專題十七隨機(jī)變量及其分布列

0.6 0.75＝5＝0.82．(2011·，7，中)如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1，A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.9，0.8，0.8，則系 【答案】BA1，A2A1，A2同時(shí)不能工作的概率為0.9×0.96＝0.864.B.區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C，D.某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來(lái)球后向乙回球1

上的概率為23

D上的概率為3

BC率為5D上的概率為5.A，B(2)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：記Ai為“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來(lái)球回球的得分為i分 記Bi為“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來(lái)球回球的得分為i分 (1)記D為“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上 3所 兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為3(2)由題意，隨量ξ可能的取值為0，1，2，3，4，6，

1＝1

1＝2

1＝1

可得隨量ξ的分布列為ξ012346P11× 所以數(shù)學(xué)期望 1＋1 2＋4×11＋6 1＝× 1

分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為3

2XA“B“擊乙靶命中”為C“該射手第二次射擊乙靶命中”為D，

-－－根據(jù)的獨(dú)立性和互斥性－－ －－ －－P(A)＝P(BC

－

＝3 1－2×1－2＋1－3 2 1－2＋1－3×1－2 2 7

-C(2)根據(jù)題意，X0，1，2，3，4，5，-C--

-＝1－3×1－2×1－2＝1 1－2×1－2＝1 － ＝1－3 2

-

＝1－3 2 2 1 XX012345P913 1＋1 1＋2

作物產(chǎn)量作物產(chǎn)量作物市場(chǎng)價(jià)格(元6(1)X1X(2)3322000kg，B/kg，由題設(shè)知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利潤(rùn)＝產(chǎn)量×市場(chǎng)價(jià)格－成本∴X500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2300×10－1000＝2000，300×6－1 P(X＝4 P(X＝2XX42P(2)設(shè)Ci表示“第i季利潤(rùn)不少于2000元”(i＝1，2，3)，由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝232000322000 P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.8322000考向 求相互獨(dú)立的概相互獨(dú)立的概率運(yùn)(1)A，B相互獨(dú)立?P(AB)＝P(A)P(B)．(“AB”也可記為(2)若A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這些同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)發(fā)生的概率的積，P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． A，B相互獨(dú)立，則A與B，A與B，AB也相互獨(dú)立．互斥與獨(dú)立的區(qū)別兩互斥是指一個(gè)試驗(yàn)中的兩個(gè)結(jié)果在一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生即P(AB)＝0；兩獨(dú)立是指一個(gè)的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)發(fā)生的概率無(wú)影響0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立．(1)3(2)XX【思路導(dǎo)引 (1)由獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的概率求解(2)判斷X的所有可能情況并分別求出相應(yīng)的概率，再利用期望求解【解析 設(shè)Ai表示：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備B表示：甲需使用設(shè)備C表示：丁需使用設(shè)備D表示：同一工作日至少3人需使用設(shè)備-2122所以P(D)＝P(A·B·C＋A·B＋A·－·-2122122＝P(A·B·C)＋P(A·B)＋P(A122＝P(A)P(B)P(C)＋P(A 1

(2)X0，1，2，3，4 XX01234P相互獨(dú)立概率的求法首先要搞清間的關(guān)系(是否彼此互斥、是否相互獨(dú)立、是否對(duì)立)，正確區(qū)分“互斥”與“對(duì)立”．當(dāng)且僅當(dāng)A和B相互獨(dú)立時(shí)，才有P(AB)＝P(A)P(B)．A，BA，B互斥：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)A，B相互獨(dú)立(不互斥) 某些若含有較多的互斥可考慮其對(duì)立的概率這樣可減少運(yùn)算量提高準(zhǔn)確率(2013·陜西，19，12分)在一場(chǎng)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)3112352515333X3X解：(1)設(shè)A表示“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，B表示“觀眾乙選中3號(hào)歌手

CC35 CC35 .∵A與B相互獨(dú)立.33 4

- －

2＝4或

3(2)設(shè)C表示“觀眾丙選中3號(hào)歌手”，則P(C)＝4＝3∵X0，1，2，3

C C－－－ 2

2＝4

－－

3＝4

-

3＝6∴X

X0123P446∴X的數(shù)學(xué)期望 4＋1 4＋2×11＋3 6＝28 考向 條件概設(shè)A，B是兩 B發(fā) 件A發(fā)生的條件概率

