金融工程復(fù)習(xí)

/金融工程一：名詞說(shuō)明1．確定定價(jià)法和相對(duì)定價(jià)法確定定價(jià)法就是依據(jù)證券將來(lái)現(xiàn)金流的特征，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)馁N現(xiàn)率將這些現(xiàn)金流貼現(xiàn)加總為現(xiàn)值，該現(xiàn)值就是此證券的合理價(jià)格：股票和債券相對(duì)定價(jià)法的基本思想就是利用標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和衍生證券價(jià)格之間的內(nèi)在關(guān)系，干脆依據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格求出衍生證券價(jià)格：衍生證券2．風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理在對(duì)衍生證券進(jìn)行定價(jià)時(shí)，我們可以作出一個(gè)有助于大大簡(jiǎn)化工作的簡(jiǎn)潔假設(shè)：全部投資者對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)所蘊(yùn)涵的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的看法都是中性的，既不偏好也不厭惡。在此條件下，全部和標(biāo)的資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)相同的證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不須要額外的收益來(lái)吸引他們擔(dān)當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)。同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，全部和標(biāo)的資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)相同的現(xiàn)金流都應(yīng)當(dāng)運(yùn)用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。3．最小方差套期保值比率是指套期保值的目標(biāo)是使得整個(gè)套期保值組合收益的波動(dòng)最小化的套期保值比率，具體表現(xiàn)為套期保值收益的方差最小化。4．利率互換和貨幣互換利率互換是指雙方同意在將來(lái)的確定期限內(nèi)依據(jù)同種貨幣的相同名義本金交換現(xiàn)金流，其中一方的現(xiàn)金流依據(jù)事先選定的某一浮動(dòng)利率計(jì)算，而另一方的現(xiàn)金流則依據(jù)固定利率計(jì)算。貨幣互換是在將來(lái)約定期限內(nèi)將一種貨幣的本金和固定利息和另一貨幣的等價(jià)本金和固定利息進(jìn)行交換。5．期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值是0和多方行使期權(quán)時(shí)可以獲得的收益現(xiàn)值的較大值。期權(quán)的時(shí)間價(jià)值是指在期權(quán)尚未到期時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)為期權(quán)持有者帶來(lái)收益的可能性所隱含的價(jià)值。二：簡(jiǎn)答題1．無(wú)套利定價(jià)的主要特征1）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)：套利活動(dòng)在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下進(jìn)行。也就是說(shuō)，最差的狀況下，套利者的最終損益（扣除全部成本）為零。2）復(fù)制無(wú)套利的關(guān)鍵技術(shù)是所謂的“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來(lái)復(fù)制另外一組證券，使復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征和被復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征完全一樣；復(fù)制組合的多頭（空頭）和被復(fù)制組合的空頭（多頭）相互之間應(yīng)當(dāng)完全實(shí)現(xiàn)頭寸對(duì)沖。3）零投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利活動(dòng)從初始現(xiàn)金流看是零投資組合，即初始套利者不須要任何資金的投入，在投資期間也不須要任何的維持成本。2．遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格有什么關(guān)系？當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且對(duì)全部到期日都相同時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和利率呈正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和利率呈負(fù)相關(guān)時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格就會(huì)高于期貨價(jià)格。遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的差異幅度還取決于合約有效期的長(zhǎng)短。當(dāng)有效期只有幾個(gè)月時(shí)，兩者的差距通常很小。此外，稅收、交易費(fèi)用、保證金的處理方式、違約風(fēng)險(xiǎn)、流淌性等方面的因素或差異都會(huì)導(dǎo)致遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的差異。遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的定價(jià)思想在本質(zhì)上是相同的，其差別主要體現(xiàn)在交易機(jī)制和交易費(fèi)用的差異上，在很多狀況下常常可以忽視，或進(jìn)行調(diào)整。因此在大多狀況下，我們可以合理地假定遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格相等，并都用F來(lái)表示。3．如何證明無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨——遠(yuǎn)期平價(jià)定理為了證明無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理，我們用反證法證明等式不成立時(shí)的情形是不均衡的。若K>Ser(T-t)，即交割價(jià)格大于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。在這種狀況下，套利者可以按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r借入S現(xiàn)金，期限為T(mén)-t。然后用S購(gòu)買(mǎi)一單位標(biāo)的資產(chǎn)，同時(shí)賣(mài)出一份該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為K。在T時(shí)刻，該套利者就可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)用于交割換來(lái)K現(xiàn)金，并歸還借款本息Ser(T-t)，這就實(shí)現(xiàn)了K-Ser(T-t)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。4．最小方差套期保值比率如何確定在1單位現(xiàn)貨空頭用n單位期貨多頭進(jìn)行套期保值的情形下，投資者的整個(gè)套期保值收益可以表達(dá)為D?=n(G1-G0)-(H1-H0)=nDGD-H，當(dāng)U(×)是風(fēng)險(xiǎn)度量（方差）時(shí)，最優(yōu)套期保值比率n*是使得U(?D)為最小值的解；從而取為目標(biāo)函數(shù)，U(?D)=Var[?D]，即n*是使得Var[?D]為最小的解。這樣確定的n*稱(chēng)為最小方差套期保值比率。記為?D的方差，為DG的方差，為DH的方差，sHG為DH和DG的協(xié)方差，rHG為DH和DG的相關(guān)系數(shù)，則由Var[?D]=Var[nDGD-H]=n2Var[DG]-2nCov(DG,DH)+Var[DH]得到 于是從而得到n*5．金融互換的功能有哪些？通過(guò)金融互換可雜全球各市場(chǎng)之間進(jìn)行套利，從而一方面降低籌資者的融資成本或提高投資者的資產(chǎn)收益，另一方面促進(jìn)全球金融市場(chǎng)的一體化利用金融互換，可以管理資產(chǎn)負(fù)債組合中的利率風(fēng)險(xiǎn)和匯率風(fēng)險(xiǎn)。金融互換為表外業(yè)務(wù)，可以躲避外匯管制、利率管制及稅收限制。6．期權(quán)價(jià)格的影響因素有哪些？影響期權(quán)價(jià)格的五大因素：標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格和期權(quán)的協(xié)議價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格最主要的因素。因?yàn)檫@兩個(gè)價(jià)格及其相互關(guān)系不僅確定著內(nèi)在價(jià)值，而且還進(jìn)一步影響著時(shí)間價(jià)值。期權(quán)的有效期期權(quán)有效期的剩余時(shí)間影響期權(quán)的時(shí)間價(jià)值，在一般狀況下，期權(quán)的邊際時(shí)間價(jià)值都是正的，也就是說(shuō)，隨著時(shí)間的增加，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值是增加的。然而，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，期權(quán)時(shí)間價(jià)值的增幅是遞減的。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率即資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，它反映了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)狀況，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率越高，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值就越大。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率從期權(quán)的時(shí)間價(jià)值來(lái)理解；以股票為例，買(mǎi)入看漲期權(quán)，對(duì)于一支股票，要是無(wú)套利的話，股票的到期價(jià)格就是現(xiàn)在的股價(jià)+這段時(shí)間按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率的收益。標(biāo)的資產(chǎn)的收益依據(jù)美國(guó)市場(chǎng)慣例，標(biāo)的資產(chǎn)分紅或者是獲得相應(yīng)現(xiàn)金收益的時(shí)候，期權(quán)的協(xié)議價(jià)格合約并不進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整；但標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格卻發(fā)生了變更，因此在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生的現(xiàn)金收益將使看漲期權(quán)價(jià)格下降，而使看跌期權(quán)價(jià)格上升。7．期權(quán)價(jià)格上下限時(shí)如何確定的？以歐式期權(quán)為例：1.1看漲期權(quán)價(jià)格的上限看漲期權(quán)的價(jià)格都不會(huì)超過(guò)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。