圖形的變換及作圖

圖形的變換及作圖一、考點：依據(jù)國家最新的課程標(biāo)準(zhǔn)，為了適應(yīng)新課標(biāo)的需要以及素質(zhì)教育的發(fā)展，試題要加強與社會的聯(lián)系，與學(xué)生經(jīng)驗的聯(lián)系，全面考查學(xué)生知識與技能、情感態(tài)度與價值觀，淡化單純記憶考查，重在思維能力、理解能力的考查，特別注重在具體情境中分析、解決問題能力的考查，已成為全國教育界共同的追求。1、經(jīng)歷對平面圖形進(jìn)行觀察、操作和欣賞、設(shè)計的過程;經(jīng)歷探索圖形平移、旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)的過程以及與他人合作交流的過程;進(jìn)一步發(fā)展空間觀念、審美意識和操作技能以及基本的圖案2、通過具體實例認(rèn)識平移和旋轉(zhuǎn)，了解平行四邊形是中心對稱圖形;理解平移之下對應(yīng)點連線平行且相等、旋轉(zhuǎn)之下對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)．3、能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形；能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形；探索圖形之間的變換關(guān)系(軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合)．4、能夠利用平移進(jìn)行圖案設(shè)計，認(rèn)識和欣賞平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。能夠靈活運用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計．如同軸對稱一樣，平移、旋轉(zhuǎn)是現(xiàn)實生活中廣泛存在的一種現(xiàn)象，是現(xiàn)實世界運動變化的最簡捷形式之一。它不僅是探索圖形的一些性質(zhì)，認(rèn)識、描述物體的形狀和空間位置關(guān)系的必要手段之一，而且也是解決現(xiàn)實世界中的具體問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要工具。學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，欣賞并體驗平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用，不僅是第三學(xué)段學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)之一，而且也是密切數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間必然聯(lián)系的重要橋梁之一。5、立足學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和初步的數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷，分別從觀察和分析生活中的平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象開始，直觀地認(rèn)識平移、旋轉(zhuǎn)，逐步了解和領(lǐng)略“生活中的平移、旋轉(zhuǎn)”現(xiàn)象的共同規(guī)律，形成有關(guān)平移、旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)；通過簡單的平移作圖（包括漂亮的鑲嵌圖案）、簡單的旋轉(zhuǎn)作圖，通過分析簡單平面圖形平移、旋轉(zhuǎn)等的變化關(guān)系，進(jìn)一步體會平移、旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用價值和豐富內(nèi)涵；同時，通過簡單的圖案設(shè)計，將圖形的軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)融合在圖案的欣賞和設(shè)計活動之中。在整章內(nèi)容的編排中，注意體現(xiàn)“現(xiàn)實內(nèi)容數(shù)學(xué)化”、“數(shù)學(xué)內(nèi)容規(guī)律化”、“數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實化”三者的統(tǒng)一。整個設(shè)計的意圖，不僅在于引導(dǎo)學(xué)生觀察現(xiàn)實生活中的圖形運動變化現(xiàn)象并自覺地加以數(shù)學(xué)上的分析，進(jìn)而逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀，而且在于通過“生活中的平移、旋轉(zhuǎn)”現(xiàn)象，進(jìn)一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和體驗，在學(xué)習(xí)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生積極的情感、態(tài)度，促進(jìn)觀察、分析、歸納、概括等一般能力和審美意識的發(fā)展。6、本章所涉及的學(xué)習(xí)素材包含了大量與平移、旋轉(zhuǎn)有關(guān)的現(xiàn)實物體、現(xiàn)實問題等內(nèi)容，既有反映現(xiàn)代生活的高樓上的電梯、游樂場中的有關(guān)旋轉(zhuǎn)、平移設(shè)施、商標(biāo)圖案等，也有反映農(nóng)村題材的內(nèi)容（如，老井上的轆轤）。同時，也涉及常見的平面圖形，如三角形、四邊形等。7、本章的每節(jié)內(nèi)容都力圖提供生動有趣的現(xiàn)實情景，并通過深入觀察、分析、畫圖、簡單圖案的欣賞與設(shè)計等操作性活動，進(jìn)一步豐富學(xué)生對平移、旋轉(zhuǎn)等內(nèi)容的正確理解和準(zhǔn)確把握，形成有關(guān)軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的比較全面的認(rèn)識。8作一條線段等于已知線段。作一個角等于已知角二、教學(xué)建議1、在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘和利用現(xiàn)實生活中大量存在的平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，并對其中的一些共同特征加以分析、總結(jié)，尤其是充分利用具有地方特色的題材（如，農(nóng)村生活中的平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，牧區(qū)生活中的平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象）；同時，充分利用相對真實的情景以及現(xiàn)實生活中大量存在的典型圖形和平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象進(jìn)行教學(xué)，盡可能全面地體現(xiàn)教學(xué)素材的現(xiàn)實性和問題的挑戰(zhàn)性。2、強調(diào)學(xué)生的動手操作、活動演示和合作交流，讓學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、畫圖、圖形設(shè)計與欣賞等活動過程，幫助學(xué)生積累有關(guān)數(shù)學(xué)操作活動的經(jīng)驗和對圖形美的體驗，并在這個過程中，通過獨立思考、自主探索和合作交流，進(jìn)一步體驗圖形平移、旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，獲得有關(guān)平移、旋轉(zhuǎn)的知識和一定的成功經(jīng)歷，形成有關(guān)的簡單技能，體會學(xué)習(xí)的樂趣，發(fā)展思維，學(xué)會學(xué)習(xí)。3、在“生活中的平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象”、“它們是怎樣變過來的”、“簡單的平移、旋轉(zhuǎn)作圖”、“簡單的圖案設(shè)計”等有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)過程中，應(yīng)該有意識地滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求，并真正為學(xué)生提供個性化學(xué)習(xí)的時間和空間。三、注意的問題：

