高三數(shù)學(xué)2用公式法求面積和體積試題

高三數(shù)學(xué)2用公式法求面積和體積試題高三數(shù)學(xué)2用公式法求面積和體積試題高三數(shù)學(xué)2用公式法求面積和體積試題用公式法求面積和體積2.1直接用公式求面積與體積P【例1】（南京市、鹽城市2020屆第一次模擬考試）如圖2-1在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BAD60o，側(cè)棱PA底面ABCD，PA2，E為AB的DC中點(diǎn)，則周圍體PBCE的體積為【剖析】顯然PA面BCE，底面BCE的面積為112sin120o3,所以VPBCE1233.AEB22323【評(píng)注】直接給出高的三棱錐的體積計(jì)算，確定底面面積和高，圖2-1V=ShV1V1SSShV12rrr2用公式柱體或錐體=Sh；臺(tái)體＝Shr＋′＋′)3(＋′＋′)；圓臺(tái)＝π(33求解，重點(diǎn)是合理選擇底面追求極點(diǎn)在底面上的射影算高求體積.【變式1】求三棱錐的體積→求四棱柱的體積一個(gè)三棱柱恰巧可放入一個(gè)正四棱柱的容體中，底面如圖2-2所示，其中三棱柱的底面AEF是一個(gè)直角三角形，∠AEF=90，AE=a，EF=b，三棱柱的高與正四棱柱的高均為1，則此正四棱柱的體積為【變式1】答案a4a2(ab)2【剖析】設(shè)AB=x，由ABEC，得xEC，∴ECbx．則BE(1b)x．由AB2BE2AE2，AEEFabaa得x2(1b)2x2a2．x2a4．則此正四棱柱的體積為a2a4．a(chǎn)a2(ab)2(ab)2ADFBEC圖2-2圖2-3圖2-4【變式2】求三棱錐的體積→求圓錐的體積半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐,這個(gè)圓錐的體積是.【變式2】答案3R324【剖析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,如圖2-3則2rlRr1R,∴圓錐的高,2hR2r23R,VR233324R24R32【變式3】求三棱錐的體積→求三棱柱的體積(2020·南京調(diào)研)如圖2-4，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)．若截面△BC1是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為_(kāi)______【變式3】答案83【剖析】22222221211111a2＋b2，得b2＝2a2，又1×3a2＝6，∴a2＝8，∴V＝3×8×4＝83.224【變式4】求三棱錐的體積→求圓柱和圓錐組合體的體積(2020天津）一個(gè)兒何體的三視圖如圖2-5所示(單位：m)，則該幾何體的體積為3________m.20π【變式4】答案3【剖析】由三視圖可得，該幾何體為圓柱與圓錐的組合體，21220π其體積V＝π×1×4＋3π×2×2＝3.圖2-5圖2-6圖2-7【變式5】求三棱錐的體積→求球的體積(2020·高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理科6)如圖2-6所示，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰巧接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，若是不計(jì)容器的厚度，則球的體積為A500cm3B866cm3C1372cm3D2048cm33333【變式5】答案A【剖析】如圖作出球的一個(gè)截面，如圖2-7.則MC8611，2cm，BMAB84cm22設(shè)球的半徑為R，則球的截面圓的半徑是4，且球心到該截面的距離是R2，在RtOMB中，R2(R2)242，所以R5，所以V4R3500cm3．選A．33【變式6】求三棱錐的體積→求正六棱柱的體積（2020·南京市第3次模擬）已知正六棱錐P－ABCDEF的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，則此六棱錐的體積為【變式6】答案12【剖析】由己知正六棱錐的高為h422223，底面面積為S332263，2所以V1Sh1632312.33【變式7】求三棱錐的體積→求圓錐的體積（15年高考全國(guó)1）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有以下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖2-8，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估計(jì)出堆放斛的米約有（）(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛【變式7】答案B圖2-8【剖析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則123r8=r16，所以米堆的體積為43113(16)25=320，故堆放的米約為320÷1.62≈22，應(yīng)選B.433992.2經(jīng)過(guò)算垂直找高用公式求體積【例2】等腰直角三角形BCD的腰長(zhǎng)為2，點(diǎn)C沿斜邊BD翻折到點(diǎn)A，翻折后如圖2-9所示，O為BD的中點(diǎn)，若AC=2，則三棱錐A-BCD的體積為【剖析】選底面BCD追求三棱錐的定點(diǎn)A在底面上的射影，由題意知，AB=AD=CB=CD=2，進(jìn)而依照等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形圖2-9ABD可求得AOCO2，又AC2，所以在△AOC中AC2AO2CO2，所以AO⊥CO．