高等數(shù)學(xué)下試題A（附答案）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——高等數(shù)學(xué)下試題A（附答案）《高等數(shù)學(xué)》（下）試題

姓名學(xué)號專業(yè)班級

本試題一共四道大題，共4頁，總分值100分，考試時間120分鐘?？偡珠喚砣撕朔秩祟}號題分得分一15二40三35四10注：1.答題前，請確鑿、明白地填各項(xiàng)，涂改及模糊不清者、試卷作廢。2．試卷若有雷同以零分計(jì)。

一．選擇填空：(每題3分，共15分，把所選答案填入右括號中.)

1．設(shè)L是從點(diǎn)(a,0)到點(diǎn)(?a,0)的一直線段，則??x?y?dx=（）

2LA.

12aB.0C.2aD1

?22．冪級數(shù)?n!xn的收斂半徑為（）

n?0A.R???B.R=0C.R=1D.R=2

3．以下曲線積分在XOY面內(nèi)與路徑無關(guān)的是（）

A.?C.?(2,3)(1,1)(2x?3y)dx?(3x?y)dyB.?(2,3)(1,1)(2,3)(x?y)dx?(x?y)dy(2x?y)dx?(2x?y)dy

(2,3)(1,1)(x?y)dx?(2x?y)dyD.?2x(1,1)4.y???4y??4y?eA.Be2x的一個特解應(yīng)具有形式（）

2xB.BxeC.Bxe22xD.(Bx?C)e

x5．以下級數(shù)中，發(fā)散的是（）

?A.?n?11n2?B.???1?n?1n1n?C.?n?0sinx2nn?D.???1?n?0n32nn

二．填空題（每題4分，共40分，把答案填入括號中）

6.若G是單連通開區(qū)域，P,Q在G內(nèi)具有一階的連續(xù)偏導(dǎo)，則

?P?y??Q?x是積分

?PdxL?Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)的（）條件；

7．設(shè)L為閉區(qū)域D的正向邊界曲線，閉區(qū)域D的面積值為A，則，

1??2l；ydx?xdy=（）

??????8．向量場A?(x?y)i?(y?z)j?(z?x)k，則A的散度divA=（）,??；A的旋度rotA=（）

?９．設(shè)冪級數(shù)?anxn的收斂半徑為R（R?0），則其和函數(shù)S(x)在（－R，R）內(nèi)是可

n?0?導(dǎo)的，且有（?anxn)'=（）；

n?110．f(x)?cos3x關(guān)于x的冪級數(shù)展開式為（）其收斂區(qū)間為（）；

??n???11．若級數(shù)?un收斂，則級數(shù)?un必定（）；limun?0是級數(shù)?un收斂的

n?1n?1n?1（）條件；

x2x12．以y?C1e?C2e為通解（其中C1,C2為任意常數(shù)）的微分方程為

();

??13．rn(x)?s(x)?sn(x)稱為?un(x)的余項(xiàng)（和函數(shù)與部分和之差），則在?un(x)的

n?1n?1收斂域上，必有（）；；14．方程

dydx?P(x)y?Q(x)yn(n?0,1)中，令z?（），可化為一階線性方程，

方程

dy?y?????中，令u?（）可化為一階可分開變量方程；dx?x?15.方程(x?y)(dx?dy)?dx?dy的積分因子是（）.

三．解答題（每題7分，共35分）

高等數(shù)學(xué)（下）試卷第2頁

16.f(x)連續(xù)，且滿足f(x)?

?x03f(3t)dt?x3,求f(x).

17．計(jì)算?(x?2y)dx?(y?2x)dy，其中L是拋物線y?x2上從（0，0）到

L（1，1）的一段弧.

2218．計(jì)算??(x?y)ds，其中?是為拋物面z?1?(x?y)在XOY面上方的部分.

22?

高等數(shù)學(xué)（下）試卷第3頁

19．將f(x)??

?1?0,,0?x?1,1?x??展開成正弦級數(shù).

?20．在收斂域??1,1?內(nèi)，求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)?n?0xnn?1的和函數(shù)S(x).

四．應(yīng)用題（10分）

21．一單位質(zhì)點(diǎn)從靜止開始作直線運(yùn)動，受到一個與運(yùn)動方向一致，大小與時間成正比(比例系數(shù)是3)的力的作用，此外還受到一個與速度成正比（比例系數(shù)是2)的阻力作用，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度與時間的函數(shù)關(guān)系.

高等數(shù)學(xué)（下）試卷第4頁

高等數(shù)學(xué)下試題(A)解答及評分標(biāo)準(zhǔn)

一．BBACD（每題3分）二．（每題4分）6充分且必要7A83,???i?j?k9?10??n?1nanxn?1???1?n?0n32n?2n?!x2n,???,???11收斂，必要12y???3y??2y?013limrn(x)?0n??14z?yu?1?n15，1x?yyx三．（每題７分）

16．解:記y?f(x)，兩端對求x導(dǎo)，化簡得

y??3xy??3x

3xy?e?222dx?2??3x?3xe???x32dx33?x2?xdx?C?e???3xedx?C?

?????ex3?e????1??C?Ce

x3注意x?0,y?0，代入上式解得C??1

所以，y?1?ex

217．解:（法1）l:y?x，由O?0,0??B?1,1?，dy?2xdx

322原式=???x?2x???x?2x?2x?dx??0?11??2x013?6x?x?dx

21?1?=?x4?2x3?x2???1

2?0?2

高等數(shù)學(xué)（下）試卷第5頁

（法二）P?x?2y,Q?y?2x,?P?y??Q?x??2，積分與路徑無關(guān).

選折線路徑：O?0,0??A?1,0??B?1,1?，則原式=?xdx?01??y?2?dy

01=

121x202?1221y20?2??1

18．計(jì)算??(x?y)ds，其中?是為拋物面z?1?(x2?y2)在XOY面上方的部分.

?解：?在XOY面上投影區(qū)域：D?ds?2??x,y?x222?y?1

2?1?zx?zydxdy?22221?4?x?y22?dxdy

2??(x?y)ds????(x?y)1?4(x?y)dxdy

D極坐標(biāo)?2?0d??r0121?4rrdr?2??211?84?10??1?4r2??1??1?4r2???12d?1?4r2?

???16??10?1?4r232?1?4r212?d1?4r2??????????252?1?4r?16?51?25560??2??1?4r?32232???01

??

19．解：將f(x)在(??,??)上奇延拓后，再以2?為周期延拓到R上的F(x)，則F(x)滿足Dirichlet定理?xiàng)l件，且F(x)?f(x),x??0,??

顯然an?0,n?0,1,2,?

2?11?sinnxdx???0??20?sinnxdx???1?cosn????n?4sin2n2

bn???1n?

高等數(shù)學(xué)（下）試卷第6頁

?f(x)?20．

?n?n?14sin2n2?sinnx，x??0,1???1,??

解：顯然，S(0)?1，

?x?0時，xS(x)??n?0xn?1n?1?，由于在收斂域內(nèi)，可逐項(xiàng)求導(dǎo)，所以，

???xn?1???xS(x)??????n?1?n?0?xS(x)??n?0x?n11?x,0?x?1

?1011?xdx??ln?1?x?,0?x?1

綜上述

1,??S(x)??ln(1?x),???xx?00?x?1

四．（10分）21解由已知m?1,???F?f1?f2?3t?2v，根據(jù)Newton其次定律有dvdt?3t?2v,t?0,v?0

?Pdt??Pdtdt?C??e