教學(xué)中建議結(jié)合本地實際靈活采取形式多樣的方式，再現(xiàn)平移的過程，分析其中的不變因素，讓學(xué)生自覺地發(fā)現(xiàn)和歸納出相應(yīng)的結(jié)果是從整體的角度刻畫平移的關(guān)鍵特征，“將一個圖形沿某個方向移動一定的距離”意味著“圖形上的每一點都沿同一個方向移動了相同的距離”，同時，“平移不改變圖形的形狀和大小”作為“定義”的補充內(nèi)容，也從平移的結(jié)果上刻畫了平移的特征。通過問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析圖3-2中線段、角的相等關(guān)系。對此，學(xué)生可以采取多種方式（如，實物演示、測量等）探究出其中的規(guī)律。但是，圖中的有些相等關(guān)系（如，∠ABC與∠BAD相等）并不是由于平移所產(chǎn)生的，在教學(xué)中建議教師注意區(qū)別對待。四、典型例題分析：例1將直角邊長為2cm、4cm的一個直角三角形，繞直角頂點按逆時針方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)三次，每次都旋轉(zhuǎn)90。（1）試作出每次旋轉(zhuǎn)前后的三角形；（2）將所得的所有三角形看成一個圖形，你將得到怎樣的圖形？例2（1）如圖，是由兩個正三角形和兩個等腰三角形組成的圖案，分析圖中的軸對稱、平移或旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。（2）分析圖中的平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱現(xiàn)象。例3如圖，由三角形ABC平移得到的三角形有幾個？

解：共有5個

說明：事實上，圖中所有的小三角形均與三角形ABC形狀相同，但要注意方向！

例4如圖，已知：點A及射線XY。求作：點A沿射線XY方向平移3cm后的圖形。

作法：在射線AY上截取線段AA'=3cm，點A'即為所求。

例5如圖，已知：線段AB及射線XY。求作：線段AB沿射線XY方向平移3cm后的圖形。

作法：1、過點A作射線AP平行于XY，在射線AP上截取線段AA'=3cm，得點A平移后的點；

2、過點B作射線BQ平行于XY，在射線BQ上截取線段BB'=3cm，得點B平移后的點；

3、連接A'B'，則線段A'B'即為所求。

說明：這里實際化歸為了點的平移問題。

例6如圖，經(jīng)過平移，△ABC的頂點A移到了點D，請作出平移后的三角形。

分析：因為A與D是對應(yīng)點，而平移的對應(yīng)點的連線段平行且相等所以平移方向——射線AD，平移距離——線段AD的長，

作法（一）

1、分別過點B、C沿AD方向作線段BE、CF，使它們與AD平行且相等

2、順次連結(jié)D、E、F

則△DEF即為所求。

作法（二）

1、過點D分別作DE、DF分別平行于AB、AC，且使DE=AB，DF=AC

2、連接EF則△DEF即為所求。

作法（三）

1、過點B作線段BE平行AD且等于AD

2、連接DE

3、分別以D、E為圓心，以AC、BC為半徑畫弧，兩弧交于點F

4、連接DF、EF則△DEF即為所求。

例7已知線段MN為正六邊形ABCDEF平移后所得的一條邊，請畫出平移后的圖形。

解：（如圖）

說明：利用分類思想，MN可能是由AB平移而來，也可能是由ED平移所得，故本題有兩種可能。

例8如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，現(xiàn)將△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。

