插值法在圖像處理中的運用

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專業(yè)姓名學(xué)號控制工程陳龍斌控制工程陳少峰控制工程殷文龍摘要

本文介紹了插值方法在圖像處理中的應(yīng)用。介紹了典型的最近鄰插值、雙線性插值、雙三次插值、雙信道插值、分形插值的原理。以分形插值為重點，在圖像放大領(lǐng)域用MATLAB進行仿真，并與其它方法的結(jié)果做了比對。指出了各種方法的利弊，期待更進一步的研究拓展新的算法以及改進現(xiàn)有算法。

一、引言

人類通過感覺器官從客觀世界獲取信息，而其中一半以上的信息都是通過視覺獲得的。圖像作為人類視覺信息傳遞的主要媒介，具有聲音、語言、文字等形式無法比較的優(yōu)勢，給人以具體、直觀的物體形象。在數(shù)字化信息時代，圖像處理已經(jīng)成為重要的數(shù)據(jù)處理類型。數(shù)字圖像比之傳統(tǒng)的模擬圖像處理有著不可比較的優(yōu)勢。一般采用計算機處理或者硬件處理，處理的內(nèi)容豐富，精度高，變通能力強，可進行非線性處理。但是處理速度就會有所不足。圖像處理的主要內(nèi)容有：幾何處理、算術(shù)處理、圖像加強、圖像復(fù)原、圖像重建、圖像編碼、圖像識別、圖像理解等。以上這些圖像處理大體上可分為圖像的像質(zhì)改善、圖像分析和圖像重建三大部分。

日常生活中，越來越多的領(lǐng)域需要高分辯率圖像，采用圖像插值技術(shù)來提高數(shù)字圖像的分辯率和明了度，從軟件方面進行改進就具有十分重要的實用價值。多媒體通信在現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)傳輸中扮演重要角色，因此插值放大提高圖像分辯率是一個十分重要的問題。此外，圖像變換被廣泛用于遙感圖像的幾何校正、醫(yī)學(xué)成像以及電影、電視和媒體廣告等影像絕技處理中。在進行圖像的一些幾何變換時，尋常都會出現(xiàn)輸出像素坐標(biāo)和輸入柵格不重合的現(xiàn)象，也必需要用到圖像插值。圖像插值是圖像處理中圖像重采樣過程中的重要組成部分，而重采樣過程廣泛應(yīng)用于改善圖像質(zhì)量、進行有損壓縮等，因而研究圖像插值具有十分重要的理論意義和實用價值。

圖像插值是一個數(shù)據(jù)再生過程。由原始圖像數(shù)據(jù)再生出具有更高分辯率的圖像數(shù)據(jù)。分為圖像內(nèi)插值和圖像間插值。前者指將一幅較低分辯率的圖像再生出一幅較高分辯率的圖像。后者指在若干幅圖像之間再生出幾幅新的圖像。插值過程就是確定某個函數(shù)在兩個采樣點之間的數(shù)值時采用的運算過程．尋常是利用曲線擬合的方法進行插值算法，通過離散的輸入采樣點建立一個連續(xù)函數(shù)，用這個重建的函數(shù)求出任意位置處的函數(shù)值，這個過程可看作是采樣的逆過程。

20世紀40年代末，香農(nóng)提出了信息論，根據(jù)采樣定理，若對采樣值用sinc函數(shù)進行插值，則可確鑿地恢復(fù)原函數(shù)，于是sinc函數(shù)被接受為插值函數(shù)，也稱為理想插值函數(shù)。理想插值函數(shù)有兩個缺點：

（1）它雖然對帶限信號可以進行無錯插值，但實際中帶限信號只是一小部分信號。（2）sinc函數(shù)的支撐是無限的，而沒有函數(shù)既是帶限的，又是緊支撐的。

為了解決這個問題，經(jīng)典的方法是剛窗函數(shù)截斷sinc函數(shù)，這個窗函數(shù)必需在0劍l之間為正數(shù)，在l到2之間為負數(shù)。sinc函數(shù)對應(yīng)的是無限沖激響應(yīng)，不適于有限沖激相應(yīng)來進行局部插值。對數(shù)字圖像來說，對圖像進行插值也稱為圖像的重采樣。它分為兩個步驟：將離散圖像插值為連續(xù)圖像以及對插值結(jié)果圖像進行采樣。

經(jīng)典的圖像插值算法是利用鄰近像素點灰度值的加權(quán)平均值來計算未知像素點處的灰度值，而這種加權(quán)平均一般表現(xiàn)表現(xiàn)為信號的離散采樣值與插值基函數(shù)之間的二維卷積。這種基于模型的加權(quán)平均的圖像插值方法統(tǒng)稱為線性方法。經(jīng)典的插值方法有：最近鄰域法，雙線性插值，雙三次B樣條插值，雙三次樣條插值，sinc函數(shù)等。線性方法，它們一個共同點就是，所有這些基函數(shù)均是低通濾波器，對數(shù)據(jù)中的高頻信息都具有濾除和抑制效應(yīng)，因

