高數(shù)分章練習題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——高數(shù)分章練習題西南大學課程考核

第八章一、填空題（共5題，3分/題，共15分）1．曲線?:??y?422—————————————————————————————————————————————————————?z?(x?y)/4在點（2，4，5）處的切線T與X軸正向的夾角度數(shù)為。2．二次曲面x2?y2?2z2?1是由所形成。3.求過點M(0,0,0)平行于平面x?y?z?1?0又與直線程。4．過兩點和且與平面垂直的平面方程是.學號密x?11?y?31?z2相交的直線方姓名封6．過兩點班和且與平面垂直的平面方程是.7．函數(shù)在點處的方向?qū)?shù)的最大值為.年級8．曲面在點（２）處的法線方程是.9.將xoy坐標面上的拋物線y=5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為；二、單項選擇（在備選答案中選出一個正確答案，并將其號碼填在題干后的括號內(nèi)。每題3分，共15分）1．設f(x,y)?yx?y2專業(yè)線，則f(yx,1)?（）A.yx?yB.xx?yC.yx?y2D.xx?y2學院2．設z?e，則dzxy(1,1)?（）命題教師：教研室或系負責人：主管院長：年月日第1頁共6頁

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A.2eB.edxC.edyD.e(dx?dy)

3．二元函數(shù)f(x,y)?x2?xy?y2?x?y?1的駐點是（）A.（1，-1）B.（-1，-1）C.（-1，1）D.（1，1）

4．z?sinxy2，則

?z?x?（）

————————————————————————————————————————————————————密A.cosxy2B.-cosxy2C.-y2cosx2yD.y2cosxy2

5．fy(x0,y0)存在是f(x0,y)在y?y0連續(xù)的（）A.必要條件B.充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.以下是旋轉(zhuǎn)曲面的是。

（1）z?2?x2；（2）(x?a)2?x2?y2；（3）x2?y2?2z2?1；（4）z2?y2?1。7.以下不是柱面的曲面是。

（1）z?2?x2；（2）(x?a)2?x2?y2；（3）x2?y2?2z2?1；（4）z2?y2?1。8.曲面2x2?y2?z2?1是由。

（1）xoz平面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周再沿x軸伸縮后所形成；（2）xoz平面上的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周再沿x軸伸縮后所形成；（3）xoz平面上的直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周再沿x軸伸縮后所形成；（4）xoz平面上的圓繞z軸旋轉(zhuǎn)一周再沿x軸伸縮后所形成。三、計算題（共7題，7分/題，共49分）

1.求過點(1,1,1)與直線L:??x?2y?z?1?0?x?y?z?1?0封線垂直的平面方程；

22??x?y?2x2.求曲線?在點(1,1,222??x?y?z?42)處的切線。

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3．求曲面z?x2?y2與平面2x?4y?z?0平行的切平面方程；

————————————————————————————————————————————————————四、綜合題（共3題，7分/題，共21分）1．證明錐面z?的頂點。2．問曲線

???:???z?x?11?x?y22x?y?3上任一點(xo,yo,zo)處的切平面都通過錐面

22在點(1,1,3)處的切線T與Y軸正向的夾角

度數(shù)是多少？試求出。3.已知曲線?:??y?422密?z?(x?y)/4，給出?上點（2，4，5）處的切線T，

及切線T與X軸正向的夾角。

封線

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第九章

一、填空題（共5題，3分/題，共15分）1．已知z?f(xy,y)，x>0，則2．

limsin(xy)x————————————————————————————————————————————————————?z?y?。

(x,y)?(5,0)=.

?z?x?密3．已知z?f(x,yx)，y?0，則。

4．d(exy)?。5．函數(shù)f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在點(1,?1)處取得極值，則常數(shù)a＝_____。6．若曲面x2?2y2?3z2?21的切平面平行于平面x?4y?6z?25?0，則切點坐標為。

7、函數(shù)f(x,y,z)?2xy?z2在點(2,-1,1)處沿向量n?(,,?)所指方向的方向

333?122封導數(shù)為。8．f(x,y)?1x?y22?ln(xy)的定義域：。

9．函數(shù)f(x，y)在(x0，y0)處可微是函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)的兩個偏導數(shù)fx(x0，y0)，fy(x0，y0)都存在的條件；

線二﹑單項選擇題（共5題，3分/題，共15分）

1．設z?e，則dzxy(1,1)?（）

A.2eB.edxC.edyD.e(dx?dy)

