土中應(yīng)力分布及計(jì)算

土中應(yīng)力分布及計(jì)算1第1頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Ⅰ概述建筑物建造→地基應(yīng)力改變→地基變形→基礎(chǔ)沉降建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)時(shí)必須計(jì)算地基變形，且必須將其控制在允許范圍內(nèi)。為此，首先要計(jì)算地基應(yīng)力。地基應(yīng)力包括：

1、自重應(yīng)力——土本身自重引起。在建筑物建造前即存在，故又稱為初始應(yīng)力。

2、附加應(yīng)力——建筑物荷載引起。一般采用彈性理論計(jì)算。地基應(yīng)力改變是引起建筑物基礎(chǔ)沉降的主要原因，地基的穩(wěn)定也與應(yīng)力密切相關(guān)。因此必須重視應(yīng)力的計(jì)算。2第2頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Ⅰ概述強(qiáng)度問題變形問題地基中的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系土力學(xué)中應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定應(yīng)力狀態(tài)自重應(yīng)力附加應(yīng)力基底壓力計(jì)算有效應(yīng)力原理建筑物修建以后，建筑物重量等外荷載在地基中引起的應(yīng)力，所謂的“附加”是指在原來自重應(yīng)力基礎(chǔ)上增加的壓力。建筑物修建以前，地基中由土體本身的有效重量所產(chǎn)生的應(yīng)力。3第3頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四yzx∞∞∞∞∞o一.土力學(xué)中應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定

Ⅰ概述地基：半無(wú)限空間4第4頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Ⅰ概述莫爾圓應(yīng)力分析材料力學(xué)+-+-土力學(xué)正應(yīng)力剪應(yīng)力拉為正壓為負(fù)順時(shí)針為正逆時(shí)針為負(fù)壓為正拉為負(fù)逆時(shí)針為正順時(shí)針為負(fù)5第5頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四③均勻一致各向同性體（土層性質(zhì)變化不大時(shí)）②線彈性體（應(yīng)力較小時(shí)）①連續(xù)介質(zhì)（宏觀平均）與(x,y,z)無(wú)關(guān)與方向無(wú)關(guān)

理論

方法——彈性力學(xué)解求解“彈性”土體中的應(yīng)力——解析方法優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單，易于繪成圖表等碎散體非線性彈塑性成層土各向異性Δσεεpεe線彈性體加載卸載土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的假定

6第6頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Ⅱ土中自重應(yīng)力

假設(shè)天然地面為一無(wú)限大的水平面，地基土質(zhì)均勻，則由對(duì)稱性（任一豎直面均為對(duì)稱面）可知，在任一豎直面和水平面上，均無(wú)剪應(yīng)力存在，且在地面下任意深度z處水平面上的豎向自重應(yīng)力即為該水平面上任一單位面積的土柱體自重，即：理由：由于側(cè)面無(wú)剪應(yīng)力，則任一底面積為s

的土柱在z處水平面上產(chǎn)生的豎向應(yīng)力為：這表明沿水平面均勻分布，沿深度直線分布。7第7頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四均質(zhì)地基自重應(yīng)力除豎向自重應(yīng)力外，地基中還有側(cè)向自重應(yīng)力。由于在任一水平面上都均勻地?zé)o限分布，故地基土在自重應(yīng)力作用下只能產(chǎn)生豎向變形，而不能發(fā)生側(cè)向變形和剪切變形，即有，。則由彈性力學(xué)中的廣義虎克定律有：式中，E0為土的變形模量；為土的泊松比。因此，均質(zhì)地基中的任意一點(diǎn)自重應(yīng)力為：其中，稱為土的側(cè)壓力系數(shù)或靜止土壓力系數(shù)。8第8頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四成層地基自重應(yīng)力只有有效應(yīng)力，才能使土粒彼此擠緊，從而引起土體變形。而自重應(yīng)力作用下的土體變形一般均已完成（欠固結(jié)土除外），故自重應(yīng)力通常均指自重有效應(yīng)力，計(jì)算自重有效應(yīng)力時(shí)對(duì)地下水位以下土層必須以有效重度代替天然重度。出于簡(jiǎn)化和習(xí)慣，除非特別說明，以后將最常用的豎向自重有效應(yīng)力簡(jiǎn)稱為自重應(yīng)力。對(duì)于成層地基（具有成層土的地基），自重應(yīng)力計(jì)算式為：n—從地面到深度z處的土層總數(shù)；

