九年級(jí)數(shù)學(xué)方程和方程組的解法

初三數(shù)學(xué)方程和方程組的解法例題解析一.本周教學(xué)內(nèi)容：方程和方程組的解法方程和方程組的解法是方程知識(shí)的核心內(nèi)容。同學(xué)們要靈活掌握方程解法的多樣性。例1.寫(xiě)出一個(gè)以x=3為根的一元一次方程。分析：這是一道考查學(xué)生發(fā)散思維能力的試題。答案不唯一，題目是已知方程的解，來(lái)構(gòu)造方程，可求出x—3=0或2x—6=0等。例2,求關(guān)于x的一元一次方程&2一1)xk-i+(k-1)x-8=0的解。分析：由已知可知原方程為一元一次方程，分兩種情況：(1)當(dāng)指數(shù)k—1=1時(shí)，即k=2時(shí)，原方程化為3x+x—8=0,解之得：x=2；⑵當(dāng)k2—1=0且k—1W0時(shí)，也就是當(dāng)k=—1時(shí)，原方程化為一2x—8=0,解之得：x=—4,所以原方程的解為x=2或x=—4。答：x=2或x=—4例3.填空:當(dāng)a，b時(shí)，方程ax+1=x-b有唯一解。當(dāng)a，b時(shí)，方程ax+1=x-b無(wú)解。Sa_，b_時(shí)，方程ax+1=x-b有無(wú)窮多解。分析：本題實(shí)質(zhì)就是解方程ax+1=x-b根據(jù)解方程的步驟，原方程可化為(a-1)x=-(b+1)此方程分三種情況解：(1)當(dāng)a-1中0，即a中1時(shí)，原方程有唯一解。(2)當(dāng)@-1=0，-(b+1)中0，即a=1，bw-1時(shí)，原方程無(wú)解。(3)當(dāng)a-1=0，-(b+1)=0，即a=1，b=-1時(shí)，原方程有無(wú)窮多解。通過(guò)此題，總結(jié)出一般規(guī)律：方程ax=b的解b(1)當(dāng)a中0時(shí)，方程的解為x=-；a(2)當(dāng)@=0，b中0時(shí)，方程無(wú)解；(3)當(dāng)a=0，b=0時(shí)，方程的解為全體實(shí)數(shù)。例4,已知卜-2y-3|+(x+3y+2)2=0，求x+y的值。分析：兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,則這兩個(gè)數(shù)須同時(shí)為0。所以解方程組[x-2y-3=0求出X、y,再計(jì)算x+y的值。[x+3y+2=0TOC\o"1-5"\h\zfx—2y—3=0 <1>解：由已知，得：1 ）[x+3y+2=0 <2>由<2>-<1>得：5y+5=0,/.y=-1將y=-1代入<1>得:x-2（-1）-3:0得：x=1fx=1'[y=-1「.x+y=0例5.如果x=2是方程x2-kx-k-5=0的一個(gè)根，求k的值，并求出另一個(gè)根。分析一：本題考查了對(duì)方程中的未知數(shù)和參數(shù)的認(rèn)識(shí)，以及未知數(shù)與參數(shù)之間的互相轉(zhuǎn)化。由條件“x=2是方程x2-kx-k-5=0的一個(gè)根”可知x2-kx-k-5=0是以x為未知數(shù)，k為參數(shù)的方程，但把x=2代入方程后，x由未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知數(shù)，方程則轉(zhuǎn)化為以k為未知數(shù)的方程了，實(shí)際上將通過(guò)解關(guān)于k的方程來(lái)求k的值。解法一：由于x=2是方程x2-kx-k-5=0的一個(gè)根，所以把x=2代入方程，得：22-2k-k-5=0，k=-13原方程為x2-1-^xj-1-J-5=0即3x2+x-14=0左邊因式分解：（3x+7）（x-2）=0x=-—，x=21 3 2

1—371—37——3說(shuō)明：本題如果把“求k的值”一問(wèn)去掉，直接求“另一個(gè)根”那么“求k的值”將成為解題者需主動(dòng)采取的步驟，將能體現(xiàn)對(duì)能力的更高要求，值得注意。例6.從下列四個(gè)選項(xiàng)中選出合適的一項(xiàng)，將題目補(bǔ)充完整后再解答。如果a是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根，并且aW0,求的值。A.abB.-C.a+bD.a-ba解析：解答這類(lèi)“完善試題”的問(wèn)題應(yīng)著眼于題設(shè)條件，看從中能推出何種結(jié)果。由a是方程的根，得：a2+ab+a=0,/a中0,，a+b+1=0,即a+b=-1應(yīng)選Co例7.解方程：2x(x-3)=5(x-3)分析：本題應(yīng)該用因式分解方法來(lái)解。注意在方程變形過(guò)程不能用含未知數(shù)的代數(shù)式去除方程兩邊，這道題不能用(x—3)除方程兩邊，否則可能導(dǎo)致丟根。解：:2x(x-3)=5(x-3)「.2x(x-3)-5(x-3)=0即(2x-5)(x-3)=0. 5 2，x=一,x=31 2 2例8,解方程：一1一-8x2+12=02x2-3分析：若按一般解分式方程的方法解，去分母后，將出現(xiàn)關(guān)于x的4次方程，計(jì)算較難。觀察一8x2+12,有因式2x2—3,所以可使用換元法解方程。本題不能很明顯地看出使用換元法。需先進(jìn)行變形，這是對(duì)學(xué)生主動(dòng)使用數(shù)學(xué)方法能力的考查，也是對(duì)能力水平的較高要求。解：方程變形為：一1—-4(2x2-3)=02x2-3設(shè)y=2x2-3,原方程化為：1-4y=0y4y2-1=0

