產(chǎn)生與湮滅算符的性質(zhì)可知，只有，其它均為零后，在第16頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四躍遷概率為含時(shí)間微擾與定態(tài)微擾的關(guān)系定態(tài)微擾是含時(shí)微擾的一種近似，事實(shí)上，任何微擾總是與時(shí)間有關(guān)，如Stark效應(yīng)，外加電場(chǎng)的時(shí)間總是比原子的特征時(shí)間大很多，因此微擾隨時(shí)間的變化率可以認(rèn)為是足夠慢，此時(shí)可用定態(tài)微擾處理。第17頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§11.2

突發(fā)微擾與絕熱微擾11.2.1

突發(fā)微擾設(shè)體系受到一個(gè)突發(fā)但有限的微擾的作用對(duì)薛定諤方程兩邊積分，并取極限可得說明突發(fā)微擾不改變體系的狀態(tài)。例題3：考慮β-衰變釋放一個(gè)電子的持續(xù)時(shí)間第18頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四原子中1s軌道電子運(yùn)動(dòng)的特征時(shí)間為則在此短暫的過程中，β-衰變前原子中的一個(gè)K層電子的狀態(tài)還沒有來得及改變，但由于原子核電荷已經(jīng)改變，原來的狀態(tài)并不是新原子的能量本征態(tài)，即不是新的1s態(tài)，那么原子有多大概率處于新的1s態(tài)？K層電子的波函數(shù)是則K電子處于新原子1s態(tài)的概率是如Z=10,則P~0.9932第19頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四11.2.2絕熱微擾與突發(fā)微擾的極端情況相反，絕熱近似假定施于體系的微擾作用時(shí)間足夠長(zhǎng)，變化足夠慢。假定t→-∞時(shí)，體系處在無微擾狀態(tài)，在(0,-∞)的足夠長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)加入微擾，在t=0時(shí)，體系的哈密頓量為稱為絕熱因子。則若τ足夠大，則第20頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§11.3

周期微擾有限時(shí)間內(nèi)的常微擾考慮周期為微擾則在時(shí)刻t體系從初態(tài)k躍遷到末態(tài)k′的躍遷振幅是躍遷概率是第21頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四利用公式即可見，當(dāng)單位時(shí)間內(nèi)躍遷概率是第22頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四常微擾的躍遷概率設(shè)t=0時(shí)刻體系處在態(tài)Φk，在微擾作用下體系躍遷到連續(xù)分布或接近連續(xù)分布的末態(tài)Φm,

則躍遷概率為設(shè)微擾H′是個(gè)常數(shù)，只在(0,t)時(shí)間間隔內(nèi)起作用，則體系在t′=0時(shí)處于Φk態(tài)，在t′=t時(shí)躍遷到Φm態(tài)的概率幅為則(5)(6)(7)第23頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四利用公式，并作變量代換，則近似地單位時(shí)間內(nèi)的躍遷概率(躍遷速率)為費(fèi)米黃金規(guī)則即(8)(9)(10)(11)第24頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§11.4

能量-時(shí)間不確定度關(guān)系例題4

設(shè)粒子的初始狀態(tài)是Ψ1,Ψ2是粒子的兩個(gè)能量本征態(tài)，本征值為E1,E2，則粒子在空間的概率密度分布是其中可見：概率密度隨時(shí)間周期性變化，變化周期是第25頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四記則對(duì)定態(tài)有上式稱為能量-時(shí)間的不確定度關(guān)系也滿足不確定度關(guān)系。例題5

設(shè)自由粒子用一個(gè)波包來描述，波包的寬度為Δx,群速度是v，相應(yīng)于經(jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)速度。波包掠過空間某點(diǎn)所用的時(shí)間是Δt~Δx/v，此波包所描述的粒子的動(dòng)量的不確定度是因此能量不確定度是則第26頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題6

設(shè)原子處于激發(fā)態(tài)，它通過自發(fā)輻射而衰變到基態(tài)，壽命為τ。這是一個(gè)非定態(tài)，其能量不確定度是ΔE，稱為能級(jí)寬度Γ。由于壽命的限制，自發(fā)輻射光子相應(yīng)的輻射波列的長(zhǎng)度是Δx~cτ,因此光子動(dòng)量的不確定度是光子能量的不確定度是因此原子激發(fā)態(tài)能量也有一個(gè)相應(yīng)的不確定度，即能級(jí)寬度xvΓγ基態(tài)激發(fā)態(tài)第27頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四能量-時(shí)間不確定度關(guān)系的嚴(yán)格證明證明：設(shè)體系的Hamilton量為H，另外一個(gè)力學(xué)量是A,則有其中因?yàn)閯t第28頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四令表示力學(xué)量A的平均值改變?chǔ)所需要的時(shí)間則或?qū)懗缮鲜骄褪悄芰?時(shí)間不確定度關(guān)系。ΔE表示體系所處狀態(tài)能量的不確定度，Δt表示該狀態(tài)的性質(zhì)有明顯改變所需要的時(shí)間，或變化周期。第29頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例7