—深度處的自重應(yīng)力，kPa；

—第i層土的天然重度，地下水位以下的土層取，kN/m3；hi—第i層土的厚度，m。9第9頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四注意點(diǎn)（1）地下水位面應(yīng)作為分界面；（2）地下水位以下如有不透水層（巖層或硬粘土層），由于不存在水的浮力，故層面及層面以下的自重應(yīng)力按上覆土層和水總重計(jì)算。自重(有效)應(yīng)力也可由有效應(yīng)力原理計(jì)算。例如，先計(jì)算自重總應(yīng)力(此時(shí)對(duì)地下水位以下土層必須采用飽和重度)，然后計(jì)算靜止水壓力u,則自重(有效)應(yīng)力。10第10頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【例題1】

地基土層分布如下圖示，土層1厚度為3.0m，土體重度kN/m3，飽和重度kN/m3，土層2厚度為4.0m，土體重度，飽和重度，地下水位離地面2.0m。計(jì)算土中自重總應(yīng)力和有效應(yīng)力沿深度分別情況。11第11頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解答【解】先計(jì)算圖中A、B、C和D四點(diǎn)處的總應(yīng)力和有效應(yīng)力，然后畫出分布圖。A點(diǎn)：z=0.0m，kPa,u=0kPa,=0kPaB點(diǎn)：z=2.0m，kPa,u=0,=37.0kPaC點(diǎn)：z=3.0m，kPa,u=10.01=10kPa,55.810=45.8kPaD點(diǎn)：z=7.0m，kPa,u=10.05=50kPa,130.250=80.2kPa

地基中自重總應(yīng)力、自重(有效)應(yīng)力和靜止孔隙水壓力沿深度分布如上圖所示。12第12頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四地下水位的影響地基土形成至今一般已很長(zhǎng)時(shí)間，故如前所述，自重應(yīng)力所引起的地基變形早已發(fā)生并已穩(wěn)定，可不再考慮。但對(duì)于新近沉積土，應(yīng)考慮它在自重應(yīng)力作用下的變形。此外，地下水位的升降會(huì)引起土中自重應(yīng)力的變化,并導(dǎo)致地基變形：（1）水位下降（抽地下水），將使自重應(yīng)力增大，從而引起大面積地面下沉。（2）水位上升（下雨，筑壩蓄水），將使自重應(yīng)力減少。對(duì)濕陷性土應(yīng)注意由此引起的地面下沉。13第13頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Ⅲ基底壓力計(jì)算機(jī)分布基底壓力:

建筑物基礎(chǔ)底面與地基之間的接觸應(yīng)力。它既是基礎(chǔ)作用于基底地基土的壓力，同時(shí)又是地基土反作用于基底的反力。（作用力與反作用力）要計(jì)算地基中由建筑物荷載產(chǎn)生的應(yīng)力，首先須知道基底壓力?；讐毫εc基礎(chǔ)大小、剛度、荷載大小和分布有關(guān)，這些因素使得基底壓力的分布非常復(fù)雜,精確計(jì)算也十分困難。出于簡(jiǎn)化和實(shí)用的目的，一般將基底壓力近似為直線分布，并按材料力學(xué)中的公式計(jì)算。14第14頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、基底壓力的簡(jiǎn)化計(jì)算（一）中心荷載下的基底壓力（kPa）式中：F=作用于基礎(chǔ)上的豎向力設(shè)計(jì)值（kN）；G=基礎(chǔ)及其上回填土總重（kN），即，其中kN/m3，地下水位以下取有效重度;d=基礎(chǔ)埋深(m)，從室內(nèi)外平均設(shè)計(jì)地面(即±0.00標(biāo)高)算起；A=基底面積(m2)，對(duì)矩形：A=lb(長(zhǎng)×寬)；對(duì)于條形基礎(chǔ)：沿長(zhǎng)度方向取1單位長(zhǎng)度計(jì)算(即取l=1)，故A=b×1=b。15第15頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（二）偏心荷載下矩形基礎(chǔ)的基底壓力1、單向偏心荷載下一般取基底長(zhǎng)邊方向與偏心一致。短邊邊緣最大和最小壓力設(shè)計(jì)值：（材料力學(xué)中的短柱偏心受壓公式）