此在插值后的圖像中不會增加新的高頻部分。從而這些基函數(shù)對于邊緣細節(jié)和紋理特征十分豐富的圖像的插值效果并不太理想，但對于一般的灰度圖像比較適用，結(jié)果也是比較好的。

由于線性方法都是低通濾波器，在實現(xiàn)時都不可避免地抑制了圖像的高頻部分，為了尋覓新的出路，有人提出將線性時變技術(shù)或非線性技術(shù)引入圖像插值中來．典型的方法有中值插值法、自適應(yīng)插值算法、子帶插值法以及分形插值算法等。

中值插值方法是在雙線性插值的基礎(chǔ)上，去除該分量鄰近已知點最大值和最小值，將待插點的值用兩個中間值的平均代替。使用線性方法進行插值時，不可避免地出現(xiàn)圖像模糊問題。

自適應(yīng)插值算法試圖融入人眼視覺系統(tǒng)的一些特征，如方向敏感性，利用預(yù)先從點的鄰域抽取到的一些符合視覺特征的局部圖像特征來進行插值。幾乎所有的圖像插值算法都試圖實現(xiàn)對圖像邊緣部分的自適應(yīng)處理，盡量使原圖像的邊緣特征能夠保持。胡敏等提出了一種有理一線性的自適應(yīng)彩色圖像向量值插值方法。李將云等提出了離散放縮算法，還提出分割圖像插值的一種局部算法。

目前，也有好多研究人員將偏微分方程、最優(yōu)化理論、徑向基函數(shù)、分形與小波等非線性方法應(yīng)用于數(shù)字圖像處理領(lǐng)域，并取得了一些成功。但在混合函數(shù)空間中構(gòu)造滿足需要的適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)，并挖掘出適應(yīng)于圖像處理的優(yōu)良性態(tài)，將其應(yīng)用于數(shù)字圖像處理領(lǐng)域，目前國內(nèi)外已知的文獻中并不多見。

二、原理

最近鄰點插值法（NearestNeighborInterpolation）是荷蘭氣象學(xué)家A.H.Thiessen提出的一種分析方法。最初用于從離散分布氣象站的降雨量數(shù)據(jù)中計算平均降雨量，現(xiàn)在GIS和地理分析中經(jīng)常采用泰森多邊形進行快速的賦值。

研究最近鄰點插值法時，我們可以將一幅圖像定義為一個二維函數(shù)F(x,y)，其中x和y表示空間坐標(biāo)，而F對于任何(x,y)坐標(biāo)的函數(shù)值叫做那一點的灰度值（graylevel）。當(dāng)x，y和F的值都是有限的、離散的數(shù)值時，我們稱這幅圖片為數(shù)字圖像。假使把Fw，F(xiàn)h設(shè)為源圖的寬度和高度；Gw，Gh設(shè)為目標(biāo)圖的寬度和高度。那么源圖坐標(biāo)與目標(biāo)圖坐標(biāo)的關(guān)系如公式（1）、公式（2）:

F(x)=G(x)*(Fw/Gw)（1）F(y)=G(y)*(Fh/Gh)（2）

以目標(biāo)原點為例，套用公式，就可以找到對應(yīng)的原圖的坐標(biāo)了。(0*(3/4),0*(3/4))→(0*0.75,0*0.75）→(0,0)

計算源圖片的對應(yīng)坐標(biāo)，就可以把源圖中坐標(biāo)為（0，0）處的232象素值填進去目標(biāo)圖的（0，0）這個位置了。按此方法計算出目標(biāo)圖片（1，0）處對應(yīng)的坐標(biāo)：

(1*0.75,0*0.75)→(0.75,0)

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，得到的坐標(biāo)里面有小數(shù)，象素的坐標(biāo)都是整數(shù)。這時候采用的一種策略就是采用四舍五入的方法（也可以采用直接舍掉小數(shù)位的方法），把非整數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成整數(shù)，依照四舍五入的方法就得到坐標(biāo)（1，0），完整的運算過程就是這樣的：

(1*0.75,0*0.75)→(0.75,0)→(1,0)

那么就可以再填一個象素到目標(biāo)矩陣中了，同樣是把源圖中坐標(biāo)為（1，0）處的像素值87填入目標(biāo)圖中的坐標(biāo)。依次填完每個象素，一幅放大后的圖像就誕生了，像素矩陣如圖2所示。

