正弦級數(shù)與余弦_第1頁
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文檔簡介

定理:(1)當周期為2fx)展開成,an (n0,1,2,

f(x)sin (n1, nfx)bsinnxn

數(shù)時,它

f(x)cosnxdx(n0,1, bn (n f(x)

ancosnx 22例1設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，它在[,)上的表達式為f(x)x，將f(x)展開成 級數(shù).在點x(2k1)(k0,1,2, )處不連收斂于() 2f(x)為奇函數(shù) an (n0,1,2, f(x)sinnxdx

xsin

2cosn2(1)n1 (n1, n

f( x,3

sinn

x,3 例2將周期函數(shù)u(t)其中E是正常數(shù)

展開 級解所給函數(shù)在整個數(shù)軸上連續(xù),滿 bn0,(n1,2,

2

Esintdt

4E

0u(t)cosntdt

E0[sin(n1)tsin(nEEcos(n cos(n1)t

(n0 0 [(2k)2

,當n當n2k

(k1, a u(t)costdt Esintcostdt

4E

(tu(t)

(2n)2

,當na0

,

[(2k)2

當n2kf(x)0x令Fx)g

x

且Fx2F f(x)F(x)0f(

0xxx

F(x)f(f(

0xx例3fx)x1(0x)分別展開成(1)求正弦級數(shù).fx)進行奇延拓an (n0,1,2, ),b

f(x)sin 20(x1)sin22(1cosncosn22當n13,5, 22

當n2[(2)sinxsin2x1(2)sin3x x 0x x 對f(x)進行偶延拓bn

(n (x (x1)cos 0 當n2,4,6, (cosn1)

,當n13,5,0

當n,當n2k

(k1,2, (2k 4 x1 1

(2n

(0x 證明當0x時cosnx

x2

x2解設(shè)f(x)

fx)

x)dx3a00(4

an (4 2)cosnxdxn2 a03,ann2x2

cos

(0x cosnx

xn故 n

將cosx在0x內(nèi)展開成以2為周期的正弦級數(shù)并在2x2寫出該級數(shù)的和函數(shù)．解對cosx進行奇延拓an

1 10[sin(n1)xsin(n1[1(1)n11

(n1 n2k, ,

n

k1,2,b

cosxsinxdx

sin2xdx

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