矩陣分析在通信領(lǐng)域的應(yīng)用

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重慶郵電大學(xué)矩陣分析小論文

學(xué)院名稱：學(xué)生姓名：專業(yè)：學(xué)號(hào)：教師：

通信與信息工程學(xué)院胡曉玲

信息與通信工程專業(yè)S160101047安世全

時(shí)間：2023年12月

矩陣在MIMO信道和保密通信上的應(yīng)用

矩陣廣泛應(yīng)用于通信的各個(gè)環(huán)節(jié)，例如：奇異矩陣，酉矩陣等MIMO上的應(yīng)用；可逆矩陣在保密通信上的應(yīng)用；生成矩陣，監(jiān)視矩陣在信道編碼上的應(yīng)用；Toeplitz和Hankel矩陣在通信信號(hào)處理中的應(yīng)用等。本文主要探討矩陣在MIMO信道和保密通信上的應(yīng)用。

一、矩陣應(yīng)用于MIMO信道

我們知道MIMO信道在不增加頻譜資源和天線發(fā)射功率的狀況下能顯著提升系統(tǒng)容量，同時(shí)提高信道的可靠性，降低誤碼率。是4G和未來5G中的一個(gè)十分重要的技術(shù)，因此對(duì)MIMO的信道進(jìn)行建模研究具有巨大的指導(dǎo)意義。本文首先建立了MIMO信道模型，利用矩陣?yán)碚摰贸鯩IMO信道簡(jiǎn)化模型，再結(jié)合信息論計(jì)算出信道容量，并得出結(jié)論。

首先建立一個(gè)MIMO信道模型，發(fā)射端通過空時(shí)映射將要發(fā)送的信號(hào)映射到多根天線上發(fā)送出去，接收端將各根天線接收到的信號(hào)進(jìn)行空時(shí)譯碼從而恢復(fù)出發(fā)射端發(fā)送的數(shù)據(jù)信號(hào)。

信宿當(dāng)發(fā)送信號(hào)所占用的帶寬足夠小的時(shí)候，信道可以被認(rèn)為是平坦的，這樣，MIMO系統(tǒng)的信道用一個(gè)n*m?的復(fù)數(shù)矩陣H描述。H的子元素

aij表示從第

xi(i=1,2,…n)根發(fā)射天線到第yj(j=1,2,.m)根接收天線之間的空間信道衰落系數(shù)。

??11?21??n1????????22n2?H??12???????????1m?2m??nm?發(fā)送信號(hào)可以用一個(gè)n*1的列向量X=(x1,x2….xn)表示，其中xi表示在第i個(gè)

天線上發(fā)送的數(shù)據(jù)。用一個(gè)m*1的列向量Y=(y1,y2…ym)表示，其中yi表示在第i個(gè)天線上接收的數(shù)據(jù)。信道中的噪聲為高斯白噪聲n。通過這樣一個(gè)模型，在t時(shí)刻接收信號(hào)可以表示為：

yt?Hxt?ntH

發(fā)送信號(hào)的協(xié)方差：Rxx=E[XX]

發(fā)送信號(hào)的功率：P=tr(Rxx)噪聲的協(xié)方差：Rnn=E[nn]接收信號(hào)的協(xié)方差：

H

由于x與噪聲n不相關(guān)，所以

MIMO信道容量做一般性推導(dǎo)

下面根據(jù)信息論知識(shí)，我們對(duì)MIMO信道容量做一般性推導(dǎo)。在下面的推導(dǎo)過程中我們假設(shè)信道矩陣H在接收端已經(jīng)完全已知，但是它是隨機(jī)的，因此我們可以得到瞬時(shí)信道容量為：

Ixy是在已知信道H的狀況下輸入x與輸出y之間的互信息量有：

Hy是y的信息熵（微分熵），由于發(fā)送信號(hào)與噪聲之間是獨(dú)立的，因此有

所以上式可以重新寫為：

由于噪聲概率密度函數(shù)確定，所以Hn為定值，當(dāng)信道為加性高斯信道時(shí)，信源x聽從高斯分布時(shí)此時(shí)接收信號(hào)y也聽從高斯分布，根據(jù)信息論理論，此時(shí)(,)Ixy取最大，即為信道容量。此時(shí)y和n的信息熵分別為：