式中:M=(F＋G)e，作用于基底的力矩設(shè)計(jì)值；e=偏心距；，基礎(chǔ)底面的抵抗矩。將M=(F+G)e代入有：16第16頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四討論(a)當(dāng)e<l/6，pmin>0，基底壓力呈梯形分布(b)當(dāng)e=l/6，pmin=0，基底壓力呈三角形分布(c)當(dāng)e>l/6，pmin<0，局部壓力為負(fù)，如虛線所示。但由于地基土不能承受拉力（即負(fù)壓力，此時(shí)，地基土將與基礎(chǔ)脫開），基底壓力將重新分布。根據(jù)偏心荷載應(yīng)與基底反力相平衡的條件，荷載(F+G)應(yīng)通過三角形反力分布的形心（實(shí)線，k=l/2–e），由此有：?jiǎn)蜗蚱暮奢d下矩形基礎(chǔ)的基底壓力分布17第17頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．雙向偏心荷載下基礎(chǔ)四個(gè)角點(diǎn)處壓力：式中，Mx，My=荷載合力分別對(duì)x和y軸的力矩設(shè)計(jì)值，即：Mx

=ey

(F+G)，My

=ex

(F+G)；；。18第18頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、基底附加壓力基底附加壓力：基礎(chǔ)及上部結(jié)構(gòu)在基底平面處產(chǎn)生的新（凈）壓力。因?yàn)榈鼗林写嬖谧灾貞?yīng)力。因此，基底平面處的土體在建筑物建造前即已經(jīng)受了該處自重應(yīng)力（或即該平面以上上覆土重）的作用，而前面所述的基底壓力顯然包含著這部分應(yīng)力。因此，在基底壓力中扣除基底平面處原有的自重應(yīng)力，才是新增加于基底平面處的附加壓力（即凈壓力）。此即基底附加壓力p0，故有：其中p=基底的平均壓力設(shè)計(jì)值；=基底處的自重應(yīng)力；=基礎(chǔ)底面以上天然土層的厚度加權(quán)重度，地下水位以下取有效重度；d=基礎(chǔ)埋深，一般從天然地面算起（當(dāng)d=0，p0=p），但對(duì)新填土場(chǎng)地則應(yīng)從老天然地面算起。19第19頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Ⅳ地基中附加應(yīng)力已知基底附加應(yīng)力，利用彈性半空間理論計(jì)算表面局部荷載作用下地基的附加應(yīng)力。這雖然是近似的，但誤差可略（對(duì)一般淺基礎(chǔ)而言）。地基附加應(yīng)力：建筑物荷重在土體中引起的附加于原有應(yīng)力之上的應(yīng)力。即基底附加壓力在地基土中引起的應(yīng)力。計(jì)算方法：假定地基為均質(zhì)的線彈性半空間體、不考慮基礎(chǔ)剛度（即將基底壓力視為柔性荷載）、直接利用彈性力學(xué)中的彈性半空間理論解。實(shí)際問題按彈性力學(xué)可分為三類：20第20頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1地表集中力下地基中附加應(yīng)力雖然理論上的集中力實(shí)際上是不存在的，但集中力作用下彈性半空間地基理論解（即布辛涅斯克解）是求解其他形式荷載作用下地基中附加應(yīng)力分布的基礎(chǔ)。（一）布辛涅斯克解（法國(guó)Boussinesq，1885）圖2-3集中荷載作用下地基中應(yīng)力21第21頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解答（應(yīng)力）集中力P作用下半空間內(nèi)任一點(diǎn)M（x，y，z）處的應(yīng)力分量（６個(gè)）和位移分量（３個(gè)）解答：(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)22第22頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解答（位移）式中：,土體剪切模量；E=土體彈性模量(即變形模量)；μ＝土體泊松比；，M點(diǎn)距荷載作用點(diǎn)（坐標(biāo)原點(diǎn)）距離；。從式（2.3）可見，與土的參數(shù)E、μ無(wú)關(guān)，因此應(yīng)用很方便，在地基應(yīng)力與變形計(jì)算中應(yīng)用最廣。注意：當(dāng)R=0，所有應(yīng)力和位移分量均為∞，故不合理，因此選擇計(jì)算點(diǎn)不應(yīng)過于接近集中力作用點(diǎn)。(2.7)(2.8)(2.9)23第23頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2地面均布荷載下地基中附加應(yīng)力本節(jié)介紹線均布荷載、條形均布荷載、矩形均布荷載和圓形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算。線荷載和條形荷載：荷載長(zhǎng)度l→∞且沿l方向（即y方向）不變的荷載。屬平面問題：位移：u，v＝0，w；應(yīng)力:，，。例如：墻基、擋土墻基礎(chǔ)、路基、壩基等對(duì)地基施加的荷載。計(jì)算表明：，即當(dāng)l

