平穩(wěn)時序模型性質(zhì)

平穩(wěn)時序模型性質(zhì)第1頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四自回歸過程的性質(zhì)第2頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR模型平穩(wěn)性判別

判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的

第3頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性第4頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.1平穩(wěn)序列時序圖第5頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.1非平穩(wěn)序列時序圖第6頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四一階自回歸過程AR(1)的性質(zhì)一階自回歸模型的形式為：或第7頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：一個有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，AR(1)模型總是可逆的。B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外，于是有：第8頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR模型平穩(wěn)性判別方法特征根判別AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個特征根都在單位圓內(nèi)根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項式的根都在單位圓外平穩(wěn)域判別

平穩(wěn)域第9頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR(1)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域第10頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四二階自回歸AR(2)過程的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或第11頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型總是可逆的。第12頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第13頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四注：我們下面對AR(2)性質(zhì)的討論中都假定平穩(wěn)性條件滿足第14頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四-202-101實根復根AR(2)過程的平穩(wěn)性區(qū)域如下圖三角域所示第15頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR(2)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域第16頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.1平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)第17頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四p階自回歸過程AR(p)p階自回歸模型的形式為：或第18頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外.平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：AR(p)模型總是可逆的。即如果β1，β2，…，βp是的根，那么它們的絕對值|βi|>1第19頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四其實也就是要求特征方程的特征根都在單位圓內(nèi)。即如果λ1，λ2…λp是上述特征方程的p個特征根，那么為滿足平穩(wěn)性條件，必須有|λi|<1注：下面對AR(p)性質(zhì)的討論，都假定平穩(wěn)性條件滿足。第20頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四對于高階的自回歸過程，其平穩(wěn)性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：這是自回歸過程平穩(wěn)的必要條件之一。第21頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計性質(zhì)均值方差協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)第22頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且為白噪聲序列，有推導出第23頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四Green函數(shù)定義AR模型的傳遞形式其中系數(shù)稱為Green函數(shù)第24頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四Green函數(shù)遞推公式原理方法待定系數(shù)法遞推公式第25頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式兩邊求方差得第26頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為Green函數(shù)為平穩(wěn)AR(1)模型的方差第27頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘，再求期望根據(jù)得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式第28頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR(1)過程第29頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式平穩(wěn)AR(1)模型的方差為協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為第30頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為第31頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的定義平穩(wěn)AR(P)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式第32頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四常用AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式AR(1)模型AR(2)模型第33頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈復指數(shù)衰減第34頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)第35頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第36頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第37頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第38頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四通過上述推導可看出，當過程平穩(wěn)即時，AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈指數(shù)衰減。如果，那么所有的自相關(guān)系數(shù)都為正，并逐漸衰減。如果，自相關(guān)系數(shù)的符號以負號開始，并呈正、負交替逐漸衰減。第39頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.5—自相關(guān)系數(shù)按復指數(shù)單調(diào)收斂到零第40頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四-6-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(1)過程趨勢圖第41頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.5:—第42頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四-6-4-2024682848688909294969800Y模擬生成的AR(1)過程趨勢圖第43頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)第44頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第45頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第46頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第47頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四通過上述推導可以如下結(jié)論，在AR(2)過程的平穩(wěn)性條件滿足時，如果特征方程的根為實根，即時，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減。如果特征方程的根為復根，即時，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈阻尼正弦波衰減。第48頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.5:—自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性第49頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.5:—自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減第50頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR(p)的自相關(guān)函數(shù)ACF第51頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第52頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四通過上述推導有如下結(jié)論：對于平穩(wěn)過程，有|λi|<1，AR(p)過程的ACF是由差分方程的根確定的，呈混合指數(shù)衰減或出現(xiàn)復根時的阻尼正弦波衰減。第53頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四偏自相關(guān)系數(shù)定義對于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個隨機變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，對影響的相關(guān)度量。用數(shù)學語言描述就是第54頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四偏自相關(guān)函數(shù)的一般公式第55頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四偏自相關(guān)系數(shù)的計算滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實際上就等于k階自回歸模型第個k回歸系數(shù)的值。第56頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第57頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第58頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第59頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第60頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)第61頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四上述結(jié)論說明：AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號取決于。滯后一階以后PACF截尾。第62頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾第63頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)第64頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第65頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四通過上述證明可以得出如下結(jié)論：第66頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.5續(xù):考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖第67頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.5—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第68頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第69頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第70頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢圖第71頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖第72頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四-6-4-2024682848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢圖第73頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)PACF第74頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四可以很容易地看出，當k>p時，上式分母行列式最后列是同一矩陣前面各列的線性組合。于是當k>p時,有φkk=0。所以，AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)滯后p階截尾。第75頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四移動平均過程的性質(zhì)第76頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第77頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四移動平均系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階移動平均系數(shù)多項式第78頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA模型的可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)第79頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四可逆的定義可逆MA模型定義若一個MA模型能夠表示稱為收斂的AR模型形式，那么該MA模型稱為可逆MA模型可逆概念的重要性一個自相關(guān)系數(shù)列唯一對應一個可逆MA模型。第80頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四可逆MA(1)模型