所以我們可以得到信道瞬時(shí)交互信Ixy，也即信息容量為：

工程中一般定義信道容量為單位時(shí)間內(nèi)的平均互信息，故定義MIMO的信道容量：

其中T為一個(gè)符號(hào)周期，根據(jù)采樣定理，(1/T)>=2B?，其中B為信號(hào)帶寬，取(1/T)=2B?，代入得：

這即是MIMO的信道容量一般公式。

信道是極其繁雜的。因此原始的信道矩陣也就顯得繁雜，不便于分析，而且一般矩陣不經(jīng)過處理計(jì)算行列式很困難。這就自然想到在信源端對(duì)發(fā)射信號(hào)做某種預(yù)處理，使得經(jīng)過預(yù)處理的信號(hào)經(jīng)過的信道變得簡(jiǎn)單易分析，而且具體實(shí)現(xiàn)也變得簡(jiǎn)單。對(duì)于信道矩陣來說，對(duì)角矩陣是最簡(jiǎn)單的，所以自然就想到把信道矩陣分解，利用矩陣?yán)碚撝械钠娈愔捣纸饪梢赃_(dá)到這種目的。下面就矩陣的奇異值分解來計(jì)算MIMO的信道容量。奇異值分解信道矩陣為：H=UDV

D是n*m的對(duì)角陣，其對(duì)角非零元素模值為H的正奇異值，U、V分別為n*n和m*m的酉矩陣，則接收信號(hào)可表示為：

H

yt=UDVHxt+nt

兩邊同時(shí)左乘酉矩陣UH,則

yt??Dxt??nt?

若矩陣H的非零特征值的個(gè)數(shù)為r個(gè)，每個(gè)子信道的增益等于矩陣H的一個(gè)奇異值。用λi表示矩陣H的奇異值，將????代入公式可得：

接收元素yi(i=r+1…m)并不依靠于發(fā)射信號(hào)，即信道增益為零。另一方面,接收元素yi(i=1,2...,r)?僅僅取決于發(fā)射元素xi。因此得到的等效MIMO信道是由個(gè)去

耦平行子信道組成的,信道可等價(jià)為r個(gè)不相交的并行子信道，因此MIMO信道模型可簡(jiǎn)化為：

利用此簡(jiǎn)化模型結(jié)合信息論中信道容量的計(jì)算方法得到MIMO信道容量為：

CH令

?r???iP??iP???W?log2?1??Wlog1???2?2?????n?2?n?i?1i?1?????rm*?min?m,n?

???HH,m?nQ?????HH,m?n

在信道衰落為平坦衰落，且接收端可確鑿估計(jì)信道衰落的條件下

由該公式可知，MIMO鏈路的信道容量很大程度上取決于H的秩r。矩陣的秩越大，容量也越大。所以，MIMO正是利用無線信道的多徑效應(yīng)使相距超過半個(gè)波長的天線盡量不相關(guān)，從而使信道矩陣秩越大，進(jìn)而在不增加帶寬和發(fā)射功率的狀況下增加系統(tǒng)容量。

二、矩陣在保密通信中的應(yīng)用

保密通信是信息時(shí)代的一個(gè)十分重要的課題,基于加密技術(shù)的保密通信模型是最基本的?；诩用芗夹g(shù)的保密通信模型如下：加密模型:

密鑰明文串加密盒密文串解密模型：密文串

密鑰明文串解密盒逆矩陣所傳遞的明文消息進(jìn)行加密(即密文消息)，然后再發(fā)給接收方,而接收方則可以采用相對(duì)應(yīng)的某種逆運(yùn)算將密文消息編譯成明文。若A代表可逆的加密密鑰矩陣，B代說明文，C代表密文，則采用C=BA對(duì)信息進(jìn)行加密，在接收端利用B=CA-1對(duì)密文進(jìn)行解密。

對(duì)于加密密鑰的選擇，可以通過對(duì)單位矩陣連續(xù)實(shí)施一系列所選擇的初等變換得到加密矩陣。對(duì)于解密秘鑰的生成，只需要再次利用生成加密秘鑰時(shí)的變換矩陣對(duì)初等矩陣作一系列的初等逆變換即可。

通過這次小論文，我發(fā)現(xiàn)矩陣分析在通信的好多方面都有重要應(yīng)用。應(yīng)用矩陣的相關(guān)知識(shí)，將