（教師版）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第1講

本文格式為Word版，下載可任意編輯——（教師版）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第1講第1講函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考情解讀1.高考對(duì)函數(shù)的三要素，函數(shù)的表示方法等內(nèi)容的考察以基礎(chǔ)知識(shí)為主，難度中等偏下.2.函數(shù)圖象和性質(zhì)是歷年高考的重要內(nèi)容，也是熱點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)圖象的考察主要有兩個(gè)方面：一是識(shí)圖，二是用圖，即利用函數(shù)的圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題；對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考察，則主要是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合一起考察，既有具體函數(shù)也有抽象函數(shù)．常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，且常與新定義問(wèn)題相結(jié)合，難度較大．

1．函數(shù)的三要素定義域、值域及對(duì)應(yīng)關(guān)系

兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的三要素完全一致時(shí)才表示同一函數(shù)，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系一致的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)．2．函數(shù)的性質(zhì)

(1)單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范步驟為取值、作差、判斷符號(hào)、下結(jié)論．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減〞的原則．(2)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有一致的單調(diào)性．

(3)周期性：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．若函數(shù)在其定義域上滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其一個(gè)周期T＝|a|.3．函數(shù)的圖象

對(duì)于函數(shù)的圖象要會(huì)作圖、識(shí)圖、用圖．

作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換．

4．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)

(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分01

兩種狀況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種狀況的公共性質(zhì)．(2)冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，分冪指數(shù)α>0，α0，則x的取值范圍是________．

1

0，?時(shí)，f(x)＝－x2，(2)設(shè)奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，滿足對(duì)任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈??2?3

－?的值等于________．則f(3)＋f??2?1

思維啟迪(1)利用數(shù)形結(jié)合，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)解不等式；(2)利用f(x)的性質(zhì)和x∈[0，]時(shí)的

2

3

解析式探求f(3)和f(－)的值．

21

答案(1)(－1,3)(2)－4解析(1)

∵f(x)是偶函數(shù)，∴圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．

又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，則f(x)的大致圖象如下圖，

由f(x－1)>0，得－2x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－

1

x1)a>bB．c>b>aC．a(chǎn)>c>bD．b>a>c

思維啟迪(1)可以利用函數(shù)的性質(zhì)或特別點(diǎn)，利用排除法確定圖象．(2)考慮函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

答案(1)C(2)D

10ln|x|

的圖象沿x軸向左平移1個(gè)單位x

10ln|x＋1|10ln|x|

而得到，y＝為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，y＝的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1,0)

xx＋1解析(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠－1}，其圖象可由y＝成中心對(duì)稱．可排除A，D.

10ln|x＋1|

又x>0時(shí)，y＝>0，所以，B不正確，選C.

x＋1

(2)由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故函數(shù)y＝f(x)的圖象

15

本身關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以a＝f(－)＝f()，當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)a>c.選D.

思維升華(1)作圖：常用描點(diǎn)法和圖象變換法．圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換．特別注意y＝f(x)與y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互關(guān)系．

(2)識(shí)圖：從圖象與軸的交點(diǎn)及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面找準(zhǔn)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

(3)用圖：圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究．

(1)函數(shù)f(x)＝1＋log2x與g(x)＝21-x在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是()

??－x＋2x，x≤0，

(2)(2023·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝?若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是

??ln?x＋1?，x>0.

2

()

A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]答案(1)C(2)D

解析(1)f(x)＝1＋log2x的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,1)，g(x)＝21-x的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,2)．

f(x)＝1＋log2x的圖象由y＝log2x的圖象向上平移一個(gè)單位而得到，且f(x)＝1＋log2x為單調(diào)

11

增函數(shù)，g(x)＝21-x＝2×()x的圖象由y＝()x的圖象伸縮變換得到，且g(x)＝21-x為單調(diào)減函

22數(shù)．A中，f(x)的圖象單調(diào)遞增，但過(guò)點(diǎn)(1,0)，不滿足；B中，g(x)的圖象單調(diào)遞減，但過(guò)點(diǎn)(0,1)，不滿足；D中，兩個(gè)函數(shù)都是單調(diào)增函數(shù)，也不滿足．選C.(2)

函數(shù)y＝|f(x)|的圖象如圖．①當(dāng)a＝0時(shí)，|f(x)|≥ax顯然成立．②當(dāng)a>0時(shí)，只需在x>0時(shí)，ln(x＋1)≥ax成立．

比較對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y＝ax的增長(zhǎng)速度．顯然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．③當(dāng)af(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

例3(1)若函數(shù)f(x)＝

?2A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)

ππ

(2)(2023·南陽(yáng)市高三模擬)已知α，β∈[－，]且αsinα－βsinβ>0，則下面結(jié)論正確的是()

22A．α>βB．α＋β>0C．αβ2

思維啟迪(1)可利用函數(shù)圖象或分類探討確定a的范圍；(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xsinx，利用f(x)的單調(diào)性．答案(1)C(2)D

解析(1)方法一由題意作出y＝f(x)的圖象如圖．

顯然當(dāng)a>1或－1f(－a)．應(yīng)選C.方法二對(duì)a分類探討：

當(dāng)a>0時(shí)，log2a>log1a，即log2a>0，∴a>1.