設(shè)末態(tài)是自由粒子動(dòng)量本征態(tài)在箱內(nèi)動(dòng)量的本征值為動(dòng)量在內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為動(dòng)量在內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為第30頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四則在能量間隔，角度在內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目為態(tài)密度為第31頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四概論眾所周知，光輻射和物質(zhì)之間存在相互作用，這種相互作用不僅偶爾會(huì)影響光輻射的傳播，更決定著光輻射被物質(zhì)的吸收和發(fā)射。經(jīng)典理論成功地描述了光輻射的傳播，然而卻無法正確描述光的吸收和發(fā)射。量子理論輝煌成就之一在于，能夠全面正確地描述光和物質(zhì)的相互作用，包括相互作用導(dǎo)致的光吸收和光輻射。盡管量子電動(dòng)力學(xué)理論本身還存在著問題，但可以說，它是迄今為止人類所建立的最成功、最精確的物理理論。輻射和物質(zhì)相互作用的全量子理論應(yīng)當(dāng)是從統(tǒng)一的量子化觀點(diǎn)處理相互作用著的雙方：電磁場(chǎng)和物質(zhì)粒子。就是說，非相對(duì)論量子電動(dòng)力學(xué)：粒子——原子及其中的電子遵從Schr?dinger方程，電磁場(chǎng)被量子化成為量子電磁場(chǎng)。相對(duì)論量子電動(dòng)力學(xué)：粒子遵從Dirac方程和Klein-Gordon方程，電磁場(chǎng)為量子電磁場(chǎng)。這便是常稱的量子電動(dòng)力學(xué)的輻射理論?！?1.5光的發(fā)射與吸收第32頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由于課程所限，這里只給出光場(chǎng)對(duì)物質(zhì)作用的量子力學(xué)理論，可稱作半量子理論：這個(gè)理論的實(shí)質(zhì)是對(duì)物質(zhì)中的原子、分子、電子采用量子力學(xué)的觀點(diǎn)，但對(duì)光場(chǎng)卻采用經(jīng)典電磁波觀點(diǎn)。于是成為如下一幅物理圖象：量子力學(xué)中的原子(及原子中的各層電子)在經(jīng)典電磁場(chǎng)的強(qiáng)迫振動(dòng)下，發(fā)生能級(jí)之間的量子躍遷，與此同時(shí)便產(chǎn)生出光子或湮滅光子。用半量子理論能夠給出光輻射和物質(zhì)相互作用的一部分正確結(jié)果，包括產(chǎn)生或湮滅光子的能量、譜線強(qiáng)度、偏振狀態(tài)、禁戒規(guī)則和角分布等等。但是，由于它的不徹底性，也如同非相對(duì)論量子力學(xué)的局限性一樣，不能解釋處于激發(fā)態(tài)原子的自發(fā)輻射、強(qiáng)輻射場(chǎng)中的多光子過程、以及光場(chǎng)中物質(zhì)粒子的產(chǎn)生和湮滅等進(jìn)一步的問題。