既是條件概率的定義，也是條件概率的計(jì)算如果B和C是兩個(gè)互斥，則A，B(2015·荊門模擬，20，12分)某工廠生產(chǎn)了一批產(chǎn)品共有20件，其中5件是次品，2件．求：【解析】設(shè)“第一次抽到次品”為“第二次抽到次品”為B，A和B相互獨(dú)依題意得：(1)P(A)＝5 ×第一次和第二次都抽到次品的概率為P(AB)＝5 4＝1.×

P(B|A)＝P（A）方法二：第一次抽到次品后，還剩余產(chǎn)品19件，其中次品4件，故第二次抽到次品的概率為 4 【點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是分清條件是什么和合理應(yīng)用條件概率，第(3)問易由于對(duì)題意理

＝1＝194條件概率的求法

注意：A與B有時(shí)是相互獨(dú)立，有時(shí)不是相互獨(dú)立，要弄清P(AB)的求法當(dāng)基本適合有限性和等可能性時(shí)，可借助古典概型概率，先求A包含的基本n(A)，再在A發(fā)生的條件下求B包含的基本數(shù)，即n(AB)，得

452(2011·遼寧，5)從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝( 45288

2 123C【答案】 由題意可得C

＝ C5 C5 由條件概率的計(jì)算，得

P（A）＝25A“正面”為B，則P(B|A)等于( 2424

8186【答案】 由古典概型知6

P（AB） ＝4

22．(2015·鄭州一模，10)1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，1222 9 【答案】 方法一：記A：從2號(hào)箱中取出的是紅球；B：從1號(hào)箱中取出的是紅球4 則根據(jù)古典概型和對(duì) 的概率和為1，可知：P(B)＝2＋4＝3，P(B)＝1－3＝3；由條件概

3

2632號(hào)箱中取出白球，其概率為6＝3 球的概率為3，則此種情況下的概率為

號(hào)箱中取出紅球，其概率為3.2542 8率為9，則這種情況下的概率為

8 號(hào)箱取出紅球的概率是率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為( 【答案】D 4．(2015·江蘇鹽城二模，10)且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率

【解析】a，c兩個(gè)開關(guān)都開，b開關(guān)必須斷開，否則短路．設(shè)“a閉合A“bB“c

A，B，C 概

【答案】8

“恰有一次出現(xiàn)正面”，則P(B|A)＝

【解析】由題意知，P(AB)＝23＝8，P(A)＝1－23＝8P(B|A)＝P（A）8【答案】76．(2015·河北石家莊一模，17，12分

1甲、乙、丙三位學(xué)生獨(dú)立地解同一道題，甲做對(duì)的概率為ξ0123P14ab1ξ0123P14ab1m，nξ2解：設(shè)“甲做對(duì)” A“ B“ 2 ＝1mn＝1，m＋n＝7

m>n3

－－

-

＝1

44ξ

1＝13× × 選中的概率分別為5，4，333解：記甲、乙、丙能被選中 分別為A，B，C，則3

1＝1

32

31 －

1＝5

3--

P3>P2>P1＝P4P312綜上可知，31121．(2015·，4，易)設(shè)X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下結(jié)論中正確的是 【答案】C C，D，結(jié)合圖象可知，C正確．2．(2015·課標(biāo)Ⅰ，4，中)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為( 【答案】 記Ai＝{投中i次}，其中i＝1，2，3，B表示該同學(xué)通過(guò)測(cè)試，故33333．(2015·湖南，7，中)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為( 附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 B．2C．3 D．4【答案】 由于曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線，則陰影部分面積為

0.682

＝ 10

0.341× ＝3413. (附：若隨量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ 【答案】 2215．(2015·，13，中)已知隨量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，則 【解析】E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)得