由于AO是等腰直角三角形ABD斜邊上的中線，所以AO⊥BD．依照直線與平面垂直的判定定理得直線AO⊥平面BCD，則其體積為1122222．323【評(píng)注】關(guān)于三棱錐的體積問(wèn)題，能夠任選一面作底面，爾后求出已知該底面對(duì)應(yīng)的高．在該題中由于三角形ABC的面積已知，故能夠重點(diǎn)研究其對(duì)應(yīng)的高，作協(xié)助線證明DO垂直底面ABC即可，在此處利用了勾股定理逆定理證明線線垂直．【變式1】求三棱錐的體積→求從極點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直的三棱錐體積(2020·杭州模擬)如圖,在正三棱錐A-BCD中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),EF⊥DE,且BC=1,則正三棱錐A-BCD的體積是()A.2B.2C.3D.324121224【變式1】答案A【剖析】依照EF與DE的垂直關(guān)系,證明AC⊥DE,由正圖2-10三棱錐對(duì)棱互相垂直可獲得AC⊥DB.,于是有AC⊥平面ABD，注意正三棱錐A-BCD的特點(diǎn)可知，從A出發(fā)的三條側(cè)棱兩兩垂線垂直且底面為邊長(zhǎng)為1的正三角形，于是有ABADAC2,所以VC-ABD1g1gg2.23SVABDAC6ABADAC24【變式2】求三棱錐的體積→求正三棱錐的體積已知三棱錐P-ABC的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿PA，PB，PC三條側(cè)棱剪開(kāi)，將其表面張開(kāi)成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為26，則三棱錐-的體積為_(kāi)_______．PABC【變式2】答案9【剖析】依照題意該幾何體為正三棱錐，如圖2-11，設(shè)棱長(zhǎng)為a，張開(kāi)圖是有四個(gè)與ABC全等的正三角形組組合而成的3邊長(zhǎng)為2a的大正三角形.則外接圓的半徑是OP，PD＝2a，OD＝3226a.a，OP＝PD－OD＝63＋＝3＋3＝23＝26?a＝32，圖2-11ODPD6a2a3a1326V棱錐＝3×4a×3a＝9.【變式3】求三棱錐的體積→求四棱錐的體積如圖2-12，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB4cm,AD3cm，AA12cm，則四棱錐ABB1D1D的體積為cm3.【變式3】答案8【剖析】利用直四棱柱的特點(diǎn)確定極點(diǎn)的射影直找高用公式求體積，重點(diǎn)是求出四棱錐A－BB1D1D的高．BD邊上的高是12cm（它也是ABB1D1D中5BB1D1D上的高），∴四棱錐圖2-12ABB1D1D的體積為15212=8(cm3)．35【變式4】求三棱錐的體積→求四棱錐的體積直三棱柱ABC—ABCA,B,C,的體積為V，點(diǎn)P、Q分別在側(cè)棱AA,和CC,上如圖2-13，AP=C,Q，則四棱錐B—APQC的體積為（）圖2-13A．VB．VC．VD．V2345【變式4】答案B【剖析】用直棱柱底面上的點(diǎn)在側(cè)面上的找高射影在其交線上直用公式求體積取P、Q分別為AA、CC的中點(diǎn)，設(shè)矩形AACC的面積為S，點(diǎn)B終究面AACC111111的距離為h，則VBAPQC1Sh1(1Sh)1(1AChAA1)1(AA1SABC)1V.323232332.3經(jīng)過(guò)切割法直用公式求體積比【例2】(2020·杭州市高三月考)如圖2-14，在四棱錐PABCD中，P底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E,F為PA,PD的中點(diǎn)，則面BCFE將四棱F錐PABCD所分紅的上下兩部分的體積的比值為EDC【剖析】設(shè)棱錐的底面的面積為S，高為h，V=1Sh，ABABCDP-ABCD3圖2-14VFBDC1hSh同理VADBSh，由于棱錐B-ADFE與B-PAD等高，SVDBC2,P6312且SADFE3，則VSh，故下部分體積為5Sh，上面部分體積為3ShSPAD4BADFE82424所以上下兩部分體積之比為3；5【評(píng)注】關(guān)于體積比的問(wèn)題，合理設(shè)元交流關(guān)系切割成常有的規(guī)則體直用公式，利用加減法獲得錐體與非規(guī)則體的體積比?！咀兪?】（14江蘇高考）設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1,S2，體積分別為V1,V2，若它們的側(cè)面積相等，且S19，則V1的值是S24V23【變式1】答案2【剖析】由于S1r12r129，所以r13，又圓柱的側(cè)面積S2rh，S2r22r224r22側(cè)S側(cè)12r1h1S側(cè)22r2h2，則h1r22，V1S1h1923h2r13V2S2h2432【變式2】求三棱錐與三棱錐的體積比(2020高考江蘇)在三棱柱ABC－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA的中點(diǎn)．設(shè)三棱錐F1111－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝________【變式2】答案1∶24.111【剖析1】連結(jié)A1C，A1B，則V1＝8VA1－ABC，而VA1－ABC＝3V2，∴V1＝24V2.【剖析2】若三棱柱A1B1C1－ABC為正三棱柱，設(shè)AB＝2，AA1＝2.2323113312則V＝Sh＝4×2×2＝2