第六章 力系的簡化與平衡

第六章力系的簡化與平衡一、 目的要求平面匯交力系（多個力）簡化與平衡的幾何法和解析法，并能應(yīng)用平衡條件求解平面匯交力系的平衡問題。力偶系的簡化與平衡。了解空間力系向一點簡化的方法，明確空間力系合成的四種結(jié)果。深入理解平面力系的平衡條件及平衡方程的三種形式。能熟練地計算在平面任意力系作用下單個剛體和物體系統(tǒng)平衡問題。理解簡單桁架的簡化假設(shè)，掌握計算其桿件內(nèi)力的節(jié)點法和截面法及其綜合作用。會應(yīng)用各種形式的空間力系平衡方程求解簡單空間平衡問題。對平行力系中心和重心應(yīng)有清晰的概念，能熟練地應(yīng)用坐標(biāo)公式求物體的重心。牢固掌握滑動摩擦的性質(zhì)，深刻理解庫侖摩擦定律的內(nèi)涵，熟練求解考慮滑動摩擦?xí)r的平衡問題（解析法、幾何法）。了解全反力、摩擦角、自鎖等概念，了解滾動摩擦現(xiàn)象。二、 基本內(nèi)容平面匯交力系的簡化平面匯交力系可合成為通過匯交點的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。即F=F+F+A+F=切F=1合力F&的大小和方向可用力三角形法則或力多邊形法則得到。作出圖示首尾相接的開口的力多邊形Mde，封閉邊矢量歡即所求的合力。通過力多邊形E 1b) (0E 1b) (0平面匯交力系舍漆的人何法求合力的方法稱為幾何法。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：力系的合力等于零。其矢量表達(dá)式為 F=ZF=0R力系平衡的幾何條件是：力系的力多邊形自行封閉。合力投影定理：合力在某軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在兩個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零。即￡Fx=0、,2F=0>

JJ兩個獨立的平衡方程，可解兩個未知量。力偶系的簡化與平衡條件（1）力偶系的簡化力偶系可簡化為一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和，即M=￡Mi力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中各力偶矩的和等于零，即￡M=0 或￡Mx=0 ￡M廣0￡M,=03.空間力系的簡化與合成的最終結(jié)果1） 空間力系向已知點。簡化力的平移定理：可以把作用在剛體上點A的力F平行移到任一點B，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶矩等于原來的力F對新作用點B的矩?？臻g力系向已知點。簡化的一般結(jié)果為一個作用在。點的力和一個力偶，該力矢量等于此力系的主矢。該力偶的力偶矩矢量等于力系對簡化中心。的主矩。主矢與簡化中心的選取無關(guān)。一般情況下，主矩與簡化中心的選取有關(guān)。2） 空間力系合成的最終結(jié)果空間力系的最終合成結(jié)果有四種可能：一個合力、一個合力偶、一個力螺旋和平衡，這四種結(jié)果可由力系的主矢和力系對任意一點的主矩來判斷。具體歸納如下：主矢 主矩 最后結(jié)果說明F"M=0o平衡Mo^0合力偶此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)F，0M=0o合力合力作用線通過簡化中心MqFR^Mo合力合力作用線離簡化中心0的距離為d=性FrM產(chǎn)0R『M。力螺旋力系的中心軸通過簡化中心F與肱。成a角力螺旋力系的中心軸離簡化中心0的距離為dMsina=f4.空間力系的平衡條件和平衡方程空間力系平衡的充分與必要條件為：該力系的主矢和對任意點的主矩同時為零。其基本形式的平衡方程為：ZX=0 叫(F)=0ZY=0 ZMy(F)=0XZ=0 XMz(F)=0須指出，空間一般力系有六個獨立的平衡方程可以求解六個未知量。具體應(yīng)用時，不一定使3個投影軸或矩軸互相垂直，也沒有必要使矩軸和投影軸重合，而可以選取適宜軸線為投影軸或矩軸，使每一個平衡方程中所含未知量最少，以簡化計算。此外，還可以將投影方程用適當(dāng)?shù)牧胤匠倘〈?，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。使計算更為簡便。幾種特殊力系的平衡方程空間匯交力系ZX=0 ZY=0 ZZ=0空間力偶系ZM%(F)=0 XMy(F)=0 XMz(F)=0空間平行力系(若各力//z軸)XZ=0 XMx(F)=0 XMy(F)=0平面力系的平衡條件和平衡方程平面力系平衡的充分必要條件是該力系的主矢和對作用面內(nèi)任意一點的主矩同時為零。其解析表達(dá)式有三種形式，稱為平衡方程?；拘问疆a(chǎn)。<￡Y=0￡M(F)=0l0二矩式J*。