【答案】3

【答案】 ∵隨量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，μ＝2，得對(duì)稱軸是x＝2.由P(ξ<4)＝0.82．(2012·課標(biāo)，15，中某一部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設(shè)三個(gè)電子元件的使用(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1000，502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用超過(guò)1000小時(shí)的概率為 2【解析】由題意知每個(gè)電子元件使 超過(guò)1000小時(shí)的概率均為1，元件1或元件2正常工2的概率為 1＝3，所以該部件的使 超過(guò)1000小時(shí)的概率為

【答案】8

【解析】正面出現(xiàn)的次數(shù)比出現(xiàn)的次數(shù)多，面可以出現(xiàn)4次，5次或者6次，由n次

5

重復(fù)試驗(yàn)概 得所求的概率【答案】

(1)32100150個(gè)的(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨量X的分布列，期望E(X)及方D(X)．解：(1)設(shè)A1表示“日銷售量不低于100個(gè)”．A2表示“日銷售量低于50個(gè)”，B表示件“3210050個(gè)”．3333(2)X0，1，2，3，相應(yīng)的概率為3333X0123PX～B(3，0.6)E(X)＝3×0.6＝1.85．(2013·山東，19，12分，中)3 (1)3∶0，3∶1，3∶2(2)3∶03∶1303∶21XA1“A2“A3， 8

8

4

3∶03∶1勝利的概率為83∶2勝利的概率為4 (2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為A4，所以P(A

由題意，隨量X的所有可能的取值為0，1，2，3，P(X＝1)＝P(A3)＝49P(X＝2)＝P(A4)＝4，9XX0123P9

4＋2×4＋3 × ×考向 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即或發(fā)生，或不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．n在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ckpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此n稱隨量X服從二項(xiàng)分布，記作(1)(2015·湖南衡陽(yáng)一模，6)某每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為( (2)(2012·，16，13分)現(xiàn)有4個(gè)人去參加某活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為22424③用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨量ξ的分布列與Eξ.【解析 (1)1000粒每粒不發(fā)芽的概率為∴不發(fā)芽的數(shù)ξ～B(1∴1000粒中不發(fā)芽的數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝1000×0.1＝100粒，又每粒不發(fā)芽的需補(bǔ)種2粒，∴需補(bǔ)種的數(shù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2×100＝200(粒(2)4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為1，去參加乙游戲的概率為 i設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲” 42 8

②設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為B，則B＝A3∪A4，由 A3A4

4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為ξ

ξ024P故 8＋2

× ×

81【點(diǎn)撥】解題(1)的關(guān)鍵是理解題意轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布概率模型；題(2)主要是考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，求出P(Ai)．1.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生k次的nn次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生k次可看作是Ck個(gè)互斥的和，其中每一個(gè)都可看作n—k個(gè)A與n－k個(gè)

pk(1－p)n－k.nn立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生k次的概率為n判斷某隨量是否服從二項(xiàng)分布的方在每一次試驗(yàn)中，發(fā)生的概率相同各次試驗(yàn)中的是相互獨(dú)立的(2015·鄭州模擬，17，12分)甲、乙兩人各射擊一次，

3目標(biāo)的概率分別是3和設(shè)兩人射擊是否目標(biāo)相互之間沒有影響，每人各次射擊是否目標(biāo)相互之間也沒有影響求甲射擊4次，至少有1次未目標(biāo)的概率求兩人各射擊4次，甲恰好目標(biāo)2次且乙恰好目標(biāo)3次的概率假設(shè)每人連續(xù)2次未目標(biāo)，則終止其射擊．5次后，被終止射擊的概率是多少？-解：(1)記“甲射擊4次，至少有1次未目標(biāo)”為A1，則A1的對(duì)立A1為“甲射- 4次，全 P(A

-

所以甲連續(xù)射擊4次，至少有一次 目標(biāo)的概率為記“甲射擊4次，恰好有2次目標(biāo)”為A2“乙射擊4次，恰好有3次目標(biāo)”為事件B2，

8

由于甲、乙射擊是否目標(biāo)相互獨(dú)立P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝

所以兩人各射擊4次，甲恰有2 目標(biāo)且乙恰有3 目標(biāo)的概率為B3“4，5)-＝－－ － － 1-＝B D5D4D3(D2D1∪D2D1∪D2D1)，且由于各相互獨(dú)立-