2．二元函數(shù)f(x,y)?x?xy?y?x?y?1的駐點是（）A.（1，-1）B.（-1，-1）C.（-1，1）D.（1，1）3．z?sinxy，則

222?z?x?（）

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A.cosxy2B.-cosxy2C.-y2cosx2yD.y2cosxy2

4.設f(x,y)?x3y?xy2?2x?3y?1，則fy(3,2)=（）。(A)41

(B)40(C)42

xy?0xy?0'————————————————————————————————————————————————————(D)39

11??xsin?ysin5.函數(shù)f(x,y)??yx??0，則極限limf(x,y)=（）。

x?0y?0(A)不存在(B)等于1(C)等于零(D)等于2

密6．二元函數(shù)z?x3?y3?3x2?3y2?9x在點一定無極值。（1）（1，0）；（2）（1，2）；（3）（-1，0）；（4）（-3，2）。7．函數(shù)z?f(x,y)在點P(xo,yo)處任意方向上的方向?qū)?shù)都存在，則。（1）fx(x0,y0)存在，fy(x0,y0)不存在；（2）fx(x0,y0)不存在，fy(x0,y0)存在；（3）fx(x0,y0)存在，fy(x0,y0)存在；（4）前述結論（1）（2）（3）都不對.8．二元函數(shù)z?x3?y3?3x2?3y2?9x在點有極值。

（1）（1，3）；（2）（1，-2）；（3）（-1，0）；（4）（-3，2）。9．二元函數(shù)z?x3?y3?3x2?3y2?9x的極大值為。

（1）（1，0）；（2）（1，2）；（3）（-3，0）；（4）（-3，2）。10．以下說法正確的是。

（1）函數(shù)z?f(x,y)在點P(xo,yo)處任意方向上的方向?qū)?shù)都存在，則函數(shù)在該點處可微；

（2）函數(shù)z?f(x,y)在點P(xo,yo)處任意方向上的方向?qū)?shù)都存在，則函數(shù)在該點處偏導

數(shù)存在；

（3）函數(shù)z?f(x,y)在點P(xo,yo)處任意方向上的方向?qū)?shù)都存在，則函數(shù)在該點處連續(xù)；

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封線

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（4）上述（1），（2），（3）都不正確。

11．二元函數(shù)z?x3?y3?3x2?3y2?9x的微小值為。

（1）（1，0）；（2）（1，2）；（3）（-3，0）；（4）（-3，2）。12．函數(shù)z?f(x,y)在點P(xo,yo)處一階偏導數(shù)連續(xù)，則。（1）z?f(x,y)在點P(xo,yo)處的方向?qū)?shù)都不存在；（2）z?f(x,y)在點P(xo,yo)處某些方向的方向?qū)?shù)存在；（3）z?f(x,y)在點P(xo,yo)處的方向?qū)?shù)都存在；（4）前述結論（1）（2）（3）都不對.

三、計算題（共7題，7分/題，共49分）

1．設ez?xyz?0，求

?z?z,?x?y————————————————————————————————————————————————————密封2.設u?ln(tanx)，求du；

?z?x?y23.已知z?yf?x?y,sinxy?，其中f有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求

；

?z?z?z4（10分）、設z?f(x?y,xy)具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求,,。

?x?y?x?y2線5．已知z?f(x,y)是由方程x?y?z?2x?2y?4z?10?0所確定，求

222?z?x22。

6．

x??,y??lim(1?xyxy).

xy7．已知z?f(x是由方程x?2y?z?2,y)xy?z0所確定，求

?z?x。

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8．

x?0,y?0limxy?sinxyxy?1?1————————————————————————————————————————————————————.

四、綜合題（共3題，7分/題，共21分）

?2xy/(x2?y2),當x2?y2?0;1．探討函數(shù)f(x,y)??分別對于每一個變量x22?0,當x?y?0,或y（當另一個變量固定時）的連續(xù)性，及兩個變量x,y的連續(xù)性。2．問曲線?:??y?422密?z?(x?y)/4在點（2，4，5）處的切線T與X軸正向的

夾角度數(shù)是多少？試求出。

3．已知z?f(x,y)是由方程x2?y2?z2?2x?2y?4z?10?0所確定，求

?z?y。

4．已知一曲線上任一點(x,y)處的切線垂直于該點與原點的連線，求出曲線方程。（需有過程）

封線

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第十章

一、填空題（共5題，3分/題，共15分）

1．已知在xoy平面上的閉區(qū)域D上分布有面密度為???(x,y)的電荷，

則該區(qū)域D上的全部電荷Q=。2．已知I?3．已知I?————————————————————————————————————————————————————?20dy?yf(x,y)dx2y，交換積分順序后I?。