（1）若平移距離為3，求△ABC與△A’B’C’的重疊部分的面積；

（2）若平移距離為x（），求△ABC與△A’B’C’的重疊部分的面積y，并寫出y與x的關(guān)系式。

解：（1）由題意CC’=3，BB’=3，所以BC’=1，

又由題意易得重疊部分是一個等腰直角三角形，所以其面積為；（2）

說明：這里應(yīng)用了平移的定義及對應(yīng)線段平行的性質(zhì)。例9把兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）．（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由．[解]：[分析]該題設(shè)計為開放型的綜合題，通過兩個圖形的旋轉(zhuǎn)變化，第（1）小題考查三角形全等條件的探索、旋轉(zhuǎn)變換，求圖形的面積；第（2）小題考查函數(shù)建模及自變量的取值范圍；第（3）小題由一元二次方程考查探究存在性問題以及探索能力。題中設(shè)計的三個問題由易到難，有動有靜；關(guān)注學(xué)生在動態(tài)數(shù)學(xué)情景下感受函數(shù)及方程的思想，發(fā)展分析問題解決問題的能力；主要考查了學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題的能力及應(yīng)用[答案]略例10四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)．只要善于觀察、樂于探索，我們還會發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論．問題的提出：四邊形一條對角線上任意一點與另外兩個頂點的連線，將四邊形分成四個三角形，其中相對的兩對三角形的面積之積有何關(guān)系？你能探索出結(jié)論嗎？1）為了更直觀的發(fā)現(xiàn)問題，我們不妨先在特殊的四邊形——平行四邊形中，研究這個問題：已知：在□ABCD中，O是對角線BD上任意一點（如圖①）求證：S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD證明：（2）有了（1）中的探索過程作參照，你一定能類比出在一般四邊形（如圖②）中，解決問題的辦法了吧！填寫結(jié)論并寫出證明過程．已知：在四邊形ABCD中，O是對角線BD上任意一點（如圖②）求證：_________________________________證明：（3）在三角形中（如圖③），你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，用文字?jǐn)⑹瞿銡w納出的結(jié)論，并寫出已知、求證和證明過程；若不能，說明理由．[分析]該題是對學(xué)生課題學(xué)習(xí)能力、探究的思維過程、可持續(xù)發(fā)展能力的考查；關(guān)注學(xué)生從特殊到一般、類比、猜想、拓廣的思維方法的形成過程和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變；[答案]略例11

仔細(xì)觀察下面給出的平移、對稱、旋轉(zhuǎn)的圖形．例12

指出圖中的“基本圖案”并指出怎樣的“基本圖案”變化成整個圖案的．解

圖中陰影部分是“基本圖案”，順時針旋轉(zhuǎn)60°，120°，180°，240°，300°后得到ADEFGH這樣一朵“花”，再把這個圖形的中心O平移到、……，再把O平移到、……，依次做下去就得到整個圖形．例13

利用平移與旋轉(zhuǎn)的知識觀察下面的圖：（1）在標(biāo)有字母的六個形狀中，其中有五個分別與右側(cè)標(biāo)有數(shù)字的形狀相同．找出它們．（2）在標(biāo)有字母的拼塊中，哪一個不屬于左邊的拼圖．解

（1）中．（2）不屬于左邊的拼圖．例14觀察圖中所給的圖案，它可以看成由哪個較基本的圖形經(jīng)過哪些運動變換產(chǎn)生的？它是不是軸對稱圖形？旋轉(zhuǎn)對稱圖形？中心對稱圖形？分析

這是一個涉及軸對稱平移、旋轉(zhuǎn)的綜合性例子．解題思路主要通過直觀觀察取得．解

這個圖案較基本的圖形是正方形，一個小正方形活對角線方向平移一個對角線長、兩個對角線長后得一正方形串，然后在串的軸線上找一點O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三個90°后得到題目中給出的圖案，整個過程如圖所示．這個圖形是軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱。中心對稱圖形說明：