－

4515次后，被終止射擊的概率為451

思路點(diǎn)撥：(1)中至少有1次未，包含情況多，可求其對(duì)立的概率；(2)中甲恰好目標(biāo)次與乙恰好目標(biāo)3次相互獨(dú)立；(3)中乙恰好射擊5次后被終止，相當(dāng)于前2次射擊，至少有一次中，第3次，第4次、第5次未考向 正態(tài)分布及其應(yīng)σ σ

e－ ，x∈(－∞，＋∞)μσ(σ>0)φμ，σ(x)圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線(μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差xxx＝μσ處達(dá)到峰 ③曲線在σ處達(dá)到峰 xσμμx a及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，則稱隨量X服從正態(tài)分布，記作①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.99712 12(2)(2014·河北衡水質(zhì)檢，14)50ξ(ξ∈N)102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù) 】 (1)由正態(tài)分布N(μ，σ2)的性質(zhì)知，x＝μ為正態(tài)分布密度函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，故μ1<μ2；又σ越小，圖象越高瘦，故σ1<σ2.【答案

利用正態(tài)曲線的性質(zhì)求概率熟記(2)xx＝μx＝μ則P(X>4)＝( A．0.158 B．0.158 C．0.158 D．0.158【答案】 由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱

0.6826＝0.1587 與p的值分別為

【答案】

＝41

獲得通過(guò)的概率是

99

4 29 9

【答案】 由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概 ，知所求概率

3．(2015·福建福州模擬，5)已知隨量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，則 【答案】 ∵μ＝0，正態(tài)曲線關(guān)于μ＝0對(duì)稱，故選4．(2014·汕頭一模，5)在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率相同，若A至少發(fā)生次的概率為65， A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 33

5644【答案】 設(shè)A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，由題意得5644

【解析】

＝2【答案】2

目標(biāo)的概率為3.，，個(gè)不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1∶3∶6 目標(biāo)時(shí)任何一部分的概率與其面積成，，設(shè)X表示目標(biāo)被的次數(shù)，求X的分布列若目標(biāo)被2次，A表示“第一部分至少被1次或第二部分被2次”，求解：(1)X0，1，2，3，4

8

1X

X01234P81(2)設(shè)Ai表示“第一次目標(biāo)時(shí)，第i部分”，i＝1，2，3.Bi表示“第二次目標(biāo)時(shí)，第i部分”，i＝1，2，3.P(A1)＝P(B1)＝0.1， 只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每選對(duì)1道題得5分，不選或得0分．某考生每道題都644224道題時(shí)每道題都從不能排除的選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)(1)50解：(1)記“選對(duì)一道能排除2個(gè)選項(xiàng)的題目”為A“選對(duì)一道能排除1個(gè)選項(xiàng)的題目”為事件B， 5012 1

(2)XX

121

1121

121

×X×XP

1＝115

31．(2015·山東，19，12分，中)nn的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字n為“三位遞增數(shù)”(137，359，567等)．15010整除，得－1101(1)5(2)X解：(1)5的“三位遞增數(shù)”9(2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為C3＝84，隨量X的取值為0，－1，1，因此9 0)＝8＝C33C39 1P(X＝－1)＝ C9 C9P(X＝1)＝1－1 XX01P23

1＋1×11＝4.× ×2．(2015·，17，12分，中)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，23件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束．(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)X的分布列和均值(數(shù)字期望)．(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為A， 3P(A)＝2 A5 A5(2)X 1P(X＝200)＝ A5 A5 3

23A3A5

1

3 6 X

XP35 1

3

4655121(1)1(2)33X.X解：(1)記A1＝{從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球A2＝{1個(gè)球是紅球B1＝{1次獲一等獎(jiǎng)B2＝{1次獲二等獎(jiǎng)C＝{1次能獲獎(jiǎng)由題意，A

-與

互斥，B

B＝AA，B

-

1

P(A1)＝4＝2，P(A2)＝5＝1

＝2 1－1＋1－2 1＝1＝

P(C)＝P(B1∪B2)＝P(B1)＋P(B2)＝1＋1＝7 5(2)33次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為15