密?a0dx?2ax?xxz2f(x,y)dy，交換積分順序后I?。

4．已知F(z)??z1dy?f(x)dxy，則F?(2)=。

25．??(x?y)d???(x?y)d?，其中區(qū)域D由坐標軸與x?y?1圍成的有界閉區(qū)

DD域；

二﹑單項選擇題（共5題，3分/題，共15分）

1．?為曲面x2?y2?r2,z??r,z?r所圍成的區(qū)域，在柱面坐標系下積分

封???(x?2?y)dxdydz化為。

2?2（1）（3）

??02?d??d??r?dz；（2）

0?rrrr2??2?02?d??d??r?dz；

0?rrrr20d??d??rdz；（4）

0?rr30d??d???dz。

0?rr3線2．若f(x,y)在關于y軸對稱的有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且f(?x,y)??f(x,y),則二重積分??f(x,y)dxdy的值等于（）。

DA．D的面積B．0C．2??f(x,y)dxdyD．f(x,y)

D三、計算題（共7題，7分/題，共49分）

1.I?2.?10??|y?xDyy2|dxdy，其中D是矩形區(qū)域：|x|?1,0?y?1；

dx；

dy?sinxx

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————————————————————————————————————————————————————3.

??arctanDDyx22dxdy，D為圓x?y?4及直線y?x,y?0所包圍的第一象限內(nèi)的區(qū)域。

4。計算??xyd?，其中區(qū)域D是由拋物線y?x2?1及直線y?1?x所圍成的區(qū)域

5．計算6．計算7．計算

??Da?x?ydxdy,D:x?y?a,a?0.

222222??Dxy22dxdy,D:x?2,y?x,xy?1所圍成的閉區(qū)域。

22密??eD?x?ydxdy,D:1?x?y?4.

228．計算二重積分?0dy?yye?xdx.

四、綜合題（共3題，7分/題，共21分）1.計算由曲面z?x?y,z?h?0圍成的立體的體積

22113V。

2.計算由曲面z?x2?y2,z?4圍成的立體的體積V。

封線

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第十一章

一、填空題（共5題，3分/題，共15分）

1

．

設

2————————————————————————————————————————————————————L2為圓周x?y?ax(a22>

0)，則

?Lxn2?yds2＝

2．

?Lxydx?xydy?，其中L：從點（0，0）沿曲線y?x2cosx

n密到點(4?，(4?)2)，n為正整數(shù)。3．??f(x,y,z)dydz????dxdy，

?其中?：錐面z?2x2?y2介于平面z?0及z?4之間的部分，且上側。

4．已知空間曲面?:z?y2?0,0?x?2，方向為外側。則??f(x,y,z)dydz?。

?封5．已知在xoy平面上有一分布著質(zhì)量的曲線弧L，在點(x,y)處的線密度為

???(x,y)，則該曲線弧上的質(zhì)量M=。6．已知空間曲面?:x2?y2?1,0?z?2，方向為外側。則??f(x,y,z)dxdy?。

?7．曲線積分

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?P(x,y)ds，其中L：在xoy平面上

L沿直線從點（0，0）到點（1，0）。

8.設f(x)有連續(xù)導數(shù)，f(1)?2，L是單連通域上任意簡單閉曲線，且

則f(x)=.線二﹑單項選擇題（共5題，3分/題，共15分）1．曲線積分

?LP(x,ydx)?Qx(y,dy)??Qx(yds,，其中)L：在xoy平面上沿直

L線。

（1）從點（0，0）到點（0，1）；（2）從點（0，0）到點（1，0）；

（3）從點（0，0）到點（1，1）；（4）從點（0，0）到點（2，

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2）。2．曲線積分

————————————————————————————————————————————————————?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?，其中L：在xoy平面上沿直線

從點（0，0）到點（0，1）。（1）（3）

??L(P(x,y)?Q(x,y))ds；（2）Q(x,y)ds；（4）

2?LP(x,y)ds；

12L?L(P(x,y)?Q(x,y))ds。

n4.?xydx?xydy?，其中L：從點（0，0）沿曲線y?x2cosx

Ln2密到點(4?，(4?)2)，n為正整數(shù)。

n（1）0；（2）4?；（3）(4?)2；（4）(4?)2?n。

21

三、計算題（共7題，7分/題，共49分）

1．計算I?封???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?為曲面z?x2?y2在第一卦限部分