其中的自發(fā)輻射問題，愛因斯坦曾依據(jù)熱力學(xué)平衡的一般觀念，半唯象但卻是普適地處理了自發(fā)輻射和受激輻射之間的關(guān)系。第33頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.光的吸收與受激輻射設(shè)入射光是平面單色波，其電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為原子中的電子受到的電場(chǎng)力和洛倫茲力之比為因此在原子中只考慮電場(chǎng)的作用。定義：在光的照射下，原子可能吸收光從低能級(jí)躍遷到較高能級(jí)，或從高能級(jí)躍遷到較低能級(jí)并放出光，這種現(xiàn)象分別稱為光的吸收和受激輻射。處于激發(fā)態(tài)的原子，即使沒有外界光的照射也可能躍遷到某些較低的能級(jí)而放出光，這稱為自發(fā)輻射。受激輻射吸收自發(fā)輻射(1)第34頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若入射波是可見光，光的波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于玻爾半徑，則則原子內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度可簡(jiǎn)化為相應(yīng)的能量為其中取，直接利用周期性微擾公式得或只考慮光的吸收，且假定(3)(2)(4)(5)第35頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若入射光不是偏振光，光偏振（E0）完全是無規(guī)的，則則有若入射光是自然光而非單色光，則園頻率在ω→ω+dω中的能量密度為ρ(ω)dω,且則自然光射到原子上，單位時(shí)間內(nèi)的躍遷概率為(6)(7)(8)第36頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定義受激吸收系數(shù)顯然(2)選擇定則球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)原子的初態(tài)為，末態(tài)是即躍遷概率與入射光中園頻率為ωmk的光強(qiáng)度成正比，其它頻率成分對(duì)該躍遷沒有貢獻(xiàn)。(9)(10)(11)激發(fā)輻射系數(shù)第37頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四利用球諧函數(shù)間的關(guān)系可算出，只有當(dāng)時(shí)，r的矩陣元才不全為零，也即從k到m態(tài)的躍遷才可能發(fā)生，上述關(guān)系稱為偶極躍遷選擇定則(12)第38頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)是從εm→εk的自發(fā)輻射系數(shù)，它表示原子單位時(shí)間內(nèi)從εm自發(fā)躍遷到εk的概率是受激輻射系數(shù)。若作用于原子的光波在ω→ω+dω頻率范圍內(nèi)的能量密度為I(ω)dω，處在能級(jí)εm的原子受激躍遷到εk能級(jí)，并發(fā)出能量為?ωmk的光子的幾率是BmkI(ωmk).受激吸收系數(shù)，處在能級(jí)εk的原子,吸收能量為?ωkm的光子，受激躍遷到εm能級(jí)的概率為BkmI(ωkm).

(2)自發(fā)輻射與愛因斯坦理論

第39頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)原子和電磁輻射達(dá)到平衡后，有根據(jù)玻耳茲曼分布則與黑體輻射公式假定εm能級(jí)有Nm個(gè)原子，εk能級(jí)有Nk個(gè)原子，則(13)(14)(15)(16)第40頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四進(jìn)行對(duì)比，并利用即在偶極近似條件下有或得(17)，則可求出(18)(19)將式(15)、(16)代入得第41頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四討論：(1)自發(fā)輻射與受激輻射之比為當(dāng)時(shí)，在室溫下T=300K,則遠(yuǎn)大于可見光的波長(zhǎng)，波長(zhǎng)越小，頻率越高，可見在可見光區(qū)自發(fā)輻射遠(yuǎn)大于受激輻射。(2)自發(fā)輻射與受激輻射具有相同的選擇定則(3)處在受激態(tài)Φm的Nm個(gè)原子，在dt內(nèi)自發(fā)躍遷到Φk態(tài)的數(shù)目為積分得第42頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(4)單位時(shí)間內(nèi)原子自發(fā)輻射出的能量為處于Φm態(tài)的Nm個(gè)原子發(fā)出頻率為ωmk的總輻射強(qiáng)度為其中表示處在Φm態(tài)原子的壽命，求和對(duì)所有低于εm的能級(jí)進(jìn)行。第43頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題

8

計(jì)算氫原子自發(fā)衰變壽命解：波函數(shù)形式為則平均壽命為第44頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題9

電荷為q的線性諧振子在時(shí)間t=0時(shí)處于基態(tài)，t>0時(shí)處在的電場(chǎng)中，求振子處在各激發(fā)態(tài)的概率，并討論t很大時(shí)的概率。附:解：

因此只有基態(tài)向第一激發(fā)態(tài)躍遷是允許的第45頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因此第46頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題10

在用電子撞擊氫原子使氫原子升高到第一激發(fā)態(tài)的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，即使入射電子束具有單一能量，引起躍遷的電子在碰撞后的能量也不一樣。請(qǐng)解釋這一現(xiàn)象（注意原子受激態(tài)的壽命通常會(huì)很短）(2)實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到電子束能量起伏有數(shù)量級(jí)10-6eV，計(jì)算原子受激態(tài)的平均壽命。第47頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例題11

從恒溫器發(fā)出的溫度為1200K的銀原子蒸汽，穿過直徑為d的小圓孔打到屏上，屏與孔的距離L=1m（提示銀原子的能量為kT/2）.試用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系證明，用逐漸縮小小孔的辦法使打在屏上的斑點(diǎn)直徑無限減小是不可能的。(2)試估計(jì)用改變小孔直徑的辦法可能得到斑點(diǎn)的最小直徑解：

