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3.錯誤。例如，f(zz則Re[f(zxIm[f(zy.令C|z|即f(z)=z=eiθ=cosθisinθ,0≤θ≤則 HRe[f(z)]dz=∫2πcosθd(eiθ)=∫2πicosθ(cosθ+isin ∫=

∫

sinθcosθdθ=πi?= ∫=

θdθ+

∫

sinθcosθdθ=?π?= 10.證明：(a).當(dāng)曲線C包含原點時，記2d(>0)為C到原點的最小距1dz ∫1dz =

2πe?iθdθ=C |z|=d 當(dāng)曲線C不包含原點時，被積函數(shù)f(z) 1在C內(nèi)和C上均解析，故提示：利用Cauchy積分21.提示：證明兩邊均等于2πif27.(1)if(zi(uivviuviu.這時由Cauchy-Riemann 得

故if(z)(2)的結(jié)論可由(1)(3).證明：由|f(z)|2=u2v2 ?x2|f及

=2

+

+uuxx+vvxx ?y2|f =

+

+uuyy+vvyy將以上兩式相加并利用uxx+uyy=vxxvyy=0?2|f(z)|2+?2|f =2[(ux)2+(vx)2+(uy)2+(vy)2]+2[u(uxx+uyy)+v(vxx+=2[(ux)2+(vx)2+(uy)2+(vy)2]再利用Cauchy-Riemann定理ux=vy,uy=?vx和導(dǎo)數(shù)f′(z)=ux+ivx得 4(ux)+ =4|f(z)|令r>R0,由Cauchy積分得f f(z) |z|=r≤n! |f(z)||dz|≤n!∫2πM(r)2π|z|=r 2π .=n!M.=當(dāng)f(z)有界時，存在常數(shù)M00,使得M(r)≤M0,當(dāng)n≥10≤f(n)(0)

→ r→∑ ∑ f(z)

zn=f即f(z)類似的，當(dāng)M(r)≤

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