2023競賽第一講 常見的三種力及共點(diǎn)力的平衡答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023競賽第一講常見的三種力及共點(diǎn)力的平衡答案第一講：常見的三種力、物體的平衡

一、力學(xué)中常見的三種力(一)相關(guān)概念1.重力、重心?重心的定義：x?m1gx1?m2gx2???，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)移到重心上，則兩邊的重力矩平衡。

m1g?m2g????重心與質(zhì)心不一定重合。如很長的、豎直放置的桿，重心和質(zhì)心不重合。2.彈力、彈簧的彈力（F=kx）（1）兩彈簧串聯(lián)，

111=+（2）并聯(lián)時k=k1+k2kk1k2F?φf0α3.摩擦力

（1）摩擦力的方向：

（2）摩擦角:f和N的合力叫全反力，全反力的方向跟彈力的方向的最大夾角

-1-1

（f達(dá)到最大）叫摩擦角，摩擦角?=tanf/N=tan?。摩擦角與摩擦力無關(guān)，對一定的接觸面，?是一定的。由于靜摩擦力f0屬于范圍0＜f≤fm，故接觸面作用于物體的全反力F?同接觸面法線的夾角??tg?1?FN?f0?這就是判斷物?≤φ0，

?N?fm體不發(fā)生滑動的條件。換句話說，只要全反力F?的作用線落在（0，φ0）范圍

時，無窮大的力也不能推動木塊，這種現(xiàn)象稱為自鎖。（二）穩(wěn)定練習(xí)

1.（90國際奧賽題）（哥倫比亞）一個彈簧墊，如下圖，由成對的彈簧組成。所有的彈簧具有一致的勁度系數(shù)10N/m，一個重為100N的重物置于墊上致使該墊的表面位置下降了10cm，此彈簧墊共有多少根彈簧？（假設(shè)當(dāng)重物放上后所有的彈簧均壓縮一致的長度）。400

2.如下圖，兩個勁度系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，彈簧下端用光滑細(xì)繩連接，并有一光滑的輕滑輪放在細(xì)繩上.把滑輪和兩個輕彈簧等效成一個彈簧，求等效彈簧的勁度系數(shù)。

3.水平地面上有一質(zhì)量為m的物體,受斜向上的拉力F作用而勻速移動,物體與地面間的動摩擦因數(shù)為?,則為使拉力F最小,F與水平地面間的夾角多大?F的最小值為多少?

F?mg-1

θ（答案：tan?；）

21??解:先把f和N合成一個力T,因f和N成正比,所以當(dāng)F發(fā)生變化時T的大小也要發(fā)生

f-1-1

變化,但方向不變,且?=tanN=tan?.這樣,就把四個力平衡問題變成了三個力平衡問題,如左圖所示.根據(jù)平行四邊形定則,當(dāng)F和T垂直時F最小,如右圖所示.得F與水平地面間的夾角?=?=tan?,??mgsin?=，F(xiàn)的最小值Fmin=mgsin?=.

221??1??-1

另解：設(shè)F與水平面成?角時F最小,

?mg有Fcos?-?(mg-Fsin?)=0,得F?,

cos???sin??mgsin??mg,

令?=cot?,代入上式得F?=。

2sin(???)1??二、共點(diǎn)力作用下物體的平衡

（一）相關(guān)概念

1.三力匯交原理：互不平行的三個力處于平衡，這三個力的作用線必交于一點(diǎn)。

例1.如下圖,質(zhì)量為M的桿AB靜止在光滑的半球形容器中,設(shè)桿與水平方向的夾角為?.則容器面對桿A點(diǎn)的作用力F為多大?

解：F的作用線通過圓心B點(diǎn)對桿的作用力N與相垂直角度關(guān)系如下圖根據(jù)正弦定理

Mgsin(900??)?F得F?Mgtan?sin?

