應用多元分析主成分分析

優(yōu)選應用多元分析主成分分析現(xiàn)在是1頁\一共有48頁\編輯于星期二主成分分析是考察多個數(shù)值變量間相關性的一種多元統(tǒng)計方法，它是研究如何通過少數(shù)幾個主成分來解釋多變量的方差—協(xié)方差結構。導出幾個主成分，使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且彼此間不相關?，F(xiàn)在是2頁\一共有48頁\編輯于星期二一、主成分分析的基本思想將原來眾多具有一定相關性的指標重新組合成一組新的相互無關的綜合指標來代替原來指標。以兩個指標為例，信息總量以總方差表示：現(xiàn)在是3頁\一共有48頁\編輯于星期二Principalcomponentin2d現(xiàn)在是4頁\一共有48頁\編輯于星期二One-dimensionalprojection現(xiàn)在是5頁\一共有48頁\編輯于星期二其中y1、y2分別都是x1、x2的線性組合，并且信息盡可能地集中在y1上。在以后的分析中舍去y2，只用主成分y1來分析問題，起到了降維的作用。主成分分析就是通過適當?shù)淖兞刻鎿Q，使新變量成為原變量的線性組合，并尋求主成分來分析事物的一種方法?，F(xiàn)在是6頁\一共有48頁\編輯于星期二二、幾何解釋x1x2y1y2現(xiàn)在是7頁\一共有48頁\編輯于星期二旋轉變換的目的是為了使得n個樣本點在y1軸方向上的離散程度最大，即y1的方差最大，變量y1代表了原始數(shù)據(jù)的絕大部分信息，在研究某經濟問題時，即使不考慮變量y2也損失不多的信息。y1與y2除起了濃縮作用外，還具有不相關性。y1稱為第一主成分，y2稱為第二主成分?，F(xiàn)在是8頁\一共有48頁\編輯于星期二推廣開來，對于p維總體，尋求正交變換，使得在所有正交變換中，所選正交矩陣U，使最大；與不相關；并且在所有與不相關的變量中最大；與、不相關，同時在所有與、不相關的變量中最大；依次類推。

為總體的主成分，為第一主成分，為第二主成分…現(xiàn)在是9頁\一共有48頁\編輯于星期二三、主成分分析的數(shù)學原理對原有變量作坐標變換，要求滿足：現(xiàn)在是10頁\一共有48頁\編輯于星期二如果z1=u1’x滿足

則稱z1為第一主成分.如果z2=u2’x滿足

則稱z2為第二主成分.…現(xiàn)在是11頁\一共有48頁\編輯于星期二§7.2總體的主成分

設為一p維隨機向量，其二階矩存在，記為的特征值，為相應的單位特征向量，且相互正交。則yi為第i個主成分。一、主成分的導出現(xiàn)在是12頁\一共有48頁\編輯于星期二二、主成分的性質1、主成分的均值與協(xié)方差記現(xiàn)在是13頁\一共有48頁\編輯于星期二

2、主成分的總方差

現(xiàn)在是14頁\一共有48頁\編輯于星期二3、原始變量與主成分的相關系數(shù)現(xiàn)在是15頁\一共有48頁\編輯于星期二4、m個主成分對原始變量的貢獻率的復相關系數(shù)的平方稱為m個主成分與現(xiàn)在是16頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是17頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是18頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是19頁\一共有48頁\編輯于星期二其特征值為相應的特征向量為現(xiàn)在是20頁\一共有48頁\編輯于星期二0.0000.8550.0000.9961.0001.000-0.9250.8550.9980.9960.0000.000123I現(xiàn)在是21頁\一共有48頁\編輯于星期二Proc

iml;X={1-2

0,-2

5

0,0

0

2};Val=eigval(x);Vec=eigvec(x);D=1:2;B=(val)[d,1];c=(vec)[,d];F1=(sqrt(inv(diag(X)))*vec*sqrt(diag(val)))[,d];F2=(f1#f1)[,1];F=diag(c*diag(b)*t(c))*inv(diag(x))*j(3,1);Printvalvecbcf1f2f;現(xiàn)在是22頁\一共有48頁\編輯于星期二

VALVECBC5.8284271-0.38268300.92387955.8284271-0.382683020.923879500.382683420.923879500.171572901001

F1F2F-0.9238800.85355340.85355340.997484200.99497470.99497470101現(xiàn)在是23頁\一共有48頁\編輯于星期二Dataw(type=cov);Inputx1x2x3;Cards;1-20-250002;Procprincompcov;Run;現(xiàn)在是24頁\一共有48頁\編輯于星期二ThePRINCOMPProcedureObservations10000Variables3TotalVariance8EigenvaluesoftheCovarianceMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative15.828427123.828427120.72860.728622.000000001.828427120.25000.978630.171572880.02141.0000EigenvectorsPrin1Prin2Prin3x1-.3826830.000000.923880x20.9238800.000000.382683x30.0000001.000000.000000現(xiàn)在是25頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是26頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是27頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是28頁\一共有48頁\編輯于星期二主成分分析在經濟指標綜合評價中的應用核心：通過主成分分析，選擇m個主成分y1,y2,…,ym，以每個主成分yi的方差貢獻率αi作為權數(shù)，構造綜合評價函數(shù)，其中為第i個主成分的得分（求出主成分的表達式后，將標準化后的數(shù)據(jù)再代入yi中）

