工程碩士10有限元試題答案

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工程碩士專業(yè)《工程中的有限元》2023年試卷答案

2023年2月28日晚考試

考生姓名：學(xué)號：專業(yè)：適用專業(yè)：工程碩士－土木與建筑、水利工程2023級，出題人：牛忠榮

(共7題，總分值100分),題號題1題2題3分值101510得分

題410題515題615題725總分1001．（10分）線彈性力學(xué)靜力問題有限元法計算列式的推導(dǎo)是如何采用彈性力學(xué)問題基本方程？答：彈性力學(xué)有限元的基本過程是：

e}{f}?[N]{?1.假設(shè)單元的位移場模式

e{?}?[B]{?}2.代入到幾何方程得到

e{?}?[D][B]{?}3.代入到物理方程得到

ee[F]?[k]{?}4.代入到虛功方程，得到單元剛度方程ee[F]?[k]{?}5.疊加到總剛陣，得到結(jié)構(gòu)的平衡方程

6.引入位移邊界條件后，解第5步得到的方程組，可以得到結(jié)點位移

2．（15分）圖示彈性力學(xué)平面問題，采用三角形常應(yīng)變元，網(wǎng)格劃分如圖，試求：

（1）對圖中網(wǎng)格進(jìn)行結(jié)點編號，并使其系統(tǒng)總剛度矩陣的帶寬最小；（2）計算在你的結(jié)點編號下的系統(tǒng)剛度矩陣的半帶寬；（3）指出已知約束的結(jié)點位移。答：（2）d=4,B=2(d+1)=10

(3)u1?u15?v1?v15?0.1

47632810111315題2圖

5912141

3．（10分）彈性力學(xué)有限元中，平面等參數(shù)單元中的“等參數(shù)〞概念是何意思？該單元在跨相鄰單元時，位移場連續(xù)嗎？應(yīng)力場連續(xù)嗎？

答：在有限單元法中最普遍采用的是等參變換，即單元幾何形狀的變換和單元內(nèi)的場函數(shù)采用一致數(shù)目的節(jié)點參數(shù)及一致的插值函數(shù)進(jìn)行變換。采用等參變換的單元稱之為等參元。所謂“等參元〞是指幾何形狀插值形函數(shù)和單元上的位移插值形函數(shù)一致，參數(shù)個數(shù)相等。

相鄰等參元之間，位移場是連續(xù)的，應(yīng)力場不連續(xù)。

4．（10分）彈性力學(xué)空間軸對稱問題的有限元計算列式與平面問題的有限元計算列式的主要區(qū)別之處？

答：

區(qū)別之處是：平面問題應(yīng)力和應(yīng)變分量是3個，空間軸對稱問題應(yīng)力和應(yīng)變分量是4個；

求解剛度矩陣和等效結(jié)點力的積分，平面問題是在有厚度的單元平面上積分，而軸對稱問題是在整個環(huán)體上積分。即平面單元指有厚度的面，軸對稱單元指一個軸對稱的旋轉(zhuǎn)體。

5．（13分）回復(fù)以下問題：

（1）彈性力學(xué)平面問題8節(jié)點等參元，其單元自由度是多少？單元剛陣元

素是多少？

（2）彈性力學(xué)空間軸對稱問題三角形3節(jié)點單元，其單元自由度是多少？

單元剛陣元素是多少？

（3）彈性力學(xué)空間問題20節(jié)點等參元，其單元自由度是多少？單元剛陣

元素是多少？

（4）平面剛架結(jié)構(gòu)梁單元（考慮軸向和橫向變形）的自由度是多少？單元

剛陣元素是多少？

答：（1）彈性力學(xué)平面問題8節(jié)點等參元，自由度16個，剛陣元素16×16＝256；（2）空間軸對稱三角形3節(jié)點單元，單元自由度6個，單元剛度元素36個；（3）空間問題20節(jié)點等參元，其單元自由度60個，單元剛度元素3600個；（4）平面剛架結(jié)構(gòu)梁單元（考慮軸向和橫向變形）的自由度6個，單元剛度元素是36個。

2

6．（15分）圖中為4節(jié)點正方形單元受分布力q和集中力G作用；集中力G作用在A點，方向與x軸成450，見圖示。試計算該單元的等效節(jié)點力列陣。

解：

?Ps?e?[0

000qy4AG31mx1m121m1m題6圖

2G22G?qh0?qh]T23

7．（25分）圖示為一個三角形狀簡支梁，厚度為h。底邊中點A受載荷P作用，彈性模量E已知，泊松比??0。按平面應(yīng)力考慮，試用簡單的三角形常應(yīng)變單元計算：

（1）該三角形單元的剛度矩陣；

（2）結(jié)構(gòu)有限元模型的等效結(jié)點力向量；（3）已知的結(jié)點位移邊界條件；

（4）采用劃行劃列法引入已知結(jié)點位移，計算A點位移。

y1x450450A??Pll32xp題7圖

2

解：

根據(jù)對稱性，取半結(jié)構(gòu)，用一個三角形單元，節(jié)點如圖示。則有：u1?u2?v3?0單元剛度矩陣

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1.50?0.5?2??0.5?10.5?00?1010???0.50?0.5?0.500.5????等效節(jié)點載荷F?(Fx10Fx2?p20Fy3)T

單元位移：??(u1v1u2v2