1XX

X0123P6448121

WP4．(2015·，20，12分，中)某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A，B兩種奶制品．生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品2110001B1.51.5小時(shí)，1200BA2A，B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過(guò)12小時(shí)，假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(WPZ3110000解：(1)A，Bx噸，yz

z＝1000x＋1W＝12時(shí)，(*)＋A(0，0)，B(2.4，4.8)，C(6，0)．將z＝1000x＋1200y變形為＋

11當(dāng)x＝2.4，y＝4.8時(shí)，直線l：y＝－5＋ 在y1Z＝zmax＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160(元)．當(dāng)W＝15時(shí)，(*)表示的平面區(qū)域如圖，z＝1000x＋1200y

＋1＋1當(dāng)x＝3，y＝6時(shí)，直線l：y＝－5＋ 1200＝10200(元W＝18時(shí)，(*)z＝1000x＋1200y

＋1＋1當(dāng)x＝6，y＝4時(shí)，直線l：y＝－5＋ 在y1Z81010PZ＝zmax＝6×1000＋4×1200Z81010P因此，E(Z)＝8160×0.3＋10200×0.5＋10800×0.2＝9(2)由(1)10000p1＝P(Z>10由二項(xiàng)分布知，31100001．(2013·，4，易)已知離散型隨量X的分布列X123P35則X的數(shù)學(xué)期望 【答案】 由數(shù)學(xué)期望得

3

1

i放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i＝1，2)． 【答案】 隨量ξ1，ξ2的分布列如下12pn m123pnC1mm 所以E(ξ n 2

m＋n＝m＋nnm 2Cnm

CE(ξ2)＝C

＋

m

m＋n＋因?yàn)閜＝m n ＋

，n2 m＋n2

C1 3m＋n

m＋mn·＋n· CCC32CCC3

＝ >0＝思路點(diǎn)撥：列出隨量ξ1，ξ2的分布列，計(jì)算期望值并比較大??；利用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算 【解析】設(shè)ξ＝1時(shí)的概率為p，則

【答案】5

4．(2013·遼寧，16，難)為了某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把 【解析】5

12345123451234512345不妨設(shè)x1<x2<x3<x4<x5，則35＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5≥x1＋x1＋1＋x1＋2＋x1＋3＋x1＋4，x1≤555，6，7，8，94，6，7，8，10x5≥11【答案】3，432，3，4.4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相(1)43(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨量X的分布列和數(shù)學(xué)期望 2解：(1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片”為A，則43的卡片的概率為

2C4C7

(2)隨量X的所有可能取值為 1 4P(X＝1)＝ ，P(X＝2)＝ CC77 CC77

P(X＝3)＝5＝，P(X＝4)＝6＝CC77 CC77 所以隨量X的分布列X1234P142747故 量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×1 4＋3

× ×

58878從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求李明在該場(chǎng)比賽中投籃超過(guò)0.6的概率——E(X)與x的大?。?只需寫出結(jié)論解：(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)比賽中，李明投籃超過(guò)0.6的場(chǎng)次有5場(chǎng)，分別是主2352所以在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)比賽中，李明的投籃超過(guò)0.6的概率是(2)設(shè)A為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)主場(chǎng)比賽中李明的投籃超過(guò)B為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)客場(chǎng)比賽中李明的投籃超過(guò)0.6”，0.6

，A，B ＝＝--7．(2012·課標(biāo)，18，12分，中)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作處理．(1)16y(單位：元)n(單位：枝，n∈N)的(2)100天玫瑰花的日需求量(單位：枝) 天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)X16171617解：(1)n≥16n<16yn

XXPXX1617枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)YYPYY的方差為由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)<D(Y)，即購(gòu)進(jìn)16E(X)<E(Y)16枝玫瑰花．1717枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)YYPY17考向 離散型隨量的分布列與期離散型隨量的分布＝pi，則稱X……P……為隨量X的概率分布nii＝如果隨量X的分布列X01Pp其中0<p<1，則稱離散型隨量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布CkMC ，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此時(shí)稱隨CX完 局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為3，乙獲勝的概率為4局以內(nèi)(4局)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望【解析 用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“k局乙獲勝”