這是一種最基本、最簡單的圖像縮放算法，效果也是最不好的，放大后的圖像有很嚴重的馬賽克，縮小后的圖像有很嚴重的失真。效果不好的根源在于最鄰近插值方法引入了嚴重的圖像失真。例如，當(dāng)反推目標(biāo)圖坐標(biāo)取得的源圖坐標(biāo)是一個浮點數(shù)的時候，采用四舍五入的方法直接獲得最接近的象素的值，這種方法是很不科學(xué)的。當(dāng)推得坐標(biāo)值為0.75時，不應(yīng)當(dāng)簡單的取為1，目標(biāo)象素值其實應(yīng)當(dāng)根據(jù)這個源圖中虛擬的點四周的四個真實的點來依照一定的規(guī)律計算出來的，這樣才能達到更好的縮放效果。雙線型內(nèi)插值算法就是一種比較好的圖像縮放算法，它充分的利用了源圖中虛擬點四周的四個真實存在的像素值來共同決定目標(biāo)圖中的一個像素值，因此縮放效果比簡單的最近鄰點插值要好好多。

圖1.3*3灰度圖圖2.擴展后的4*4灰度圖

雙線性插值利用(u,v)周邊的四個最鄰近像素的灰度值，根據(jù)下面方法來計算(u,v)處的灰度值。設(shè)(u,v)四個鄰近像素點為(i,j+1),(i+1,j+1)

(i,j+1)C

E

(u,v)DF

ABCD

坐標(biāo)分別為(i,j),(i+1,j),

A(i,j)

B(i+1,j)

圖3.

設(shè)

??u?i??v?j。首先先計算出E,F兩處的灰度值，f(E)和f(F)，

f(E)=?[f(C)-f(A)]+f(A)f(F)=?[f(D)-f(B)]+f(B)。再計算(u,v)：f(u,v)=?[f(F)-f(E)]+f(E)此f(u,v)值代表的就是校正后圖像中(x,y)處的灰度值。

算法的流程圖為：

開始讀入圖像到矩陣a取矩陣的長寬存放到h,w中生成一個與矩陣a一致維數(shù)的矩陣sp存放校正圖信息求解系數(shù)估計a0、b01=>I1=>J構(gòu)造逆向映射多項式x=[1,j-og(1),i-og(2),(j-og(1))^2,(i-og(2))*(j-og(1)),(i-og(2))^2];用逆向映射求理想圖點在失真圖中的映射u=x*a0;v=x*b0;N點（u,v）在畸變圖中Y對u,v取整并計算參數(shù)arfbta1=>kJ+1=>J做雙線性插值YJ+1=>JKIYI圖4.雙線性插值流程

雙三次插值又稱立方卷積插值。三次卷積插值是一種更加繁雜的插值方式。該算法利用待采樣點周邊16個點的灰度值作三次插值，不僅考慮到4個直接相鄰點的灰度影響，而且考慮到各鄰點間灰度值變化率的影響。三次運算可以得到更接近高分辯率圖像的放大效果，但也導(dǎo)致了運算量的急劇增加。這種算法需要選取插值基函數(shù)來擬合數(shù)據(jù)，其最常用的插值基函數(shù)如圖1所示。

圖5.雙三次插值基函數(shù)

其數(shù)學(xué)表達式如下：

雙三次插值公式如下：f(i+u,j+v)=ABC其中，A、B、C均為矩陣，其形式如下：

f(i,j)表示源圖像(i,j)處像素點的灰度值，如圖6所示。

圖6

自適應(yīng)插值技術(shù)

為了解決保持圖像背景高階平滑與保持圖像邊緣明了的矛盾，現(xiàn)代圖像插值技術(shù)借鑒模式識別、多信道處理、分形拓撲、小波多分辯率分析、有理濾波、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、圖像最正確復(fù)原等技術(shù)，分析圖像局部的頻率成分和連續(xù)性以調(diào)理插值系數(shù)，建立局部自適應(yīng)的空間移變插值算法，從而改善重建圖像的質(zhì)量。這里介紹幾種具代表性的自適應(yīng)插值算法，并探討它們的特點。

雙信道插值

多項式插值的頻域特性較好地迫近了理想低通濾波器，這對減小圖像中的較低頻率成分的插值誤差有利，但圖像邊緣的高頻成分豐富，良好的頻率截止性導(dǎo)致了邊緣模糊，并產(chǎn)生寄生波紋(Gibbs現(xiàn)象)。圖像低頻成分(圖像背景)中的像素相關(guān)性強，應(yīng)當(dāng)使用支持域較大的插值函數(shù)表達這種相關(guān)性，否則會加大信號奇異性，產(chǎn)生噪聲。而對于圖像高頻細節(jié)，主要表現(xiàn)了圖像信號中的奇異特征，它們與鄰近像素的相關(guān)性很弱，采用支持域較小的線性插值能夠保護這種奇異性?；谛诺婪珠_的信號處理思想，算法框圖如下所示：

圖7.雙信道插值

分形插值

組成部分與整體以某種方式相像的形叫分形，定量地表示分形的量叫分維。分維為描述事物的繁雜性提供了一種定量參數(shù)。分形的基本特征是