l^M(F)=0^^Mb(F)=0附加條件為：A、B兩點連線不垂直于尤軸三矩式Jem(F)=0AlEM(F)=0B〔叫(F)=0附加條件為:a、b、―點不共線特殊力系的平衡方程共線力系：料=0Jex=0平面匯交力系：1EY=0（F//y軸）iJEY=（F//y軸）i4)平面平行力系：^EMo(F)=06.平面力系平衡方程的應(yīng)用應(yīng)用平衡方程式求解平衡問題的方法稱為解析法。它是求解平衡問題的主要方法。這種解題方法包含以下步驟：根據(jù)求解的問題，恰當(dāng)?shù)倪x取研究對象：所謂研究對象，是指為了解決問題而選擇的分析主體。選取研究對象的原則是，要使所取物體上既包含已知條件，又包含待求的未知量。對選取的研究對象進(jìn)行受力分析，正確地畫出受力圖：在正確畫出研究對象受力圖的基礎(chǔ)上，應(yīng)注意適當(dāng)?shù)剡\用簡單力系的平衡條件如二力平衡、三力平衡匯交定理、力偶等效定理等確定未知反力的方位，以簡化求解過程。建立平衡方程式，求解未知量：為順利地建立平衡方程式求解未知量，應(yīng)注意如下幾點：（a） 根據(jù)所研究的力系選擇平衡方程式的類別（如匯交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。（b） 建立投影方程時，投影軸的選取原則上是任意的，并非一定取水平或鉛垂方向，應(yīng)根據(jù)具體問題從解題方便入手去考慮。c） 建立力矩方程時，矩心的選取也應(yīng)從解題方便的角度加以考慮。d） 求解未知量。由于所列平衡方程一般是一組線性方程組，這說明一個靜力學(xué)題經(jīng)過上述力學(xué)分析后將歸結(jié)于一個線性方程組的求解問題。從理論上講，只要所建立的平衡方程組具有完整的定解條件（獨立方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等），則求解并不困難，若要解的方程組相互聯(lián)立，則計算（指手算）耗時費力。為免去這種麻煩，就要求在列平衡方程式時要運用一些技巧，盡可能做到每個方程只含有一個（或較少）的未知量，以便手算求解。7.平面K單桁架內(nèi)力的計算1） 桁架：是由若干直桿在端點用鉸連接而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。若所有桿件都在同一平面內(nèi)稱其為平面桁架。2） 在工程中的桁架滿足四點假設(shè)。稱其為理想桁架，這樣桁架的各桿都可以稱為兩端受力作用的二力桿件。3） 桁架的堅固性條件和靜定條件：2n=m+34） 求平面靜定桁架各桿內(nèi)力的兩種方法。節(jié)點法：逐個考慮桁架中所有節(jié)點的平衡，應(yīng)用平面匯交力系的平衡方程求出各桿的內(nèi)力。截面法：截斷待求內(nèi)力的桿件，將桁架截斷為兩部分，取其中的一部分為研究對象，應(yīng)用平面任意力系的平衡方程求出被截斷各桿件的內(nèi)力。8.平行力系中心及物體的重心1）平行力系中心只要平行力系中各力的大小及作用點的位置確定，無論平衡力系中力的方向如何，其合力作用線必定通過確定的一點，該點稱為平行力系中心。其坐標(biāo)公式為YFx YFy ￡Fzx=——, y=——i~~i-, z=——^-j-c￡F c￡F c￡F2）物體的重心物體的重心是該重力的合力始終通過的一點。均質(zhì)物體的重心與中心重合。物體的重心在物體內(nèi)占有確定的位置，與物體在空間的位置無關(guān)。物體重心的坐標(biāo)公式為￡P(guān)x ￡P(guān)y ￡P(guān)zx=——i~i-, y=——i~~i-, z=——Ic ￡P(guān) c￡P(guān) c ￡P(guān)'■摩擦1） 摩擦現(xiàn)象：按照接觸物體之間可能會相對滑動或相對滾動，可分為滑動摩擦和滾動摩擦。2） 庫侖摩擦定律：滑動摩擦力是在兩個物體相互接觸的表面之間有相對滑動趨勢或有相對滑動時出現(xiàn)的切向阻力。前者稱為靜滑動摩擦力，后者稱為動滑動摩擦力。靜摩擦力的方向與接觸面間相對滑動趨勢的方向相反，它的大小隨主動力改變，應(yīng)根據(jù)平衡方程確定。靜摩擦力Fs變化的范圍在零與最大值Fmax之間，即0WFsWFmax當(dāng)物體處于平衡的臨界狀態(tài)時，靜摩擦力達(dá)到最大值Fmax，其大小由庫侖靜摩擦定律決定，即Fmax=SFN人稱為靜滑動摩擦因數(shù)，與接觸面的性質(zhì)有關(guān)，用實驗方法測定。當(dāng)物體發(fā)生滑動時的摩擦力稱為動滑動摩擦力，其方向與相對運動方向相反，大小為Fd=fFN其中稱為動滑摩擦因數(shù)，一般有f<S摩擦角與自鎖現(xiàn)象摩擦角中為全約束反力與法線間夾角的最大值，且有tan件fS當(dāng)作用于物體的主動力的合力的作用線與支承面的法線所夾的銳角a小于摩擦角中時，無論這個力有多大，物體總能保持平衡狀態(tài)的現(xiàn)象。