X9999P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝8XX2345P59298

8＝224

81×【點(diǎn)撥】求離散型隨量的分布列時(shí)要注意兩個(gè)問題：一是求出隨量所有可能的取值；二互斥只有一個(gè)發(fā)生的概率相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的概率n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率等×求隨 量及其分布列的一般步明確隨量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義利用排列、組合知識(shí)或互斥、獨(dú)立的概率求出隨量取每個(gè)可能值的概率按規(guī)范形式寫出隨量的分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證(2014·，16，13分，中)某大學(xué)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)．在這10名同3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同3設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨量X的分布列和數(shù)學(xué)期望解：(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院”為A， 3

C3C

3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率為(2)隨量X的所有可能值為4646

CC所以隨量X的分布列X0123P161231隨量X的數(shù)學(xué)期望

3＋3 1＝6

考向 離散型隨量的期望與方差的應(yīng)若離散型隨量X的分布列X……P……稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型

(x－E(X))2p為隨量X的方差，它刻畫了隨量X與其均值E(X)的平均偏iiii程度，其算術(shù)平方根D（X）為隨量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作①E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b為常數(shù)②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù)①若隨量X服從兩點(diǎn)分布，則②若隨量X～B(n，p)，則20100200分(即獲得－200分)1樂的概率為2XX【解析 (1)X可能的取值為10，20，100，－200，根據(jù)題意，

X

XP38381818設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為Ai(i＝1，2，3)，則“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”

1

因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是由(1)X

X

解離散型隨量的期望和方差應(yīng)用問題的方法確運(yùn)用期望、方差進(jìn)行計(jì)算．要注意觀察隨量的概率分布特征，若屬二項(xiàng)分布的，可用二項(xiàng)分布的期望與方差計(jì)算，在實(shí)際問題中，若兩個(gè)隨量ξ1，ξ2，有Eξ1＝Eξ2或Eξ1與Eξ2較為接近時(shí)，就需要用Dξ1與勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的額．4150310①顧客所獲的額為60元的概率②顧客所獲的額的分布列及數(shù)學(xué)期望商場(chǎng)對(duì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)顧客所獲的額為

C2C2

1 即顧客所獲 額為60元的概率為X P(X＝60)＝，P(X＝20)＝3＝C222C224XXP所以顧客所獲的額的期望為E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元(2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均額為60元．所以，先尋找期望為60元的可能方案．1050元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)6060元，因此可能的方案是(10，10，50，50)以可能的方案是(20，20，40，40)對(duì)于方案1，即方案(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的額為X1，則X1的分布列P121636X1

X1

1＝1

對(duì)于方案2，即方案(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的額為X2，則X2的分布列P121636X2

X2

由于兩種方案的額的期望都符合要求，但方案2額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇1．(2014·蕪湖一模，6)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為( 【答案】 由題意知 解得

1

語(yǔ)的概率是0.4，同學(xué)乙猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.5，且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜不對(duì)得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1X(單位：分)的數(shù)學(xué)期望為() 【答案】A 由題意得X＝0，1，2，則3．(2014·河北保定一模，13)隨量ξ的分布列ξ01Pabca，b，c

【解析】a，b，c33

【答案】9

4．(2015·福建福州二模，13)設(shè)整數(shù)m是從不等式x2－2x－8≤0的整數(shù)解的集合S中隨機(jī)抽取的一個(gè)元素，記隨量ξ＝m2，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝ 【解析】S＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，ξξ0149P1727271717所以

【答案】

3中每道題的概率都是55103進(jìn)試，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))減5分，得分低于0分時(shí)記為0分(即最低為分)15解：(1)ξξ

P(ξ＝0)＝55＋55＝CC2 CC2 53P(ξ＝15)＝5 3C C 1P(ξ＝30)＝5 C3Cξ的分布列ξ0P12

5＋30 1＝35 A“

81

由(1)知，P(B)＝P(ξ＝15)＋P(ξ＝30)＝5＋1 (B所求概率為

-

-＝1－

6．(2014·江西贛州二模，20，13分)92個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)11101個(gè)黑色球得－13331ξ3ξ-解：(1)記A為“取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球”，則A的對(duì)立A為“取出的3個(gè)-””