因?yàn)?，假如期?quán)價(jià)格高于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，套利者可以通過(guò)買(mǎi)入標(biāo)的資產(chǎn)并賣(mài)出期權(quán)來(lái)獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。因此，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是歐式期權(quán)的上限：C￡S1.2看跌期權(quán)價(jià)格的上限由于歐式看跌期權(quán)只能在到期日T執(zhí)行，因此歐式看跌期權(quán)不能高于將來(lái)協(xié)議價(jià)格X的現(xiàn)值：p￡Xe-r(T-t)2.下限，均以無(wú)收益情形為例2.1看漲期權(quán)價(jià)格的下限——無(wú)收益情形為了推導(dǎo)出期權(quán)價(jià)格下限，我們考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為Xe-r(T-t)的現(xiàn)金，組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)在組合A中，假如現(xiàn)金按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資則在T時(shí)刻將變?yōu)閄，即等于協(xié)議價(jià)格。此時(shí)多頭要不要執(zhí)行看漲期權(quán)，取決于T時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格（ST）是否大于X。若ST>X，則執(zhí)行看漲期權(quán)，組合A的價(jià)值為ST；若ST￡X，則不執(zhí)行看漲期權(quán)，組合A的價(jià)值為X。因此，在T時(shí)刻，組合A的價(jià)值為：max(ST,X)而在T時(shí)刻，組合B的價(jià)值為ST。由于max(ST,X)3ST，因此，在t時(shí)刻組合A的價(jià)值也應(yīng)大于等于組合B，即：c+Xe-r(T-t)3S，c3ST-Xe-r(T-t)由于期權(quán)的價(jià)值確定為正，因此無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格下限為：c3max(S-Xe-r(T-t),0)2.2看跌期權(quán)價(jià)格的下限——無(wú)收益情形考慮如下兩個(gè)組合：組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)，組合D：金額為Xe-r(T-t)的現(xiàn)金在T時(shí)刻，假如ST<X，期權(quán)將被執(zhí)行，組合C價(jià)值為X；假如ST>X，期權(quán)將不被執(zhí)行，組合C價(jià)值為ST，即在組合C的價(jià)值為：max(ST,X)假定組合D的現(xiàn)金以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在T時(shí)刻組合D的價(jià)值為X。由于組合C的價(jià)值在T時(shí)刻大于等于組合D，因此組合C的價(jià)值在t時(shí)刻也應(yīng)大于等于組合D，即：p+S3Xe-r(T-t)p3S-Xe-r(T-t)由于期權(quán)價(jià)值確定為正，因此無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格下限為：p3max(Xe-r(T-t)-S,0)8.歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系如何確定以無(wú)收益資產(chǎn)為例為了推導(dǎo)c和p的關(guān)系，考慮以下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為執(zhí)行價(jià)格現(xiàn)值的現(xiàn)金組合B：一份有效期和協(xié)議價(jià)格和看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期時(shí)，兩個(gè)組合的價(jià)值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時(shí)刻t必需具有相等的價(jià)值，即：C+Xe-r(T-t)=p+s這就是無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系。它表明歐式看漲期權(quán)的價(jià)值可依據(jù)同協(xié)議價(jià)格和到期日的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值推導(dǎo)出來(lái)，反之亦然。假如公式不成立，則存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。套利活動(dòng)將最終促使公式成立。三．計(jì)算：1．假設(shè)有一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t股價(jià)為s,基于該股票的看漲期權(quán)有效期為T(mén)。在這個(gè)有效期內(nèi)，股價(jià)或升至Su,或降至Sd。升至Su時(shí)，期權(quán)收益為fu,股價(jià)降至Sd時(shí)，期權(quán)收益為fd，用無(wú)套利方法確定該股票期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻t的價(jià)值f。解：首先，構(gòu)造一個(gè)由Δ股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的Δ值。假如無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率用r表示，則該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值確定是（SuD-fu)e-r(T-t),而構(gòu)造該組合的成本是SD-f，在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)的條件下，兩者必需相等。