這里的較基本圖形也可以看成線段．一線段經(jīng)平移、旋轉(zhuǎn)后得一正方形，然后重復(fù)上面的過程．例15已知線段m,求線段AB,使AB＝m例16已知∠AOB，求作∠COD,使∠COD＝∠AOB例17已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形五、鞏固訓(xùn)練一．選擇題1將長度為5cm的線段向上平移10cm所得線段長度是（）

（A）10cm（B）5cm（C）0cm（D）無法確定

2在以下現(xiàn)象中，

①溫度計中，液柱的上升或下降；②打氣筒打氣時，活塞的運動；

③鐘擺的擺動；④傳送帶上，瓶裝飲料的移動

屬于平移的是（）（A）①，②（B）①，③（C）②，③（D）②，④

3如果同一平面的兩個圖形通過平移，不論其起始位置如何，總能完全重合，則這兩個圖形是（）

（A）兩個點（B）兩個半徑相等的圓

（C）兩個點或兩個半徑相等的圓（D）兩個全等的多邊形

4、一個圖形無論經(jīng)過平移變換，還是經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換，下列說法都能正確的是（）（1）對應(yīng)線段平行；（2）對應(yīng)線段相等；（3）對應(yīng)角相等；（4）圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化。A．（1）、（2）、（3）B.（2）、（3）、（4）C.（1）、（2）、（4）D.（1）、（3）、（4）5、下列圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A、正方形B、等邊三角形C、平行四邊形D、等腰三角形6、如圖，在△ABC中，∠A=90°，作既是中心對稱又是軸對稱的四邊形ADEF，使D、E、F分別在AB、BC、CA上，這樣的四邊形（）A、只能作一個B、能作三個C、能作無數(shù)個D、不存在7、如圖，這個圖形旋轉(zhuǎn)一周會與原圖形重合幾次？（）A、0B、1C、2D、48、下列圖形均可以由“基本圖案”通過變換得到。(填序號)(1)通過平移變換但不能通過旋轉(zhuǎn)變換得到的圖案是_________;(2)可以通過旋轉(zhuǎn)變換但不能通過平移變換得到的圖案是____(3)既可以由平移變換,也可以由旋轉(zhuǎn)變換得到的圖案是_____二、填空題）1、旋轉(zhuǎn)對稱圖形（一定、不一定）是中心對稱圖形；反之，中心對稱圖形（一定、不一定）是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。2、在成中心對稱的兩個圖形中，連結(jié)對稱點的線段都經(jīng)過，并且被該點。3．將5cm長的線段向右平移3cm得到線段PQ，則PQ的長等于cm；將35度的角AOB饒O點旋轉(zhuǎn)50度，得到COD，則COD=。4．將面積為18cm2的等邊三角形ABC向上平移5cm，得到三角形DEF，則三角形DEF的面積=cm2，三角形DEF是一個三角形。5在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離的圖形運動叫做。

6平移不改變圖形的、和，只改變圖形的。

7小明把自己的左手手印和右手手印按在同一張白紙上，左手手印（填能或不能）通過平移與右手手印完全重合。

8、正五邊形順時針旋轉(zhuǎn)_________度會與原圖形第3次重合。三、解答題1、如圖，正方形ABCD平移后成為正方形A′B′C′D′，畫出平移方向，量出平移距離。2、任意畫一個三角形，并沿北偏東60°方向平移3厘米，畫出平移后的圖形。3、已知△ABC，點P，請畫出△ABC關(guān)于點P成中心對稱的△A′B′C′。4、如圖，將警示牌繞P點旋轉(zhuǎn)后到達(dá)另一位置，試在圖形上標(biāo)出旋轉(zhuǎn)的角度，并用量角器量出旋轉(zhuǎn)角度的大小。5、現(xiàn)有四種磚，請用其中的兩塊（允許用相同的）設(shè)計出美麗的圖案,然后利用你設(shè)計的圖案，通過平移或軸對稱、旋轉(zhuǎn)，設(shè)計出更為美麗的圖形。例如：6、請用盡可能多的方法把一個圓分成面積相等的四部分。7、經(jīng)過平移，下圖中A點移到M點，作出平移后的圖形。8、欣賞下