第81頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA模型的可逆條件MA(q)模型的可逆條件是：MA(q)模型的特征根都在單位圓內(nèi)等價條件是移動平滑系數(shù)多項式的根都在單位圓外第82頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA(1)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(1)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，θ(B)=1－θ1B=0

的根必須在單位圓外。第83頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四注：以后對MA(1)過程性質(zhì)的討論中，都假定可逆性條件滿足，即有：|θ1|<1。第84頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA(2)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(2)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性,的根必須在單位圓外。第85頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第86頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：有限階移動平均過程MA(q)總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，的根必須在單位圓外。第87頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四對于高階的移動平均過程，其可逆性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：這是移動平均過程可逆的必要條件之一。第88頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四逆函數(shù)的遞推公式原理方法待定系數(shù)法遞推公式第89頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.6續(xù):考察如下MA模型的可逆性第90頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四(1)—(2)

逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式第91頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四(3)—(4)

逆函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式第92頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)常數(shù)均值常數(shù)方差第93頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)自協(xié)方差函數(shù)P階截尾自相關(guān)系數(shù)P階截尾第94頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四常用MA模型的自相關(guān)系數(shù)MA(1)模型MA(2)模型第95頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF第96頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第97頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第98頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四模擬產(chǎn)生的250個數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關(guān)圖：第99頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第100頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四模擬產(chǎn)生的250個數(shù)據(jù)的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關(guān)圖：第101頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第102頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA(2)過程的自相關(guān)函數(shù)ACF第103頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第104頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第105頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)(ACF)第106頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四因而：MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是滯后q階截尾的。第107頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四例3.6:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)第108頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

第109頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

第110頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)拖尾第111頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四樣本偏自相關(guān)函數(shù)（SPACF）樣本偏自相關(guān)函數(shù)有如下遞推公式：第112頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)PACF我們介紹了求偏自相關(guān)的遞推公式如下：第113頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第114頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四由上推導可得出如下結(jié)論：在可逆性條件滿足情況下,MA(1)過程的PACF呈指數(shù)拖尾。如果θ1>0,那么PACF都為負，且呈指數(shù)衰減；如果θ1<0,那么PACF正負交替呈指數(shù)衰減。第115頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)第116頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四對于MA(2)過程，我們有如下結(jié)論：如果其特征方程:1－θ1B－θ2B2=0的根是實數(shù)，則φkk是兩個衰減指數(shù)的和；如果其根是復數(shù)，則φkk

是一衰減的正弦波。第117頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）要用明確的公式表示出MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是很困難的，但是從前面我們對MA(1)、MA(2)的討論中，可以看出：MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是由的根確定的，呈混合指數(shù)衰或阻尼正弦波衰減。第118頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

第119頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

第120頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四自回歸移動平均過程的性質(zhì)第121頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四ARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第122頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階自回歸系數(shù)多項式階移動平均系數(shù)多項式第123頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四ARMA(1,1)的性質(zhì)第124頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四ARMA(1,1)過程的平穩(wěn)性和可逆性第125頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四2.ARMA(1,1)過程的ACF第126頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第127頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四第128頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四通過上式可以看出，ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)具有AR(1)過程和MA(1)過程的組合特性。當k=1時，自相關(guān)系數(shù)由φ1和θ1共同決定。當k≥2時，自相關(guān)系數(shù)僅取決于φ1即差分方程φ(B)=0的根，呈指數(shù)衰減。第129頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四ARMA(1,1)過程的PACFARMA(1,1)過程的PACF和它的ACF一樣，也是呈指數(shù)衰減，不過指數(shù)衰減的形態(tài)由φ1和θ1共同決定，因此指數(shù)衰減的形態(tài)比MA(1)過程PACF指數(shù)衰減形式更多。第130頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四平穩(wěn)條件與可逆條件ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件P階自回歸系數(shù)多項式的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性完全由其自回歸部分的平穩(wěn)性決定ARMA(p,q)模型的可逆條件q階移動平均系數(shù)多項式的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移動平滑部分的可逆性決定第131頁，共142頁，2023年，2月20日，星期四傳遞形式與逆轉(zhuǎn)形式傳遞形式逆轉(zhuǎn)形式第132頁，共142頁，2023年，2月20日，星