10b，矩形荷載就可視為條形荷載。24第24頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、線均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算—

弗拉曼（Flamant）解線均布荷載（kN/m）即為半空間平面上均布于無(wú)限長(zhǎng)直線上的荷載。沿y軸某微段dy上的分布荷載以集中力P＝pdy代替，利用布氏解式（2.3）可得P在任一點(diǎn)M引起的應(yīng)力：則(4.3.10)式中，。同理利用布氏解有：

可見解與y無(wú)關(guān)，即在與y軸垂直的任意平面上的應(yīng)力狀態(tài)均相同。均布線荷載作用下地基中應(yīng)力25第25頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、條形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算條形均布荷載（kPa）如圖所示。沿x軸某微分段上的荷載可用線荷載代之，則由式（2.10）可得該線荷載在M點(diǎn)產(chǎn)生的應(yīng)力即：整個(gè)條形荷載在M點(diǎn)產(chǎn)生的附加應(yīng)力由積分法得:R1均布條形荷載作用下地基中附加應(yīng)力26第26頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四附加應(yīng)力計(jì)算（續(xù)）類似可得:

為便于工程設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)用，常將地基中附加應(yīng)力分量采用應(yīng)力系數(shù)與p的乘積表示，即式中Kz，Kx，Kxz=應(yīng)力系數(shù)，由和值（B=2b）查表3-4確定。（2.17）（2.18）（2.19）27第27頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表3-4條形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力系數(shù)

28第28頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【例題2】地基上作用有寬度為1.0m的條形均布荷載，荷載密度為200kPa，求（1）條形荷載中心下豎向附加應(yīng)力沿深度分布；（2）深度為1.0m和2.0m處土層中豎向附加應(yīng)力分布；（3）距條形荷載中心線1.5m處土層中豎向附加應(yīng)力分布?！窘狻肯惹髨D4-6中0~17點(diǎn)的x/B和z/B值，然后查條形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力系數(shù)表4-1可得應(yīng)力系數(shù)Kz值，再由p=200kPa及式(2.11),即計(jì)算附加應(yīng)力值，計(jì)算結(jié)果如表和圖所示。29第29頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四計(jì)算結(jié)果表

30第30頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四小結(jié)從該例題計(jì)算結(jié)果可以看出：（1）以基礎(chǔ)中軸線為對(duì)稱軸沿水平方向?qū)ΨQ分布、擴(kuò)散，分布、擴(kuò)散范圍遠(yuǎn)超出荷載寬度。（2）在水平方向上,附加應(yīng)力在基礎(chǔ)中軸線上最大，向外逐漸減小。（3）在荷載范圍內(nèi)任一垂線上，隨深度的增大而減小。z=0處。（4）在荷載范圍外任一垂線上，先隨深度增大而后隨深度減小。z=0處。（5）在荷載邊緣點(diǎn)（z=0，x＝±B/2），不連續(xù)。31第31頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四應(yīng)力泡地基附加應(yīng)力等值線圖即附加應(yīng)力相等的點(diǎn)的連線，可清楚表達(dá)荷載的影響范圍。從圖2-7所示的應(yīng)力泡可見，若認(rèn)為可不計(jì)，則條形均布荷載的影響寬度為荷載寬度的4倍、影響深度為荷載寬度的6倍。此外計(jì)算還表明：的影響范圍較淺；的最大值出現(xiàn)于荷載邊緣，表明基礎(chǔ)邊緣最易發(fā)生破壞。圖2-7條形荷載作用下地基中豎向附加應(yīng)力等值線32第32頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、矩形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算1）荷載角點(diǎn)下的地基附加應(yīng)力在荷載面內(nèi)取微元dxdy，微元上的分布荷載以集中力P=pdxdy來代替，則由布辛涅斯克解可得角點(diǎn)O下深度為z的M點(diǎn)處由該集中力引起的豎向附加應(yīng)力。由式（2.3）可得：整個(gè)矩形荷載在M點(diǎn)產(chǎn)生的由積分法得，即：其中角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)，由m=l/b,n=z/b