當把m個主成分得分代入F函數(shù)后，即可得到每個樣本的綜合評價函數(shù)得分，以得分的大小排序，可排列出每個樣本的經濟效益的名次。現(xiàn)在是29頁\一共有48頁\編輯于星期二5、原始變量對主成分的影響

稱為第i主成分在第j個原始變量上的載荷現(xiàn)在是30頁\一共有48頁\編輯于星期二

現(xiàn)在是31頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是32頁\一共有48頁\編輯于星期二分析：y1主要由x3控制，y2主要由x1控制，y3主要由x2

控制Y1的貢獻率為：109.793/117=0.938x1,x2,x3之間的線性關系現(xiàn)在是33頁\一共有48頁\編輯于星期二Dataw(type=cov);Inputx1x2x3;Cards;16230214304100;Procprincompcov;Run;現(xiàn)在是34頁\一共有48頁\編輯于星期二三、從相關矩陣出發(fā)求主成分現(xiàn)在是35頁\一共有48頁\編輯于星期二性質：現(xiàn)在是36頁\一共有48頁\編輯于星期二例7.2.3在例中，x的相關矩陣現(xiàn)在是37頁\一共有48頁\編輯于星期二相應的主成分為：現(xiàn)在是38頁\一共有48頁\編輯于星期二§7.3樣本的主成分設數(shù)據(jù)矩陣為現(xiàn)在是39頁\一共有48頁\編輯于星期二樣本協(xié)方差矩陣為樣本相關矩陣為現(xiàn)在是40頁\一共有48頁\編輯于星期二

例

在制定服裝標準的過程中，對128名成年男子的身材進行了測量，每人測得的指標中含有：身高(x1)、坐高(x2)、胸圍(x3)、手臂長(x4)、肋圍(x5)和腰圍(x6)。所的樣本相關矩陣如下：X1X2X3X4X5X6

X1X2X3X4X5X61.000.791.000.360.311.000.760.550.351.000.250.170.640.161.000.510.350.580.380.631.00表7.3.1男子身材六項指標的樣本相關矩陣現(xiàn)在是41頁\一共有48頁\編輯于星期二SAS程序dataexamp731(type=corr);inputx1-x6;cards;1.00.....0.791.00....0.360.311.00...0.760.550.351.00..0.250.170.640.161.00.0.510.350.580.380.631.00;procprincomp;Run;現(xiàn)在是42頁\一共有48頁\編輯于星期二

TheSASSystem08:44Wednesday,November24,20061ThePRINCOMPProcedureObservations10000Variables6EigenvaluesoftheCorrelationMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative13.287200781.880960730.54790.547921.406240040.947144960.23440.782230.459095080.032753350.07650.858840.426341730.131541600.07110.929850.294800130.168477900.04910.978960.126322230.02111.0000

Eigenvectors

Prin1Prin2Prin3Prin4Prin5Prin6x10.468906-.3647560.092208-.1224270.079696-.785645x20.403726-.3966060.6130110.326444-.0270350.443430x30.3935700.396800-.2788700.655713-.405232-.125342x40.407640-.364842-.704801-.1078290.2345850.370564x50.3374720.5692140.164251-.0192970.7305020.033531x60.4268220.3083690.119265-.660671-.4899410.178828現(xiàn)在是43頁\一共有48頁\編輯于星期二

特征向量

0.469-0.3650.0920.404-0.3970.6130.3940.397-0.2970.408-0.365-0.7050.3370.5690.1640.4270.3080.119

特征值3.2871.4060.459

貢獻率0.5480.2340.077累計貢獻率0.5480.7820.859現(xiàn)在是44頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是45頁\一共有48頁\編輯于星期二

例7.3.3測得八項男子徑賽運動紀錄，樣本相關矩陣如下：X1X2X3X4X5X6

X7X8X1X2X3X4X5X6

X7X8

1.0000.9231.0000.8410.8511.0000.7560.8070.8701.0000.7000.7750.8350.9181.0000.6190.6950.7790.8640.9281.0000.6330.6970.7870.8690.9350.9751.0000.5200.5960.7050.8060.8660.9320.9431.000現(xiàn)在是46頁\一共有48頁\編輯于星期二dataexamp733(type=corr);inputx1-x8;cards;1.000.......0.9231.000......0.8410.8511.000..