（0?z?1）的上側2．計算I??(x?y)dx?(x?y)dyLx?y22，其中L是拋物線y?2?2x2上從點A(?1,0)

到點B(1,0)的一段弧。

123．計算4．計算

針。5．計算6．計算7．計算

線??x??y?z22ds,?:柱面x2?y2?4介于平面z?0,z?2之間的部分。

?Lxdy?ydx，其中L為x?y?r,(r?0)在其次象限部分，方向逆時

222?Lydx?xdy,L:沿曲線y?x22?2從點（1，1）到點（2，1/4）。

2??(x?y?z)ds,?:x?y?z?a,z?h.(0?h?a)

?12?L(x?y2)ds,L:曲線y?x2從點（1，1）到點（2，4）。

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8．求曲面?:x2?y2?z2?a2,z?h,(0?h?a)的質(zhì)量，其面密度為??x2?y2?z2。9．證明

————————————————————————————————————————————————————???f(x,y,z)dydz????f(x,y,z)?2x2x?y22dxdy，

其中?：錐面z?2x2?y2介于平面z=0,z=4之間的部分，方向上側。

10（10分）計算?L(2y?y3)dx?(4x?3xy2)dy，其中L是沿曲線y?的圓弧。

1?x2密從點(1,0)到點(0,1)11（10分）、計算曲面積分??axdydz?(z?a)2dxdy，其中有向曲面?為下半球面

?z??a?x?y222取下側，a為大于零的常數(shù)。

封線

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第十二章1．級數(shù)x?x3————————————————————————————————————————————————————3?x55???x2n?12n?1??的收斂域。

2.當a滿足條件時，級數(shù)

?a收斂。

nn?0??密3．當a滿足條件時，級數(shù)

??n?01an收斂。

4．冪級數(shù)?anxn在x?x0時絕對收斂的充分條件是。

n?05．以下級數(shù)收斂的是。

?（1）

?n?11n?；（2）

12n?4??(?1)n?1n?13n()2；

封??（3）

?n?1(?1)n3；（4）

?n?1(?1)n?1n2n?12。

6．冪級數(shù)

?an?0nxn在x?2時收斂，則該級數(shù)。

（1）在x?2時收斂；（2）在x?2時發(fā)散；（3）在?2?x?2收斂；（4）在x?2發(fā)散。

?線7．當q滿足條件時，級數(shù)

?q收斂。

nn?0（1）q?1；（2）q?1；（3）q?1；（4）q?1。

?8．當a滿足條件時，級數(shù)

?n?01an收斂。

（1）a?1；（2）a?1；（3）a?1；（4）a?1。

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9．以下級數(shù)收斂的是。（1）

?————————————————————————————————————————————————————?n?112?n；（2）

??n?112n；（3）

??n?11n；（4）

??n?11n?1。

10．以下級數(shù)發(fā)散的是。（1）

??n?112n?；（2）

1n?n?1(?1)nn?1；（3）

??n?11n；（4）

??n?11n2。

11．設0≤an??(n?1,2,?)，則以下級數(shù)中可斷定收斂的是（）.

?n??n2an；D．?(?1)an

n?1密A．?an；B．?(?1)an；C．?n?1n?1n?112．將函數(shù)求級數(shù)x?x12?x3展開成(x?1)的冪級數(shù)。

53?x5???x2n?12n?1??的收斂域及收斂域上的和函數(shù)。

封13．將ax展開成x的冪級數(shù)。14．將sin2x展開成x的冪級數(shù)。

??15．已知常數(shù)項級數(shù)

?n?1an絕對收斂，問級數(shù)

?n?112(an?an)是否收斂？

若收斂試證明，若發(fā)散試舉例。

?線16.求?n?12?(?1)2nnx的收斂半徑.

n17、（10分）求冪級數(shù)?nxn?1?n的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并計算極限

3nanlim(n???1a?2a2?a3???)(a?1)。

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第七章

1.已知y?x,y?2x是某個二階齊次線性微分方程的兩個解，則該微分

方程的通解為。2．已知y1?1,y2?ex,y3?xex是某個二階非齊次線性微分方程的三個解，則c1y1?c2y2?c3y3是該微分方程的通解，當。

（1）c1,c2,c3為任意常數(shù)時；（2）c3?1?c1?c2,且c1,c2為獨立的任意常