2當(dāng)alog2(－a)，即log2(－a)∴y′＝xcosx＋sinx＝cosx(x＋tanx)，

π

當(dāng)x∈[－，0]時(shí)，y′0，∴f(x)為增函數(shù)，

2且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，又αsinα－βsinβ>0，∴αsinα>βsinβ，∴|α|>|β|，∴α2>β2.

思維升華(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)是中學(xué)階段所學(xué)的基本初等函數(shù)，是高考的必考內(nèi)容之一，重點(diǎn)考察圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時(shí)考察分類探討、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運(yùn)算能力．(2)比較數(shù)式大小問(wèn)題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性．

111

(1)設(shè)g(0)＝0，所以函數(shù)g(x)的最小值是0.

2

1．判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法

(1)能畫出圖象的一般用數(shù)形結(jié)合法去觀測(cè)．

(2)由基本初等函數(shù)通過(guò)加、減運(yùn)算或復(fù)合而成的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷問(wèn)題．

(3)對(duì)于解析式較繁雜的一般用導(dǎo)數(shù)法．(4)對(duì)于抽象函數(shù)一般用定義法．2．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖象的對(duì)稱性，是函數(shù)的整體特性．

利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上，是

簡(jiǎn)化問(wèn)題的一種途徑．特別注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x)．3．函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．提醒：函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)的圖象對(duì)稱軸為x＝0，并非直線x＝a.

a＋b

(2)若f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱．

2(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝2b－f(2a－x)，則該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對(duì)稱．4．二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個(gè)有機(jī)的整體，要深刻理解它們之間的相互關(guān)系，能用函數(shù)與方程、分類探討、數(shù)形結(jié)合思想來(lái)研究與“三個(gè)二次〞有關(guān)的問(wèn)題，高考對(duì)“三個(gè)二次〞知識(shí)的考察往往滲透在其他知識(shí)之中，并且大都出現(xiàn)在解答題中．5．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指、對(duì)數(shù)函數(shù)特別是與單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要看底數(shù)a的范圍．

比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小或解對(duì)數(shù)不等式或解對(duì)數(shù)方程時(shí)，一般是構(gòu)造同底的對(duì)數(shù)函數(shù)，若底數(shù)不同，可運(yùn)用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)，三數(shù)比較大小時(shí)，注意與0比較或與1比較．6．解決與本講有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)注意函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類探討、化歸與轉(zhuǎn)化等思想的運(yùn)用.

真題感悟

1．(2023·安徽)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝?x?1－x?，0≤x≤1，?29??41??則f?＋f?6?＝________.4???sinπx，10，且a≠1)的圖象如下圖，則所給函數(shù)圖象正確的是()

答案B

1－解析由題意得y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過(guò)(3,1)點(diǎn)，可解得a＝3.選項(xiàng)A中，y＝3x＝()x，

3顯然圖象錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，y＝x3，由冪函數(shù)圖象可知正確；選項(xiàng)C中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖象不符；選項(xiàng)D中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，顯然不符，應(yīng)選B.押題精練

1

x－?，則函數(shù)y＝f(x＋1)的大致圖象為()1．已知函數(shù)f(x)＝e|lnx|－??x?

答案A

解析據(jù)已知關(guān)系式可得

1－

x－?＝x?01?，elnx－??x?x

???

作出其圖象然后將其向左平移1個(gè)單位即得函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象．

2．已知函數(shù)f(x)＝|log1x|，若m1，

3

∴m＋3n＝m＋在m∈(0,1)上單調(diào)遞減，

m當(dāng)m＝1時(shí)，m＋3n＝4，∴m＋3n>4.

3．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|≥g(x)時(shí)，h(x)＝|f(x)|；當(dāng)|f(x)|0〞的是()

1

A．f(x)＝B．f(x)＝x2－4x＋4

2

C．f(x)＝2xD．f(x)＝log1x

2答案C

解析函數(shù)f(x)滿足“對(duì)任意的x1，x2∈(0，＋∞)時(shí)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0〞等價(jià)于x1

f?x1?－f?x2?

－x2與f(x1)－f(x2)的值的符號(hào)一致，即可化為>0，表示函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)

x1－x2遞增，由此可得只有函數(shù)f(x)＝2x符合．應(yīng)選C.

2．(2023·浙江)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是()

答案D

解析方法一分a>1,0當(dāng)a>1時(shí)，y＝xa與y＝logax均為增函數(shù)，但y＝xa遞增較快，排除C；

當(dāng)01，而此時(shí)冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長(zhǎng)越來(lái)越快的變化趨勢(shì)，故C錯(cuò)．

?1??的值等于()3．(2023·綿陽(yáng)模擬)已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝lgx，則f?f??100??

11A.B．－C．lg2D．－lg2lg2lg2答案D

解析當(dāng)x0，則f(－x)＝lg(－x)．又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，所以當(dāng)xb，則以下不等式成立的是()A．lna>lnbB．0.3a>0.3b33C．a(chǎn)?bD.a>b答案D

1212

解析由于a>b，而對(duì)數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，所以lna>lnb不一定成立；由于y＝0.3x是減函數(shù)，又a>b，則0.3ab，則a?b不一定成立，故C錯(cuò)；33y＝x在(－∞，＋∞)是增函數(shù)，又a>b，則a?b，即a>b成立，選D.

5．(2023·XX五校聯(lián)考)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}等于()A．{x|x4}B．{x|x4}C．{x|x6}D．{x|x2}答案B

解析由于