1y=+—2經(jīng)檢驗(yàn)：y=±-都是-4y=0的根。2yTOC\o"1-5"\h\z1 ,v7由y=可得：2x2—3=,「.x=±—2 2由y=——可得：2x2—3=——, x=±~^2 2 2.<-7 5???原方程的根為x=±—或x=±—22例9,用配方法解方程：3x2—7x+4=0分析：配方法作為一種重要的數(shù)學(xué)方法，同學(xué)們要掌握。解：移項(xiàng)，得：3x2—7x=-4TOC\o"1-5"\h\z、一一一，一一7 4方程各項(xiàng)都除以3,得：x2-7x=-43 3. 7 ⑺2 4⑺2配方，得：x36——x+—I=——十—I36例10.若關(guān)于x的方程上”1二0有增根，求a例10.若關(guān)于x的方程上”1二0有增根，求a的值。分析：分式方程有增根，則分母為0；又因?yàn)榉质街禐?,所以分子必為0。注意，，不能把x=3代入原分式方程求a的值。Ix2—4x+a—1=0解：由題意得：《lx—3=0解得：a=4例H.若方程x2-x-a=0與方程x2+ax+1=0有一個(gè)相同的根，求a的值。分析：要求a的值，須先列方程求出這個(gè)相同的根，再代入原方程中求a。解：根據(jù)題意，得：x2-x-a=x2+ax+1二.(a+1)x=-(a+1),/x2-x-a=0有根,\A=1+4a>0,a>-14/.a2—1」.x=-1將*=-1代入x2-x-a=0中得：a=2例12.解關(guān)于x的方程20m2x2+11mnx-3n2=0(m*0)解法一：原方程可變形為：(5mx-n)(4mx+3n)=05mx-n=0或4mx+3n=0n 3n,/m豐0，，x=——，x= 5m24m解法二：:a=20m2，b=11mn，c=-3n2b2-4ac=(11mn)2-4x20m2xJ3n2)=361m2n2又,/m中0-11mn土％361m2n2 -11mn土19mn「.x= = x20m2 40m2n 3n，x=——，x= 15m24m說(shuō)明：解字母系數(shù)方程時(shí)，除了要分清已知數(shù)和未知數(shù)，還要注意題目中給出的條件，要根據(jù)條件說(shuō)明方程兩邊除以的代數(shù)式的值不等于0。例13.已知|m-2|=1，試解關(guān)于x的方程mx(x-2)+2=(x+1)(x-1)解：由|m-2|=1得：m-2=±1，m=3,m=1原方程整理得：(m-1)x2-2mx+3=0當(dāng)m=3時(shí)，原方程為2x2—6x+3=03+<3 3-、達(dá)解得:x二 ,x二 解得:12 2 2當(dāng)m=1時(shí)，原方程為-2x+3=0 3解得：x=-3+二3—<3x二 ,x二 12 22Sm=1時(shí)，.填空題。.已知關(guān)于x的方程(2k—1)x2+k(x—1)2=k—3是一元二次方程，則k的取值范圍是.已知x=<3是方程x2+(a-1)x+a=0的一個(gè)根，則a=.完成下面配方：x2-8x+( )=( )23x2+-x+( )=( )2.如果關(guān)于x的方程7x2+px+q=0的兩個(gè)根為2和-3,那么二次三項(xiàng)式7x2+px+q可分解為一元二次方程x2-4=0的根為。fx=36.當(dāng)k= 時(shí)，方程x+ky+1=0有一組解是《 3。[y:27.在解方程屋-1)-2x2-1=0時(shí)，通過(guò)換元并整理得方程y2-2y-3=0,則y=8.將二次三項(xiàng)式x2+6x+7進(jìn)行配方，得。.解方程或方程組。2x2—5=05x2+2=2(1一x)-x(x-2^2(x-3)2+2(x2-1)=4x+1x2-4，3x+10=0x2-6x+3=0(配方法)2x2+x-1= x2+x7.|x+y=08.解方程組'8.[3x2-2y2-2x-3=09.解關(guān)于x的方程：6m2x2+5mx-6=0(m豐0)10.解方程：(x+5)2+(2x-1)2=2(x+5)(2x-1)+54［參考答案］.填空題。1.k豐3的實(shí)數(shù) 2.3-2、；3， 9 3(1)16,x-4；(2)—,x+-16 47(x-2)(x+3)x1=22,x2=72-2y1=3,y2=-1(x+3)2-2.解方程或方程組。1.2.3.4.=2<3+■<2=4.=2<3+■