（二）穩(wěn)定練習(xí)

1.如下圖，有四塊一致的滑塊疊放起來置于水平桌面上，通過細(xì)繩和定滑輪相互聯(lián)接起來.假使所有的接觸面間的摩擦系數(shù)均為μ，每一滑塊的質(zhì)量均為m，不計滑輪的摩擦.那么要拉動最上面一塊滑塊至少需要多大的水平拉力?假使有n塊這樣的滑塊疊放起來，那么要拉動最上面的滑塊，至少需多

2

大的拉力?16μmg,nμmg

2.在一個與平面成a角的粗糙斜面上放著一個物體，它系于一個不伸長的細(xì)繩上，繩的另端通過斜面上的一個小孔豎直穿過平面，如下圖，然后漸漸地拉動繩子，開始時，繩子處于水平位置，在這個物體到達(dá)小孔的時候，物體在斜面上通過的軌跡正好是一個半圓，求動摩擦因數(shù)μ。tana

3.三根不可伸長的一致的輕繩，一端系在半徑為r0的環(huán)1上，彼此間距相等，繩穿過半徑為r0的第2個圓環(huán)，另一端同樣地系在半徑為2r0的環(huán)3上，如下圖，環(huán)1固定在水平面上，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).試求第2個環(huán)中心與第3個環(huán)中心之間的距離.(三個環(huán)都是用一致的金屬絲制作的，摩擦不計)

解:過中心作一截面圖，如下圖，由于對稱，每根繩上張力一致，設(shè)為F.設(shè)環(huán)2的質(zhì)量為m，則環(huán)3的質(zhì)量為2m.對環(huán)2和3整體有:3F=mg+2mg

對環(huán)3有:3Fsinθ=2mg由以上兩式得:sin??2d2即?，3r02?d2312所以d?

25r053

4.有三個光滑的圓柱體，重量相等，且半徑均為r，同置于一塊光滑圓形曲面上如下圖。試求下面兩個圓柱體不致被壓而分開時，曲面半徑R需滿足的條件。R?(1?27)r

5.如下圖，原長LO為100公分的輕質(zhì)彈簧放置在一光滑的直槽內(nèi)，彈簧的一端固定在槽的O端，另一端連接一小球，這一裝置可以從水平位置開始繞O點(diǎn)緩緩地轉(zhuǎn)到鉛直位置，設(shè)彈簧的形變總是在其彈性限度內(nèi)，試在下述(a)、(b)兩種狀況下，分別求出這種裝置從原來的水平位置開始緩緩地繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)到鉛直位置時小球離開原水平面的高度ho。

(a)在轉(zhuǎn)動過程中，發(fā)現(xiàn)小球距原水平面的高度變化出現(xiàn)40cm的極大值。(b)在轉(zhuǎn)動過程中，發(fā)現(xiàn)小球離原水平面的高度不斷增大。答案(a)37.5cm(b)100cm＞ho＞50cm

0

6..一個小物體與豎直墻面之間的動摩擦因數(shù)μ=0.25，當(dāng)作用力F與豎直方向成α=53度時，F(xiàn)至少為10N才能維持物體的靜止

（1）在α不變的狀況下，需要多大的力F才能使物體沿墻面向上做勻速運(yùn)動。20N(2)在動摩擦因數(shù)μ確定的狀況下，要使物體向上做勻速運(yùn)動,α角有有什么限制。

7.一條輕繩跨過同一高度的兩輕滑輪,兩端分別拴上質(zhì)量為4Kg和2Kg的物體,兩滑輪間的一段繩子上掛第三個物體,如下圖.試問：為使這三個物體能保持平衡，第三個物體的質(zhì)量取值范圍多大。

解(1)因所掛的質(zhì)量m越小,所以O(shè)點(diǎn)靠近A點(diǎn),OB趨向水平,OA與水平面有夾角。對O點(diǎn)受力平衡：(mg)2?(2g)2?(4g)2,得m?23kg。即當(dāng)m?23kg時,三個物體平衡將破壞.

(2)m越大,OB和OA都趨向于豎直,所以當(dāng)m>6Kg時三個物體平衡將破壞.[解]:此題只需求兩個極值.m最大值:設(shè)線足夠長,則m接近m1+m2,此時兩細(xì)線間的夾角?接近0.如圖解2-4-1因此m?m1?m2?6kg.