(1)粒子穿過小孔時(shí)坐標(biāo)的不確定度為設(shè)亮斑半徑為a，則亮班對(duì)小孔中心的張角為由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系第48頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四即顯然，考慮到測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，亮斑的直徑與小孔的直徑成反比，逐漸減小小孔的直徑無法使得亮斑的直徑無限減小。(2)如果不考慮銀原子的衍射，則小孔的直徑與亮斑的直徑相等；若考慮銀原子的衍射，則小孔的直徑小于亮斑的直徑。而當(dāng)小孔的直徑逐漸減小時(shí)，則亮斑的直徑也逐漸減小，當(dāng)孔的直徑小到與銀原子的波長(zhǎng)相當(dāng)時(shí)，開始出現(xiàn)衍射現(xiàn)象，即亮斑的直徑開始增大，孔的直徑越小，亮斑的直徑就越大。因此，亮斑的最小直徑就是銀原子的德布羅意波長(zhǎng)。根據(jù)題目所給條件可求出銀原子的波長(zhǎng)。第49頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題12

處于基態(tài)的氫原子受到脈沖電場(chǎng)的作用，用微擾論計(jì)算電子躍遷到各激發(fā)態(tài)的概率，以及仍停留在基態(tài)的概率。解：自由氫原子的哈密頓為H0，能級(jí)為En。本征方程是設(shè)脈沖電場(chǎng)沿z軸方向，則微擾哈密頓為因此t時(shí)刻電子躍遷到ψn態(tài)的概率是第50頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四電子仍留在基態(tài)的概率是第51頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題13

已知兩種中微子的本征態(tài)為能量本征值為電子中微子的本征態(tài)為μ子中微子的本征態(tài)為其中θ是混合角。某體系在t=0時(shí)刻，電子中微子處于態(tài)求：1)t時(shí)刻中微子所處的狀態(tài)；2)t時(shí)刻中微子處于基態(tài)的概率。解：第52頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題14

設(shè)粒子所處的外場(chǎng)均勻，但與時(shí)間有關(guān)，即V=V(t),與坐標(biāo)r無關(guān)。試將體系的含時(shí)薛定諤方程分離變量，求方程解ψ(r,t)的一般形式。并取V(t)=V0cosωt,以一維情形為例說明V(t)的影響是什么。解：令代入薛定諤方程得兩邊同除ψ(x)f(t)可得第53頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解得若取則則總的波函數(shù)是顯然，外場(chǎng)的作用僅是給平面波提供了一個(gè)受時(shí)間調(diào)制的相角。第54頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題15.

設(shè)基態(tài)氫原子處于弱電場(chǎng)中，微擾哈密頓為求：(1)很長(zhǎng)時(shí)間后(t>>τ)電子躍遷到激發(fā)態(tài)的概率。已知(2)基態(tài)電子躍遷到下列哪個(gè)態(tài)的概率為零，簡(jiǎn)述理由第55頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：微擾為

初態(tài)波函數(shù)為利用第56頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2012年復(fù)旦大學(xué)量子力學(xué)研究生入學(xué)試題(第一題必做，第二至第七題作其中五題)一、1)寫出量子力學(xué)五個(gè)基本假設(shè)2)分別寫出在動(dòng)量表象和坐標(biāo)表象下的薛定諤方程3)動(dòng)量和坐標(biāo)的某種對(duì)易關(guān)系（不全）4)求σx的本征值和本征態(tài)5)求Lz的本征值和本征函數(shù)二、計(jì)算波函數(shù)某個(gè)算符的平均值三、t<0時(shí)電子處于磁場(chǎng)B=B0e1中，并處于自旋向上態(tài)。t>0時(shí)加入了磁場(chǎng)B′=B1sin2ω0te2+B2cos2ω0te3,(ei是單位矢量)(1)求t>0時(shí)電子的波函數(shù)；(2)畫出Sz隨時(shí)間的變化；(3)第57頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四四、計(jì)算各能級(jí)的二級(jí)近似能量五、兩個(gè)自旋為1/2的粒子，磁矩分別是μ1和μ2，兩粒子的距離

a=AZ(Z為矢量)，兩粒子受磁矩相互作用(1)以S1、S2表示H(2)在(S2,Sz)表象中表示H(3)求哈密頓H的本征值六、堿金屬原子處于勢(shì)場(chǎng)(1)求所有能級(jí)，并與氫原子能級(jí)比較；(2)第58頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四七、求中心力場(chǎng)中高能散射振幅及微分截面參考答案：三、解：電子與磁場(chǎng)相互作用的哈密頓是第59頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四初始條件五、解：第60頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2012年中國(guó)科技大學(xué)量子力學(xué)研究生入學(xué)試題(20分)質(zhì)量為m的粒子被限制在半徑為R的平面圓周上運(yùn)動(dòng)(轉(zhuǎn)子)，已知開始時(shí)體系處于狀態(tài)A為常數(shù)。(1)寫出t時(shí)刻系統(tǒng)的波函數(shù)；(2)求出t時(shí)刻系統(tǒng)的平均能量2.（30分）一個(gè)質(zhì)量為m的粒子在下面的一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)其中a,A為常數(shù)第6