雙曲線-2013屆高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí)課件

第四十一講雙曲線回歸課本1.雙曲線的定義平面內(nèi)動點(diǎn)P與兩個定點(diǎn)F1?F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.即(||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|).若常數(shù)等于|F1F2|,則軌跡是分別以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線.提示:若常數(shù)大于|F1F2|,則軌跡不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)3.雙曲線中的幾何量及其他問題(1)實(shí)軸|A1A2|=2a,虛軸|B1B2|=2b,焦距|F1F2|=2c,且滿足c2=a2+b2.(2)離心率:(3)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦半徑:|PF1|=ex0+a(x0>0),|PF2|=ex0-a(x0>0);或|PF1|=-ex0-a(x0<0),|PF2|=-ex0+a(x0<0).評析:當(dāng)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值為定值,即||PF1|-|PF2||=2a時,要注意兩點(diǎn):判斷2a與|F1F2|的大小關(guān)系,其大小關(guān)系決定動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線還是射線.(1)當(dāng)2a=|F1F2|時,動點(diǎn)P的軌跡是以F1?F2為起點(diǎn)的射線;(2)當(dāng)2a<|F1F2|時,動點(diǎn)P的軌跡是以F1?F2為焦點(diǎn)的雙曲線;(3)當(dāng)2a>|F1F2|時,無滿足條件的動點(diǎn).答案:B答案:B評析:遇到焦點(diǎn)三角形問題,要回歸定義建立三角形的三邊關(guān)系,然后一般運(yùn)用正余弦定理和三角形的面積公式即可迎刃而解.答案:A類型一雙曲線的定義解題準(zhǔn)備:在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動點(diǎn))具備的幾何條件,即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對值為一常數(shù),且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)的距離”.若定義中的“絕對值”去掉,點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支.【典例1】已知動圓M與圓C1:(x+4)2+y2=2外切,與圓C2:(x-4)2+y2=2內(nèi)切,求動圓圓心M的軌跡方程.[分析]利用兩圓內(nèi)?外切的充要條件找出M點(diǎn)滿足的幾何條件,結(jié)合雙曲線定義求解.[反思感悟]容易用錯雙曲線的定義將點(diǎn)M的軌跡誤以為是整條雙曲線從而得出方程后沒有限制求曲線的軌跡方程時,應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型,從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程,這樣可以減少運(yùn)算量,提高解題速度與質(zhì)量.在運(yùn)用雙曲線定義時,應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”,弄清所求軌跡是整條雙曲線,還是雙曲線的一支,若是一支,是哪一支,以確保軌跡的純粹性和完備性.

類型二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

注意:在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,若x2的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)在x軸上;如果y2的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)在y軸上,且對于雙曲線,a不一定大于b.[反思感悟]對焦點(diǎn)位置判斷不準(zhǔn)或忽略對雙曲線焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的討論,是導(dǎo)致方程出錯的主要原因.

利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,是最重要的方法之一,但要注意對焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的判斷或討論;利用共漸近線的雙曲線方程求其標(biāo)準(zhǔn)方程,往往可以簡化運(yùn)算,但也應(yīng)注意對焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的討論.

類型三 雙曲線的幾何性質(zhì)解題準(zhǔn)備:雙曲線的幾何性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是圍繞雙曲線中的“六點(diǎn)”(兩個焦點(diǎn)?兩個頂點(diǎn)?兩個虛軸的端點(diǎn)),“四線”(兩條對稱軸?兩條漸近線),“兩形”(中心?焦點(diǎn)以及虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形,雙曲線上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形),研究它們之間的相互聯(lián)系.明確a?b?c?e的幾何意義及它們的相互關(guān)系,簡化解題過程.類型四 直線與雙曲線的位置關(guān)系解題準(zhǔn)備:與直線和圓錐曲線的位置關(guān)系有關(guān)的參數(shù)范圍問題,常采用解方程組的思想方法,轉(zhuǎn)化為判別式進(jìn)行;與弦長有關(guān)的問題,常常利用韋達(dá)定理,以整體代入的方法求解,這樣可以避免求交點(diǎn),使運(yùn)算過程得到簡化.[反思感悟]在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求范圍問題,這類問題在題目中往往沒有給出不等關(guān)系,需要我們?nèi)ふ?對于圓錐曲線的參數(shù)的取值范圍問題或最值問題,解法通常有兩種:當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時,可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式(如雙曲線的范圍,直線與圓錐曲線相交時Δ>0等),通過解不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍;當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系時,則可先建立目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域.錯源一理解性質(zhì)不透徹[剖析]錯解中沒有討論∠POQ的大小,認(rèn)為它就是兩條漸近線的夾角,因而產(chǎn)生錯誤.兩條相交直線的夾角是指兩條直線相交時構(gòu)成的四個角中不大于直角的角,因此兩條直線的夾角不能大于直角.錯源二忽視雙曲線的特殊性,誤用一些充要條件【典例2】已知雙曲線x2-y2=1和點(diǎn)P(2,2),設(shè)直線l過點(diǎn)P且與雙曲線只有一個公共點(diǎn),求直線l的方程.[錯解]設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)+2,代入雙曲線方程x2-y2=1,整理得:(1-k2)x2-4k(1-k)x-4(1-k)2-1=0.(*)方程(*)的判別式Δ=12k2-32k+20.[剖析]錯解中誤以為判別式Δ=0是直線與雙曲線有一個公共點(diǎn)的充要條件.事實(shí)上,命題成立的充要條件是方程(*)有且僅有一個根.故應(yīng)分類討論.[正解]設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)+2,代入雙曲線x2-y2=1,整理得:(1-k2)x2-4k(1-k)x-4(1-k)2-1=0.(*)當(dāng)1-k2=0時,斜率k=1或k=-1.而當(dāng)k=1時,方程(*)不成立;當(dāng)k=-1時,直線l的方程為x+y-4=0.當(dāng)1-k2≠0時,由前面錯解得直線l的方程為5x-3y-4=0.故所求直線l的方程為:x+y-4=0或5x-3y-4=0.錯源三 錯用雙曲線的第一定義【典例3】已知定圓F1:x2+y2+10x+24=0,F2:x2+y2-10x+9=0,動圓M與定圓F1,F2都外切,求動圓圓心M的軌跡方程.[錯解]圓F1:(x+5)2+y2=1,所以圓心為F1(-5,0),半徑r1=1,圓F2:(x-5)2+y2=42,所以圓心為F2(5,0),半徑r2=4.[剖析]實(shí)際上本題的軌跡應(yīng)該是雙曲線的一支,而非整條雙曲線,上述解法忽視了雙曲線定義中的關(guān)鍵詞“絕對值”.正確的解答如下.[正解]由|MF2|-|MF1|=3,可得|MF2|>|MF1|,即點(diǎn)M到F2(5,0)的距離大于點(diǎn)M到F1(-5,0)的距離,所以點(diǎn)M的軌跡應(yīng)該是雙曲線的左支,

故雙曲線方程為錯源四 錯用雙曲線的第二定義【典例4】一動點(diǎn)到定直線x=3的距離是它到定點(diǎn)F(4,0)的距離的求這個動點(diǎn)的軌跡方程.[錯解]由題意,動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為2,所以動點(diǎn)的軌跡是雙曲線.又F(4,0),所以c=4,又準(zhǔn)線x=3,所以 所以a2=12,b2=4,所以雙曲線方程為技法一 雙曲線中點(diǎn)弦存在性的探討求過定點(diǎn)的雙曲線的中點(diǎn)弦問題,通常有下面兩種方法:(1)點(diǎn)差法,即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程后相減,得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系,從而求