??m的最小值:當(dāng)m最小時,由于m2?m1,此時m在靠近右側(cè)的滑輪處,連接m和

m1的兩線的夾角近90°此時滿足:m2g?(mg)2?(m1g)2由此解得:

m?23kg

解2-4-1綜合以上:23kg?m?6kg解2-4-1

8.如下圖，靜止的圓錐體鉛直放置，頂角為α，有一質(zhì)量為m并分布均勻的細(xì)煉條圓環(huán)水平地套在圓錐體上。忽略煉條與錐面之間的摩擦力，試求煉條中的張力T。

T=

mgαcot2π29.如下圖，每側(cè)梯長為L的折梯置于鉛垂平面內(nèi)，已知A、B兩處與地面間的動摩擦因數(shù)分別為?A=0.2，?B=0.6，C點(diǎn)用光滑的鉸鏈連接，不計梯重，求人最多能爬多高。

解：若B端開始滑動，AC為二力桿，地面對A端的作用力方向與豎直方向夾角為30?，

-1-1

而A點(diǎn)對應(yīng)的摩擦角?A=tan?A=tan0.230?。AB桿能衡。

所以人必需從A點(diǎn)沿梯上爬，此時B端受到地面的作用力沿著BC方向。對整體，根據(jù)三力共點(diǎn)，人的重力作用線必通過FA和FB的交點(diǎn)。

設(shè)人的水平距離為s，有幾何關(guān)系（兩邊高相等）：scot?A=(L-s)cot30?，

得s=0.26L,最大高度H=3s=0.45L。

10.(2023年華約自主招生)明理同學(xué)平日注意鍛煉身體，力量較大，最多能提起m=50kg的物體。一重物放置在傾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物與斜坡間的摩擦因數(shù)為μ=3≈0.58。試求該同學(xué)向上

3拉動的重物質(zhì)量M的最大值?

析;設(shè)該同學(xué)拉動重物的力F的方向與斜面成角度φ，根據(jù)力的平衡，在垂直于斜面的方向上有

FN+Fsinφ-Mgcosθ=0①

式中FN是斜面對重物的支持力，其大小等于重物對斜面的正壓力。沿斜面的方向上有

Fcosφ-μFN-Mgsinθ=Ma②

根據(jù)題意，重物剛能被拉動，加速度a近似為零，由牛頓運(yùn)動定律

Fcosφ-μFN-Mgsinθ=0③

聯(lián)立①③式得M?令??tan?⑤聯(lián)立④⑤式得M?Fcos???sin??④g?cos??sin?Fcos(???)?⑥gsin(???)要使質(zhì)量最大，分子須取最大值，即cos(???)?1，???⑦此時能拉動的重物的質(zhì)量的最大值為Mmax?由題給數(shù)據(jù)，知

tan??F1?⑧gsin(???)3，??30?⑨3mg1??2m?70.7kg⑩gsin(30??15?)于是該同學(xué)能拉動的重物質(zhì)量不超過Mmax，有M?Mmax?

(備用)

1.將質(zhì)量為M的小車沿傾角為?,動摩擦因數(shù)為?的斜面勻速拉上,求拉力的方向與斜面夾角?為多大時,拉力最小?最小的拉力為多大?

Mgsin???Mgcos?-1

（答案：tan?；?）

21??解:小車受四個力作用處于平衡,先把摩擦力f和支持力N合成

-1

一個力R,因f和N成正比,所以R和N的夾角?=tan?,這樣問題就轉(zhuǎn)化成小車在三個力作用的平衡問題.小車受到的重力Mg的大

-1

小和方向都保持不變,當(dāng)拉力F和R垂直時,F最小，?=?=tan?,

Mgsin???Mgcos?-1

最小值為：Fmin=Mgsin(?+?)=Mgsin(?+tan?)?.

21??

R2.半徑為R的鋼性光滑球固定在桌面上,有一個質(zhì)量為m的均勻彈性繩圈,自然長度為2?a(a=).現(xiàn)將

2繩圈從球面的正上方輕放到球面上,并使它保持水平,靜止套在球面上,這時繩圈的半徑增為b(b=2a),