即SD-f=(SuD-fu)e-r(T-t),所以書(shū)P621．假設(shè)一種無(wú)紅利支付的股票目前的市價(jià)為20元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該股票3個(gè)月期遠(yuǎn)期價(jià)格。假如三個(gè)月后該股票的市價(jià)為15元，求這份交易數(shù)量為100單位的遠(yuǎn)期合約多頭方的價(jià)值。解答：FSer(Tt)20e0.10.2520.51，三個(gè)月后，對(duì)于多頭來(lái)說(shuō)，該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為(1520.51)100551。2．假設(shè)一種無(wú)紅利支付的股票目前的市價(jià)為20元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，市場(chǎng)上該股票的3個(gè)月遠(yuǎn)期價(jià)格為23元，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)如何進(jìn)行套利？解答：FSer(Tt)20e0.10.2520.523，在這種狀況下，套利者可以按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率10%借入現(xiàn)金X元三個(gè)月，用以購(gòu)買(mǎi)X/20單位的股票，同時(shí)賣(mài)出相應(yīng)份數(shù)該股票的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為23元。三個(gè)月后，該套利者以X/20單位的股票交割遠(yuǎn)期，得到23X/20元，并歸還借款本息Xe0.10.25元，從而實(shí)現(xiàn)(23X/20)Xe0.1.250元的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。4．某股票預(yù)料在2個(gè)月和5個(gè)月后每股分別派發(fā)1元股息，該股票目前市價(jià)等于30元，全部期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為6%，某投資者剛?cè)〉迷摴善?個(gè)月期的遠(yuǎn)期合約空頭，交易單位為100。請(qǐng)問(wèn)：A．該遠(yuǎn)期價(jià)格等于多少？若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值等于多少？B.3個(gè)月后，該股票價(jià)格漲到35元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率仍為6%，此時(shí)的遠(yuǎn)期價(jià)格和該合約的空頭價(jià)值等于多少？解答：A．2個(gè)月和5個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值e0.062/12+e0.065/121.97元。遠(yuǎn)期價(jià)格(301.97)e0.060.528.88元。若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值為0。B．在3個(gè)月后的這個(gè)時(shí)點(diǎn)，2個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值=e0.062/12=0.99元。遠(yuǎn)期價(jià)格(350.99)e0.063/1234.52元。此時(shí)空頭遠(yuǎn)期合約價(jià)值100×(28.8834.52)e0.063/12556元。書(shū)P1301．假設(shè)在一筆互換合約中，某一金融機(jī)構(gòu)每半年支付6個(gè)月起的LIBOR，同時(shí)收取8%的年利率（半年計(jì)一次復(fù)利），名義本金為1億美元?；Q還有1.25年的期限。3個(gè)月、9個(gè)月和15個(gè)月的LIBOR（連續(xù)復(fù)利率）分別為10%、10.5%和11%。上一次利息支付日的6個(gè)月LIBOR為10.2%（半年計(jì)一次復(fù)利）。試分別運(yùn)用債券組合和FRA組合計(jì)算此筆利率互換對(duì)該金融機(jī)構(gòu)的價(jià)值。（1）運(yùn)用債券組合：從題目中可知萬(wàn)，萬(wàn)，因此億美元億美元所以此筆利率互換對(duì)該金融機(jī)構(gòu)的價(jià)值為98.4－102.5＝－427萬(wàn)美元（2）運(yùn)用FRA組合：3個(gè)月后的那筆交換對(duì)金融機(jī)構(gòu)的價(jià)值是由于3個(gè)月到9個(gè)月的遠(yuǎn)期利率為10.75％的連續(xù)復(fù)利對(duì)應(yīng)的每半年計(jì)一次復(fù)利的利率為=0.11044所以9個(gè)月后那筆現(xiàn)金流交換的價(jià)值為同理可計(jì)算得從現(xiàn)在起先9個(gè)月到15個(gè)月的遠(yuǎn)期利率為11.75%，對(duì)應(yīng)的每半年計(jì)一次復(fù)利的利率為12.102%。所以15個(gè)月后那筆現(xiàn)金流交換的價(jià)值為所以此筆利率互換對(duì)該金融機(jī)構(gòu)的價(jià)值為3．假設(shè)美元和日元的LIBOR的期限結(jié)構(gòu)是平的，在日本是4%而在美國(guó)是9%（均為連續(xù)復(fù)利）。某一金融機(jī)構(gòu)在一筆貨幣互換中每年收入日元，利率為5%，同時(shí)付出美元，利率為8%。兩種貨幣的本金分別為1000萬(wàn)美元和120000萬(wàn)日元。這筆互換還有3年的期限，每年交換一次利息，即期匯率為1美元=110日元。試分別運(yùn)用債券組合和遠(yuǎn)期外匯組合計(jì)算此筆貨幣互換對(duì)該金融機(jī)構(gòu)的價(jià)值。（1）運(yùn)用債券組合：假如以美元為本幣，那么萬(wàn)美元萬(wàn)日元所以此筆貨幣互換對(duì)該金融機(jī)構(gòu)的價(jià)值為（2）運(yùn)用遠(yuǎn)期外匯組合：即期匯率為1美元＝110日元，或者是1日元＝0.009091