查表3-2得。均布矩形荷載作用下地基中豎向附加應(yīng)力33第33頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表3-2矩形均布荷載角點(diǎn)下豎向附加應(yīng)力系數(shù)Kz1

34第34頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表3-2矩形均布荷載角點(diǎn)下豎向附加應(yīng)力系數(shù)Kz1（續(xù)）

35第35頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）其他點(diǎn)下地基附加應(yīng)力采用角點(diǎn)法計(jì)算：即通過計(jì)算點(diǎn)o將原矩形荷載分成若干個(gè)新矩形荷載，從而使O成為劃分出的各個(gè)新矩形的公共角點(diǎn)，然后再根據(jù)迭加原理計(jì)算。共有以下四種情況：

(a)O點(diǎn)在荷載面的邊緣：其中KzI

、KzII

為相應(yīng)于面積Ⅰ和Ⅱ的角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)。

(b)O點(diǎn)在荷載面內(nèi)：

當(dāng)O位于荷載中心，則有：其中KzI

、KzII、KzIII

、KzIV

為相應(yīng)于面積I、II、III、IV的角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)。ⅡⅠOⅠⅡⅣⅢO36第36頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）其他點(diǎn)下地基附加應(yīng)力（續(xù)）

(c)O點(diǎn)在荷載面的邊緣外側(cè)：荷載面（abcd）＝面積Ⅰ（ofbg）－面積Ⅱ（ofah）

+面積Ⅲ（oecg）－面積Ⅳ（oedh）則：(d)O點(diǎn)在荷載面的角點(diǎn)外側(cè)荷載面（abcd）＝面積Ⅰ（ohce）－面積Ⅱ（ohbf）－面積Ⅲ（ogde）+面積Ⅳ（ogaf）則：必須注意:在角點(diǎn)法中，查附加應(yīng)力系數(shù)時(shí)所用的l和b均指劃分后的新矩形（如ofbg、ohce等）的長(zhǎng)和寬。hbgcfoeadahbcofegd37第37頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4．圓形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算設(shè)圓形均布荷載作用面半徑為R，荷載密度為p，采用圓柱坐標(biāo)，如圖所示。地基中任意點(diǎn)M（θ，r，z）處的應(yīng)力分量表達(dá)式如下：式中Kz=圓形均布荷載作用下的附加應(yīng)力系數(shù)，由r/R

和z/R值查表3-5確定。特別當(dāng)r=0(即在圓形荷載作用面中心點(diǎn)以下)，地基中豎向應(yīng)力可表為：

均布圓形荷載作用下地基中附加應(yīng)力38第38頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四表3-5圓形均布荷載作用下的應(yīng)力系數(shù)

39第39頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.3.3地面上作用有三角形和梯形分布荷載地基中附加應(yīng)力計(jì)算1、地面上作用有三角形分布荷載地基中附加應(yīng)力計(jì)算三角形分布（矩形）荷載（kPa）如圖所示，荷載密度p沿x方向線性變化，即，則微面積dxdy上的微集中荷載。它在角點(diǎn)1（即x=0,p=0處）引起的附加應(yīng)力為：

三角形分布矩形荷載作用下地基附加應(yīng)力40第40頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四附加應(yīng)力表達(dá)式整個(gè)三角形分布荷載在角點(diǎn)1引起的附加應(yīng)力為：同理可得，角點(diǎn)2（即x=B,p=p0處）附加應(yīng)力：式中Kz1和Kz2為三角形分布荷載角點(diǎn)1和2下的附加應(yīng)力系數(shù)