稱為自鎖。即自鎖現(xiàn)象發(fā)生時總有0WaW中Ftana=—s-其中： FN滾動摩阻力偶與滾動摩阻系數(shù)兩個相互接觸的物體有相對滾動或滾動趨勢時，支承面給物體的作用中除了可能存在的摩擦力F之外，還有一個阻礙滾動的力偶M作用于物體，該力偶稱為滾動摩阻力偶。其方向與相對滾動趨勢相反，大小由平衡條件決定，并且有其中Mmax=5Fn為滾動摩阻力偶的最大值，8稱為滾動摩阻系數(shù)，具有長度量綱。三、重點和難點重點：1.平面任意力系平衡的解析條件及平衡方程的各種形式。物體及物體系平衡問題的解法?？臻g匯交力系、空間任意力系、空間平行力系的平衡方程及其應(yīng)用;各種常見的空間約束及約束反力畫法；重心的坐標(biāo)公式?；瑒幽Σ亮团R界滑動摩擦力，滑動摩擦定律。考慮滑動摩擦?xí)r物體的平衡問題的求解方法。難點：1、主矢與主矩的概念。利用特殊力系的特點畫出某些約束反力，選擇恰當(dāng)?shù)钠胶夥匠糖蠼馕粗?。物體系平衡問題中正確選取研究對象及平衡方程?？臻g結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體圖；解空間力系平衡問題時力矩軸的選??；求組合體的形心坐標(biāo)。正確區(qū)分不同類型的含摩擦平衡問題；正確判斷摩擦力的方向及正確應(yīng)用庫侖摩擦定律。四、學(xué)習(xí)建議對平面力系的簡化方法及簡化結(jié)果應(yīng)闡述透徹。特別指出：主矢和主矩是在對一個力系進(jìn)行簡化時，為了準(zhǔn)確描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不是合力，合力有大小，方向與作用點三個要素，而主矢只具有大小和方向兩個特征，力系的主矢與簡化中心無關(guān)。一般而言，主矩的大小、轉(zhuǎn)向與簡化中心的選取有關(guān)，但是在主矢為零的情況下，主矩與簡化中心無關(guān)。注意對不同的簡化中心的簡化結(jié)果表面上看互不相同，但它們互為等效力系。對物體系統(tǒng)平衡問題中如何選取恰當(dāng)?shù)难芯繉ο蠛推胶夥匠蹋ㄟ^典型例題著重了解，并進(jìn)行歸納總結(jié)。特別指出如下要點：其一，求解物系的平衡問題的關(guān)鍵在于選取研究對象，它需要一定的分析判斷能力，也需要經(jīng)驗的積累。在選取研究對象時，有兩種極端情況：（a）只選取整體為研究對象，在此要注意受力圖中只畫外力，不畫內(nèi)力，本質(zhì)問題是由外力構(gòu)成的力系平衡問題，因此，無法求解系統(tǒng)內(nèi)力，且當(dāng)未知數(shù)多于三個時，也無法求解全部未知量；（b）將系統(tǒng)中所有剛體相互隔離，取每個剛體單獨作為研究對象，由于是靜定問題，則全部內(nèi)外反力借助全部的平衡方程均可解出，雖思路簡單，但由于求出多個不需求的未知力，使求解工作量增加，且過程繁瑣。因此，一般而言，應(yīng)根據(jù)題目的具體要求，靈活選取研究對象，盡量以最少的研究對象求解系統(tǒng)的平衡問題。其二：在開始求解平衡方程時，如果獨立平衡方程式的個數(shù)少于未知量的個數(shù)，可能出現(xiàn)兩種情況：（a）該問題是靜不定問題；（b）該問題為剛體系統(tǒng)的平衡問題，需再次選擇研究對象。應(yīng)注意的是，此種情形下，雖然不能依據(jù)這些平衡方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一個或兩個未知量。簡單桁架的內(nèi)力計算實際上是平衡方程的工程應(yīng)用，當(dāng)桁架結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，桿件總數(shù)和節(jié)點數(shù)都比較大的情形下，則無論采用節(jié)點法或截面法，計算量都可能較大。若采用計算機分析方法，則會簡單得多。目前一些工程力學(xué)應(yīng)用軟件中，都包含有分析靜定和超靜定桁架內(nèi)力的程序。通過與平面任意力系對照和比較的方法，來理解空間任意力系向一點簡化的方法、主矢和主矩的概念，簡化結(jié)果、平衡條件及平衡方程，重點介紹力矩軸與投影軸選取原則與方法，簡單系統(tǒng)的空間平衡問題。在計算重心坐標(biāo)時要講清坐標(biāo)選取原則，利用對稱均質(zhì)物體的對稱性求重心，對組合法求重心要求熟練應(yīng)用，積分法、查表法、實驗法等只作一般介紹。講清摩擦力與運動狀態(tài)之間的關(guān)系，通過實例說明物體處于不同狀態(tài)下摩擦力的大小和方向的確定方法?；瑒幽Σ梁蜐L動摩擦都是接觸面對物體的約束作用。滑動摩擦顯示為一個力，滾動摩擦則顯示為一個力偶，二者性質(zhì)不同。一般有滾動摩擦的場合，總會有滑動摩擦存在，但是，不一定是最大值，對又滑又滾的