3種結(jié)果，滿足－的

3種結(jié)果，所

＝ －

7C.9 C.9A1(2)311A122 C3個(gè)黑色球” C，有C2C4種結(jié)果．其 B和C是互 ，則P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝2C39＋C2C1＝C24C9

(3)ξ 5 3P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝3 3CC9 CC9 3

13P(ξ＝2)＝3 ，P(ξ＝3)＝ 3CC9 CC9ξ的分布列為

ξ0123P531× ξ的數(shù)學(xué)期望 5＋1 3＋3 1× 查方案：考生從6道備選題中隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立回答全部問題．規(guī)定：至少正264題能正確回答，22確回答的概率都為3解：(1)ξ，ηξ

CP(ξ＝1)＝C

2＝，P(ξ＝2)＝42＝，P(ξ＝3)＝42＝CC555 CC555 ξ123P131555

又 η0123P129498

P(η≥2)＝12＋8 對(duì)辦理應(yīng)用套餐的客戶進(jìn)行，方案如下：選擇套餐一的客戶可獲得200元，選擇套餐二的客戶可獲得500元，選擇套餐三的客戶可獲得300元．根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪出電信日當(dāng)天參若用隨量X表示某兩人所獲金額的總和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望

(2)由題意知某兩人可獲得金額X的可能取值為400，500，600，700，800，1

1＝1

3＝6

3＝9

1＝8

P(X＝1

XX1P1698X 1＋500 6＋600 9＋

24＋1

(時(shí)間：120分鐘分?jǐn)?shù)：150分)一、選擇題(12560分) 新鄉(xiāng)一模 兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為3和4零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為 22

5 44

6【答案】 記兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的為A，6

5P(A)＝P(A1)＋

量ξ的分布列為

【答案】 由分布列的性質(zhì)

＝27 量ξ的分布列為

于 3

144

5【答案】 由分布列的知識(shí)得 5

3. A．6和 B．2和C．2和 D．6和【答案】 若兩個(gè)隨量η，X滿足一次關(guān)系式η＝aX＋b(a，b為常數(shù))，當(dāng)已知時(shí)，則E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由已知隨量X＋η＝8，所以 33 33【答案】 因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布N(3，4)，P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)．所以736．(2013·，9)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝(

55【答案】 由題意可知，涂漆面數(shù)為3的有8個(gè)，涂漆面數(shù)為2的有36個(gè)，涂漆面數(shù)為1的55 54個(gè)，所以所求均值 8×3 36×2

的最小值等于 D

【答案】

n×a＝2

由

＝3×(2－m)＋3×(2－n)＝3×(2n－4)＋3×(2－n)＝2(n－2)≥0D(ξ)8．(2014·山西太原二模，7)已知隨量X的分布列X123P則 【答案】B

P(X＝k)取得最大值時(shí)，k的值為 1

k

＝2

【答案】 當(dāng)p＝2時(shí)

k＝10時(shí)，P(X＝k)顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了X次球，則P(X＝12)＝( 9

9 9

【答案】 “X＝12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白球，因39 9

＝ 量X的概率分布規(guī)律為 ＝ 33

456＝【答案】 456＝ a a

22 22【答案】

已知每一位學(xué)生打開柜門的概率為∴打開柜門需要試開的次數(shù)的平均數(shù)(即數(shù)學(xué)期望)

二、填空題(4416分

×n＋

×n＝2有一枚是6點(diǎn)的概率是 【解析】設(shè)A＝“至少有一枚是6點(diǎn)”，B＝“兩枚點(diǎn)數(shù)不同”，先后投擲兩枚骰子共有36種不同情況，且是等可能的，則B共有6×5＝30種不同情況，AB共有10種不同P(B)＝30＝5，P(AB)＝10＝5

【答案】3

＝P（B）＝56

14．(2014·山東濱州二模，13)若隨量X的概率分布密度函數(shù)是2

【解析】【答案】23432.ξ 【解析】方法一(直接法)：由已知得，ξ2， 2，C53C55 2

2C5 C5 3P(ξ＝9)＝221＝3C C 1P(ξ＝10)＝2 C5 C5∴ξ的概率分布列ξ789P153251∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝3＋2＋1 方法二(間接法)：由已知得，ξ的可能取值為7